Appunti di fisica sperimentale

Cinematica e dinamica

Quantità di moto

P = m x v — sapendo che F = m x a = m x dv/dt allora F = dP/dt

Teorema dell'impulso

∫ F dt = ∫ dP/dt x dt = ∫ dP = P x t₂ - P x t₁ — I = ΔP = m x vf - m x vi

Momento angolare

Definito come il momento della quantità di moto. L = r X P = r X m x v (X sta per prodotto vettoriale)

Momento della forza

M = r X F

dL°/dt = d(r X P)/dt = dr/dt X P + r X dP/dt da cui dL°/dt = M° che è il principio di conservazione del momento angolare (se M° = 0 allora L° è costante)

Proprietà delle forze centrali

Forze che agiscono in una certa regione dello spazio chiamato campo di una forza. F = F (r) µr (µr vettore direzione di r)

• 1° Proprietà: Il momento angolare rispetto al centro è costante
• 2° Proprietà: m x r² x w — r² x w = r² x dø/dt = costante perché il moto è piano
• In un tempo dt il raggio vettore spazza un’area dA = 1/2 x r² x dø/dt allora dA/dt = L/(2 x m) chiamata velocità areolare.
• 3° Proprietà: tutte le forze centrali sono conservative

Lavoro delle forze centrali

W = ∫ F (r) µr ds — dove µr ds = dr

W = ∫ F (r) dr = f x (r_B) - F x (r_A)

Sistema di punti materiali

Considerando un sistema di n punti materiali interagenti tra di loro e con il resto dell’universo; la forza F_i agente sull’i-esimo punto si può pensare come risultante delle forze esterne agenti sul punto e dalle forze interne al sistema esercitate dagli n - 1 punti.

F_i = F_i (ext) + F_i (int)

In generale la risultante di tutte le forze interne è nulla perché rispetta il principio di azione e reazione.

Centro di massa

È il punto geometrico la cui posizione è individuata dal raggio vettore r_cm = (∑_i m_i x r_i) / (∑_i m_i)

La posizione del centro di massa non dipende dal sistema di riferimento, mentre le sue coordinate variano a seconda del sistema prescelto.

v_cm = dr_cm / dt = (∑_i m_i x v_i) / (∑_i m_i) = P/m

a_cm = dr_cm / dt = (∑_i m_i x a_i) / (∑_i m_i)

m_i x a_i = F_i = F_i (ext) + F_i (int)

Il moto del centro di massa è determinato solo dalle forze esterne.

Urto elastico

• 1/2 x m₁ x v₁² + 1/2 x m₂ x v₂² = 1/2 x m₁ x V₁² + 1/2 x m₂ x V₂²
• m₁ x v₁ + m₂ x v₂ = m₁ x V₁ + m₂ x V₂

C’è conservazione di energia cinetica e di quantità di moto.

v_1i = v_1i ‘ + v_cm v_2i = v_2i’ + v_cm

v_1f = v_1f’ + v_cm v_2f = v_2f’ + v_cm

v_cm = (m₁ x v_1i + m₂ x v_2i) / (m₁ + m₂)

=> v_1f = ((m₁ - m₂) x v_1i + 2 x m₂ x v_2i) / (m₁ + m₂)

V_2f = (2 x m₁ x v_1i + (m₂ - m₁) x v_2i) / (m₁ + m₂)

ΔEk = Ek (fin) - Ek (in) = 1/2 x (m₁ + m₂) x v² _cm - 1/2 x m₁ x v₁² - 1/2 x m x v₂²

Urto completamente anelastico

I due punti dopo l’urto restano attaccati (m₁ + m₂)

m₁ x v₁ + m₂ x v₂ = (m₁ + m₂) x V

m₁ x v₁ + m₂ x v₂ = (m₁ + m₂) x V_cm

C’è solo conservazione della quantità di moto.

Teoremi di König

Stabiliscono le relazioni tra i momenti angolari e le energie cinetiche di un sistema di punti materiali.

L = ∑_i r_i X (m_i x v_i)

L = ∑_i (r_i’ + r_cm) X (m_i x (v_i’ + v_cm))

= ∑_i r_i’ X (m_i x v_i’) + ∑_i r_i’ X (m_i x v_cm) + ∑_i r_i (cm) X (m_i x v_i’) + ∑_i r_cm X (m_i x v_cm)

• Il primo termine rappresenta il momento angolare rispetto al centro di massa.
• Il secondo e terzo termine sono nulli.
• Il quarto termine rappresenta il momento angolare, rispetto all’origine del sistema inerziale, di un punto materiale che ha una massa pari a quella totale del sistema.

Primo teorema di König: L = L’ + r_cm X (m x v_cm) = L’ + L_cm

Secondo teorema di König: Ek = Ek’ + 1/2 x m x v² _cm = Ek’ + Ek_cm

Prima e seconda equazione cardinale della dinamica

• F = dP/dt (dimostrata nel primo foglio)
• r X F = r X dP/dt — M = dL/dt (dimostrata nel primo foglio)

Corpo rigido

Un corpo rigido è un sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non possono variare.

Sistemi di riferimento

• Sistema inerziale
• Sistema del centro di massa
• Sistema con assi solidi al corpo rigido

Un corpo rigido è formato da n punti ognuno dei quali è individuato nello spazio da tre parametri (coordinate).

Il numero ‘l’ di parametri necessari per descrivere il moto di un sistema si chiama numero di gradi di libertà del sistema.

Il moto del corpo rigido è determinato dalle sole forze esterne; si tratta di sistemi di forze caratterizzati da una risultante R (ext) e da un momento angolare M (ext).

(Nelle formule da qui in poi non scriverò più (ext) perché è sottinteso).

R = m x a_cm M = dL/dt ΔEk = W

Moto di un corpo rigido

Moto di traslazione

Tutti i punti descrivono traiettorie eguali, percorse con la stessa velocità v = v_cm

Quantità di moto: P = m x v_cm

Energia cinetica: Ek = 1/2 x m x v² _cm

Eq. del moto del cm: R = M x a_cm

Momento angolare: L = L_cm = r_cm X m x v_cm = r_cm X P

Moto di rotazione

Tutti i punti descrivono un moto circolare, le traiettorie sono archi di circonferenze che stanno su piani paralleli e hanno centro su di uno stesso asse, l’asse di rotazione.

Tutti i punti hanno, in un dato istante, la stessa velocità angolare w, che è parallela all’asse di rotazione; le velocità v_i dei singoli punti sono diverse a seconda della distanza R_i dall’asse di rotazione. (v_i = w x R_i)

Eq. dinamica di base del moto: M = dL/dt

vi = w x R_i

a_i (normale) = w² x R_i

a_i (tangente) = a x R_i

Moto rigido più generale

Il moto rigido più generale è un moto di rototraslazione: ogni spostamento infinitesimo può sempre essere considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime, individuate da v e w, variabili nel tempo.

Considerando due punti P e Q di un corpo rigido: v_P = v° + w X OP

v_Q = v° + w X OQ

v_P - v_Q = w X QP => v_P = v_Q + w X QP

Corpo continuo e densità

Il singolo punto materiale va allora pensato come un piccolo volume dV contenente una massa dm.

Densità: ∂ = dm/dV — m = ∫ ∂ dV

Un corpo nel quale la densità è costante si dice omogeneo, per esso: ∂ = m/V e m = ∂ x V

Nel caso in cui la massa non sia distribuita su di un volume, ma su di una superficie S — densità superficiale e densità lineare

Densità superficiale: ∂_s = dm/dS => m = ∫ ∂_s dS

Densità lineare: ∂_l = dm/dl => m = ∫ ∂_l dl

Volume specifico: v = 1/∂ = dV/dm

Calcolo posizione del centro di massa

La posizione di ciascun punto di un corpo rigido, di massa dm = ∂ dV, è individuata dal raggio vettore r => posizione del centro di massa è data dalla somma degli...