Appunti di Fisica teoria

CINEMATICA

Classificazione dei moti in base al modo in cui varia la velocità del punto.

MOTO RETTILINEO UNIFORME

La velocità del punto non varia né in modulo né in direzione, il moto avviene lungo una retta. Il punto materiale copre spazi uguali in tempi uguali.

v_→ che è una grandezza vettoriale, prende direzione e verso da d_s, possiamo però integrarli, poiché, essendo sia d_s che v funzioni vettoriali dipendenti dal tempo, possiamo fare l'operazione inversa della derivazione cioè integrazione.

Per ottenere la legge oraria dobbiamo procedere come segue:

Per determinare c, ovvero la costante, bisogna imporre le condizioni iniziali, sostituendo cioè t = 0 nell'equazione.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

La velocità è costante in direzione, ma aumenta uniformemente in modulo.

In questo caso, per ottenere la legge oraria possiamo integrare due volte.

x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 at²

v(t) = v₀ + at

infatti,

d²x/dt² = a∫ dt ⇒ v(t) = ∫ a t+c

v₁ - V₀ = a(t₁ + t₀)

ottenendo quindi:

• V₁ - V₀ = at₁ e poi v_n = V₀ + at₁

dove v₀ rappresenta il valore della velocità all'istante di tempo t = 0, _V0 rappresenta una costante iniziale del moto.

• ∫ v·ⅆx = ∫ dx = ∫ v₀t = dx = (v₀ + at)t

x₀ = x₀v₀t + 1/2 at²(t₂ - t₀)

x = x₀ + v₀t + 1/2 at²

Possiamo anche asserire che:

t = 0

• x = { C₁ + C₂t + C₃t²}
• v = C₂ + 2C₃t
• a = 2C₃

• C₃ = 1/2 a

accelerazione derivata della velocità

velocità derivata della posizione

EQUAZIONE MOVIMENTO PUNTO MATERIALE IN SPAZIO TRIDIMENSIONALE

Prendiamo il punto P dalla FIG. 1, e chiamiamo il vettore

̅r = ̅r_i indicando cioè che si sposta nel tempo

A_x = x_c, A_y = y_c, A_z = z_c

̅r_i = x_c ŵx + y_c ŵy + z_c ŵz

Posizione

Qual è la velocità di questo punto? È la derivata prima della posizione

̅v_i = ^d̅r_i/_dt = ^dx_c/_dt ŵx + ^dy_c/_dt ŵy + ^dz_c/_dt ŵz

L'accelerazione, invece, è la derivata seconda della posizione

̅a_i = ^d2/_dt² ŵx + ^d2y_c/_dt² ŵy + ^d2z_c/_dt² ŵz

Abbiamo così ottenuto un movimento tridimensionale formato dal movimento unidimensionale di 3 diverse componenti.

Un movimento, un arco complesso come quello seguente, ottenuto dal lancio di una palla da tennis, può essere scomposto in un movimento bidimensionale, dove avremo un movimento lungo l'asse delle x che sarà indipendente da movimento lungo l'asse delle y.

Velocità iniziale direzione y

Velocità iniziale direzione x

Lancia un oggetto.

Velocità iniziale v_i

̅r è il vettore che si sta muovendo nello spazio, e ora si trova nel punto P?

In quel momento avremo la posizione x_c sull'asse x e y_c sull'asse y.

Quindi, purtroppo, poiché la scimmia si trovava lungo la traiettoria del proiettile in assenza di gravità, non appena la scimmia inizia a cadere diventa anch'essa soggetta alla forza di gravità, e quindi si troverà esattamente lungo la seconda traiettoria del proiettile.

Moto Circolare Uniforme

T = periodo (sec) = tempo impiegato per un giro completo

F = frequenza (sec^-1 o Hz) = numero di rotazioni al secondo

ω = velocità angolare radianti al secondo

Per la circonferenza, possiamo affermare che:

Dalla figura notiamo come la velocità rimanga uniforme, mentre il vettore velocità cambi. Questo avviene poiché esiste un’accelerazione che modifica il vettore velocità. Questa accelerazione è sempre rivolta verso il centro e viene detta accelerazione centripeta (a_c).

Il modulo di a_c è calcolato derivando la velocità (in coordinate cartesiane). Otterremo:

Notiamo che ω, V, e a_c sono costanti. a_c rimane costante a patto che il raggio non cambi.

es) Aspirapolvere con raggio 10 cm.

• r = 10 cm
• 600 rpm
• f = 10Hz

ω = 2π*10 = 20π = 63 radianti al secondo

V = ω*r = 63*0.1m = 6.3m = 6,3 m/s

a_c = \omega²r = 63²* 0.1 = 400

Immaginiamo ora una mela che sta cadendo verso la Terra da un'altezza di 100 m; calcoliamo quanto ci metterà la mela a cadere a terra. Sappiamo che l'altezza h è pari a ¹/₂gt² (vedi m.u.a.), quindi:

¹/₂gt² = 100 → 5t² = 100 → t² = 20 → t = √20 ≈ 4.5 sec

Ora, secondo la terza legge, la Terra dovrà subire esattamente la stessa forza dalla mela, ma nella direzione opposta (F = 5N). Quindi la Terra cadrà verso la mela con la seguente accelerazione.

F_T = M_Ta_T → a_T = ^5N/_6×10²⁴ = 8×10^-25M/S²

Per quanto tempo cadrà la Terra? Per circa 4.5 sec.

Di quanto si muoverà la Terra in quei 4.5 sec? Si muoverà per:

¹/₂at² = ^8×10-25/₂ × 20 = 8×10^-24M ← Movimento della Terra!

Ogni volta che lanciamo una palla, la Terra si muove verso la palla.

Immaginiamo ora un oggetto appeso a due fili, uno con angolo 60° e l'altro con angolo 45°:

F⃗ = ma⃗ = 0 → ΣF⃗ = 0

Questo significa che:

ΣF_x = 0

ΣF_y = 0

T₁cos60° - T₂cos45° = 0 → T₁ = ^T₂√2/₂

T₁sin60° + T₁sin45° = mg

Ovvero, le somma delle forze sull'asse x e sull'asse y sono 0. Se ora andiamo a sommare tutte le forze assieme otteniamo:

Cioè esattamente la situazione che ci aspettiamo! T è uguale sia per la parte destra che per la parte sinistra ed è quindi 1.17 kg, cioè 0.07 kg in più di m₂ o 0.02 in meno di m₁. Infatti m₁ sta salendo, quindi “prende peso” (esempio ascensore), mentre m₂ sta scendendo, quindi “perde peso”.

Prendiamo ora l’esempio del secchio ruotato con moto circolare uniforme:

Notiamo come nel punto P ci sia l'accelerazione centripeta a_c: ci troviamo in una situazione simile a quella dell’ascensore, e se ipotizziamo a_c = g, allora il secchio… peserà il doppio rispetto al normale! (T = m (a_c+g)).

Nel punto S, invece, il secchio sta perdendo peso. Immaginiamo che a_c sia uguale a g, allora T sarebbe uguale a 0 e il secchio sarebbe in caduta libera. Se invece a_c fosse più grande di g, allora la corda sarebbe tesa, ci sarebbe una forza, e T indicherebbe il nostro peso. Se infine a_c fosse più piccola di g, avremmo una T negativa, che non ha senso! Ciò indicherebbe, infatti, che il secchio non avrebbe mai potuto raggiungere quel punto, perchè a_c non era sufficiente.

Dunque gli oggetti in caduta libera non hanno peso: se lanciamo una pallina in aria, mentre la teniamo in mano il peso equivale a mg. Non appena cominciamo a muovere la mano verso l’alto la pallina aumenta di peso (T = m (g+a), ma anche dopo aver lasciato la nostra mano, la pallina comincia a salire grazie all’accelerazione che le abbiamo impartito. Questa accelerazione comincia però a diminuire fino a raggiungere 0. A quel punto non più una forza che agisce sulla pallina, che diventa senza peso, iniziando quindi a cadere.