Appunti di Fisica Tecnica (Sistemi Chiusi e Aperti)

P C

prof. A. Salerno - 15 - A.A. 2013/2014

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

L'ultima formula esprime la conservazione dell'energia per un sistema aperto in regime stazionario.

2.2.b. Applicazione conservazione dell’energia a diversi organi di macchina.

Ai successivi esempi di organi di macchina, verrà applicata l'equazione della conservazione dell'energia,

sui singoli termini della quale verranno fatte considerazioni caso per caso.

Turbina

In una turbina il calore scambiato è trascurabile, poiché ha un'enorme portata massica e quindi se la

perdita di calore per ogni kilogrammo è trascurabile, lo è pure quella totale. Inoltre, poiché le sezioni di

entrata e di uscita sono le più generali possibili, si può ipotizzare che velocità di entrata e di uscita siano

uguali: quindi non vi è differenza di energia cinetica. Nulla è, ovviamente, pure la differenza di energia

potenziale. Dunque:

Il lavoro è quindi espressione di una differenza di entalpia; in particolare, se esce dal sistema (come in

questo caso) tale variazione è positiva.

Scambiatore di calore

In uno scambiatore di calore, il lavoro esterno è nullo, poiché non ci sono organi in movimento. Nulla è la

variazione di energia potenziale e nulla è anche quella cinetica, per le stesse considerazioni del caso

precedente.

In uno scambiatore di calore è il calore scambiato ad essere espressione di una differenza di entalpia.

Ugello di efflusso

Un ugello di efflusso è un condotto conformato appositamente per accelerare un flusso che circola al suo

interno. Utilizzando le stesse considerazioni fatte nel caso della turbina, si può considera tale accelerazione

come un processo adiabatico. In particolare, poiché , si può considerare nulla la velocità di

entrata. Anche in questo caso, in assenza di organi in movimento, il lavoro esterno è nullo, come la

variazione di energia potenziale.

Il salto entalpico permette dunque l'uscita a velocità elevata del fluido. In particolare, , infatti,

applicando la formula dell'entalpia:

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Il primo termine è nullo, trattandosi di una trasformazione adiabatica reversibile. Inoltre poiché un fluido si

muove da zone a pressione maggiore verso zone a pressione minore, il secondo termine risulta negativo. Di

conseguenza, anche la variazione di entalpia lo è.

Compressore

A differenza della turbina, con il compressore cede lavoro al fluido. Come nei casi precedenti la variazione

di energia potenziale si può considerare nulla; analogamente alla turbina, il calore scambiato e la variazione

di energia cinetica sono trascurabili.

Poiché lavoro esterno è fatto sul sistema, esso è negativo; quindi la variazioni di entalpia è positiva.

2.3.a. Espressione del lavoro in un sistema chiuso ed in un sistema aperto.

Si consideri l'espressione differenziale della conservazione di energia per un sistema aperto, dell'entalpia

e dell'energia interna:

Sostituendo le ultime due relazioni nella prima, si ottiene:

Per un sistema aperto, dunque, il lavoro non dipende dalla quantità di calore scambiato, ma solo dalla

variazione di volume e di pressione del sistema. In particolare il lavoro esterno netto:

Esso è positivo solo se le differenza di pressione è negativa, essendo il volume sempre positivo.

In un piano Pv, per un sistema chiuso il lavoro corrisponde all'area sottesa al grafico della trasformazione,

per un sistema aperto alla porzione di grafico tra l'asse P, le rette parallele all'asse y che intersecano i punti

di inizio e fine della trasformazione e la trasformazione stessa.

2.3.b. Esempio del compressore alternativo.

Si consideri un recipiente con pistone mobile e valvole che permettono il passaggio di aria. Tale sistema

può essere considerato chiuso.

Nella prima fase, le valvole sono aperte, l'aria fluisce dentro al recipiente e il pistone si muove verso destra.

Il lavoro di tale trasformazione isobara (p = 1 atm) è chiamato L .

1

Nella seconda fase, a valvole chiuse, il volume d'aria viene compresso adiabaticamente fino a raggiungere

una certa pressione P . Il lavoro compiuto è detto L .

2 2

Nella terza fase, si pone a contatto un serbatoio alla stessa pressione P2: per permettere il passaggio di aria

dal primo al secondo serbatoio, è necessario spingere il pistone verso sinistra. Il lavoro compiuto è detto L3.

Il lavoro totale compiuto sarà la somma dei tre singoli lavori.

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Ma considerando la somma di L1 e L3 come lavoro di pressione, allora si può considerare la possibilità di

passare da un sistema chiuso ad uno aperto attraverso un lavoro di pulsione. Infatti considerando positivo il

lavoro svolto dal pistone quando si muove verso destra e negativo il lavoro nel caso contrario, il lavoro

risultante è uguale al lavoro di un sistema aperto.

2.4. Bilancio entropico.

In un qualsiasi volume chiuso:

In un sistema aperto, invece, si ha che istante per istante:

Considerando un regime stazionario, tale derivata è nulla perché le grandezze non variano nel tempo.

Inoltre, considerando una adiabatica:

dove G è la portata massica.

2.5. Isoentalpica di Joule-Thomson.

La trasformazione isoentalpica di Joule-Thomson è l'equivalente per un sistema aperto dell'espansione

libera di Joule ed è utilizzata per abbassare la pressione in un organo di macchina senza parti in movimento.

Il fluido che evolve è un fluido qualsiasi, non vengono fatte ipotesi su gas perfetti o sulla reversibilità della

trasformazione, ma solo sulla stazionarietà del moto. L'equivalenza sui sistemi aperti si applica su due

sezioni a monte e a valle del setto poroso. Se così non fosse, considerando una sezione all'interno del setto,

non si potrebbe trascurare la variazione dell'energia cinetica.

Considerando la parte di un recipiente cilindrico compresa tra due pistoni e un setto poroso tra essi, si

ipotizza uno spostamento dei pistoni a causa di una differenza di pressione ( ). Utilizzando il primo

principio della termodinamica, La quantità di calore scambiata è nulla, perché la

trasformazione è considerata adiabatica, perciò:

Risulta quindi che . Ciò significa che .

Se il gas preso in considerazione è un gas perfetto, allora anche , poiché . Nel caso in cui

il gas non sia perfetto, allora , ma allora P varia in modo tale che T rimanga costante.

Considerando ora , risulta allora che:

In particolare il secondo termine è negativo, poiché a causa del setto poroso . Di conseguenza, il

primo termine è positivo e in particolare dovuto al solo termine , poiché la trasformazione è

adiabatica. Integrando si ottiene quindi che .

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2.6. Lavoro in una pompa.

Il lavoro di una pompa corrisponde al solo lavoro di pulsione. Infatti, considerando un liquido, una

variazione di pressione non determina una variazione di volume: esso risulta quindi incomprimibile.

La potenza sviluppata, invece, è:

2.7. Compressione in due stadi.

La compressione a due stadi viene utilizzata in alternativa ad una isoterma, che, sebbene permetta di

risparmiare ancora più lavoro, necessita di tempi lunghissimi per avvenire. La compressione avviene tramite

l'utilizzo di un compressore che, con una trasformazione adiabatica, abbassa la pressione fino a quella

atmosferica. Qui, uno scambiatore di calore, l'intercooler, cede calore a pressione costante. Infine un

secondo compressore, con una seconda trasformazione adiabatica, porta la pressione del fluido al valore

desiderato. Come già detto, questo procedimento permette di risparmiare lavoro, ma anche di abbassare la

temperatura del fluido, che risulta minore di quella ottenuta con un unica compressione.

2.8. Rendimento isoentropico.

Analogamente ad un compressore, una turbina ideale utilizza una trasformazione adiabatica reversibile.

Conseguentemente, lavoro svolto e calore scambiato sono nulli. In particolare:

Tuttavia il salto entropico reale risulta minore di quello ideale, poiché intervengono forze dissipative come

l'attrito. Nella realtà infatti, non esistono trasformazioni adiabatiche reversibili, poiché è sempre presente

un . Di conseguenza il rendimento viene definito come:

 per una turbina;

 per un compressore;

in modo tale che esso sia inferiore all'unità e permetta di trovare un salto entropico in funzione dell'altro.

Poiché compressore e turbina operano tra due trasformazioni isobare, il salto entropico può essere trovato

tramite la formula .

2.9.a. Trasformata di Legéndre, potenziali termodinamici e diagramma U-S.

Trasformata di Legéndre

Data una qualsiasi funzione f(x), allora dove q è l'intercepta della retta tangente alla

funzione f(x) nel punto (x;y).

Potenziali termodinamici

Il primo principio della termodinamica afferma che: . Ciò vuol dire che l’energia interna è

funzione dell’entropia e del volume. Differenziando si ottiene:

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Uguagliando al primo principio:

Applicando Legéndre ottengo:

dove a è l’energia libera di Helmholtz.

Inoltre:

dove g è l’energia libera di Gibbs.

Differenziando i singoli potenziali termodinamici:

Riepilogando:

2.9.b. Derivazione dei coefficienti elastici e dei calori specifici.

Coefficiente di dilatazione isobara β: determina quanto varia in percentuale il volume in una

trasformazione isobara.

Coefficiente di comprimibilità isoterma : determina quanto varia in percebtuale il volume variando la

pressione a temperatura costante.

Coefficiente di comprimibilità isoentropico : determina quanto varia in percentuale il volume variando la

pressione a entropia costante.

Calore specifico a volume costante:

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Calore specifico a pressione costante:

2.10. Relazioni di Maxwell

Dalla differenziazione dell’energia interna si ricava che:

Dalla differenziazione dell’entalpia si ricava che:

Dalla differenziazione dell’energia libera di Helmoltz si ricava che:

Dalla differenziazione dell’energia libera di Gibbs si ricava che:

Si nota che:

Applicando il teorema di Schwarz, cioè che le derivate parziali miste di una f