Appunti di Fisica tecnica

S

La trasmissione di calore può avvenire solo se c’è differenza di temperatura.

Prendiamo due corpi:

n n Solo l’energia che raggiunge l’altro corpo genera un passaggio di

→Problema

calore dell’irraggiamento.

4 4

∗ ∗

q = σT q = σT

1 2

1n 2n

T T < T

1 2 1

Modalità di trasmissione del calore

Le modalità di trasmissione del calore sono tre, ma possono non essere contemporaneamente presenti.

Per esempio: →

Solidi opachi Si ha trasmissione del calore solo per conduzione.

Solido opaco →

T T Solidi semitrasparenti Si ha trasmissione del calore per conduzione ed irraggiamento.

1 2

Conduzione

Gas

T →

T Fluido in quiete Si ha trasmissione del calore per conduzione ed eventualmente per

1 2

Irraggiamento irraggiamento. →

Fluido in movimento Si ha trasmissione del calore per convezione ed irraggiamento.

Conduzione/

Convezione

Vuoto →

Vuoto Si ha trasmissione del calore solo per irraggiamento.

T T

1 2

Irraggiamento

Conduzione termica

Lo studio dello scambio termico per conduzione all’interno di un mezzo, comporta la conoscenza della distribuzione

T(x, y, z, τ).

di temperatura, cioè la conoscenza della funzione Questa funzione può essere ottenuta dalla risoluzione

dell’equazione generale della conduzione, che esprime il bilancio di energia in un mezzo sede di propagazione di

calore.

∗

Q = q A∆τ

dT Q e q* si trovano solo se si studia la temperatura

∗

q = −λ dx

Dove A è l’area della superficie perpendicolare alla direzione di propagazione.

dV dx, dy, dz

Si consideri un generico volume infinitesimo di spigoli e si assuma che:

1. Il mezzo sia costituito da un solido opaco a baricentro fermo con proprietà fisiche definite e indipendenti dal

tempo τ; dV

2. All’interno del volume il calore genato nell’unità di tempo e di volume sia espresso dalla funzione

g(x, y, z, τ), la cui unità di misura nel SI è .

⁄ 3

= + ℒ

→

ℒ dV

dipende da In un edificio le variazioni di volume conseguenti alle variazioni di temperatura sono molto

→ →

dV ℒ

piccole rispetto all’oggetto è trascurabile è trascurabile.

Quindi:

=

∂Q = dU

=

=

′

Calore

⏟ netto scambiato + Calore generato all interno del volume = Variazione di energia interna

( − )

Equazione generale della conduzione →

L’equazione di Fourier solo se il flusso è monodimensionale Dividendo q* in componenti si ottiene un flusso

monodimensionale.

Si consideri il cubo:

y Q y+dy

dy Il calore netto scambiato lungo x è: ∗

= ∙ ∙ ∙

⏟

∗

∗ ∗

= ∙ ∙ ∙ = ( + ) ∙ ∙

⏟ + +

∗ ∗

− = − ∙ ∙ ∙ = − ∙

+

Calore netto scambiato lungo y è:

∗ ∗

− = − ∙ ∙ ∙ = − ∙

+

Calore netto scambiato lungo z è: ∗ ∗

− = − ∙ ∙ ∙ = − ∙

+

=

Il calore generato nell’unità di tempo e volume è definito dalla funzione: , quindi:

∆∙

∂Q = g ∙ dV ∙ dτ

g

Calcoliamo dU: ∂T

du = c dT → dU = mc dT → dU = ρdV ∙ c dτ

v v p

∂τ

=

Quindi: ∂U ∂T

dU = dτ = ρc dτ ∙ dV

∂τ ∂τ

Dove:

→ Calore generato nell’unità di tempo e di volume

→ Volume

→ Densità

→ Tempo ∗

∗ ∗

∂T

→Sostituendo:

∂Q = dU − ∙ − ∙ − ∙ + g ∙ dV ∙ dτ = ρc dτ ∙ dV

∂τ

Dal momento che si considera lo stesso volume, possiamo scrivere:

∗

∗ ∗

∂T

− − − + g = ρc

∂τ

Sostituendo ai flussi specifici l’Equazione di Fourier si ha:

∂T

− (− ) − (− ) − (− ) + = ρc

∂τ

Prima approssimazione → →

= = =

Si usa un materiale isotropo ed omogeneo: λ diventa costante

→

rispetto alla direzione Si può portare fuori dalla derivata.

generale della conduzione per un materiale omogeneo e isotropo

L’Equazione è:

2 2 2

∂T ∂T

2

( + + + = ρc → ∙ ∇

⏟

+ = ρc

)

2 2 2

∂τ ∂τ

ρc:

Dividendo tutto per 2 2 2

∂T

+ + + =

( )

2 2 2

∂τ 16°C

20°C -1.6 °C

→

= =

Ponendo Diffusività termica Può essere vista come il rapporto tra la

20°C

capacità che ha un materiale di condurre energia termica, Valore della diffusività termica per alcune sostanze

16°C

e la sua capacità di accumulare energia (un alto valore di 20°C 16°C

diffusività termica indica una veloce propagazione -1.6 °C

dell’energia termica, mentre un valore basso, indica che

→

nel materiale è preponderante l’accumulo) Velocità

→

con cui il calore si propaga nel materiale Molto 20°C

importante quando T varia nel tempo (si può vedere 16°C -1.6 °C

quanto tempo ci mette il materiale ad arrivare tutto alla 16°C

stessa temperatura quando c’è una variazione di T). -1.6 °C

3 2

∙

[] = ∙ ∙ =

L’unità di misura è: 20°C -1.6 °C

∙

⏟ 16°C

∙

Quindi:

2 2 2

∂T ∂T

2

+ + + = → ∙ ∇ + =

( )

2 2 2

∂τ ∂τ

Equazione generale della conduzione:

- In coordinate cilindriche (r, θ, z),

Adottando un sistema di coordinate cilindriche con una dimostrazione analoga alla precedente si ha:

2 2 2

1 ∂ T ∂ T ∂ T 1 ∂T ∂T

λ( + + + ) + g = ρc

2 2 2 2

r ∂θ ∂z ∂r r ∂r ∂τ

- Casi particolari ∂T

2

∙ ∇ + =

Materiale isotropo e omogeneo: ∂τ

Caso senza generazione interna di calore Equazione di Fourier:

→

(g=0) ∂T

2

∙ ∇ = ∂τ

Caso allo stato stazionario Equazione di Poisson

→ (la temperatura non varia nel tempo):

2

∙ ∇ + =0

Caso allo stato stazionario e senza generazione di calore Equazione di Laplace:

→

2

∇ = 0 →

La legge ci impone per i calcoli una T esterna (-2°C) e interna (20°C) fissa Nel nostro caso non c'è variazione di

temperatura rispetto al tempo (la legge fa aggiungere eventuali ponti termici dopo).

→

Inoltre, nella parte di tamponamento non c'è generazione di calore Calcoli fatti considerando la parete come

monodimensionale.

Noi usiamo l’equazione di Laplace.

Soluzione dell’equazione di Laplace

La legge ci fa considerare tutte le pareti di tamponamento (pareti che dividono gli ambienti riscaldati da quelli non

riscaldati). →

Per ogni ambiente si ha una temperatura rispetto alla quale si devono calcolare le dispersioni monodimensionali

2

∇ diventa monodimensionale.

In una parete di tamponamento i piani perpendicolari alla direzione sono isotermi:

2

() ()

=0→ [ ]=0→ = → () = ∙ →

1 1

2

Si devono trovare 2 condizioni al contorno per

→ () = ∙ + →

1 2

Scambio termico per conduzione Caso della lastra piana

→

Soluzione con condizioni del 1° tipo:

T Imporre condizioni del primo tipo vuol dire imporre:

→ = 0 → (0) =

1

→ = → () =

2

>

Con .

1 2

Per il 2° Principio il flusso va da T a T ed è diretto nella direzione dell’asse x.

1 2 [0, ]

Il dominio (dove varia la temperatura) è:

0 L x () = ∙ +

Dall’Equazione di Laplace si ha: 1 2

Inserendo le condizioni al contorno si trova:

→ (0) = ∙ 0 + → =

1 2 2 1 − −

→ 2 1 1 2

() = ∙ + → ∙ + = → = → =−

1 2 1 1 2 1 1

<

2 1

Sostituendo c e c , si trova come T varia in direzione della x:

1 2 −

1 2

() = − ∙ +

1

Il termine della X indica quanta temperatura si perde durante il flusso.

Mettendo in evidenza la temperatura da cui si parte: −

1 2

T () = − ∙

1

Soluzione con condizioni del 1°