Appunti di Fisica I sulla meccanica dei fluidi

VARIAZIONE DELLA PRESSIONE

Si mostra come la pressione in un liquido aumenti linearmente con la profondità. Si considera un liquido di densità ρ a

riposo, come in figura. Si sceglie un campione del liquido contenuto entro un immaginario cilindro di area di base A che

si estende dalla superficie del liquido fino a profondità d + h. Questo campione di liquido è in equilibrio e fermo. Quindi,

in accordo con la seconda legge di Newton, la forza risultante sul campione deve essere nulla. Il liquido esterno al

campione esercita forze su tutti i punti della superficie del campione, perpendicolarmente alla superficie. Sui lati del

campione le forze dovute alla pressione agiscono orizzontalmente e si cancellano in coppie su lati opposti del campione,

producendo una forza orizzontale risultante nulla. La pressione esercitata dal fluido sulla superficie inferiore è P, e la

pressione sulla faccia superiore del cilindro è la pressione P . Quindi, l’intensità della forza verso l’alto esercitata dal

0

liquido sul fondo del cilindro è PA, e l’intensità della forza verso il basso esercitata dall’atmosfera sulla superficie

superiore del cilindro è P A. Inoltre, si esercita una forza di gravità sul campione. Poiché il campione è in equilibrio, la

0

forza risultante nella direzione verticale deve essere zero:

∑ =0 → − − =0

0

VARIAZIONE DELLA PRESSIONE

Poiché la massa del liquido nel campione è M = ρV = ρAh, il peso del fluido nel campione è Mg = ρgAh. Quindi:

= + h

0

Ossia:

= + h

0

Se la parte superiore della superficie si trova in d = 0, cosicché essa è aperta all’atmosfera, allora P è la pressione atmosferica.

ogni aumento della pressione alla superficie deve essere trasmesso in ogni punto del liquido. Questa legge fu scoperta dallo

scienziato francese Blaise Pascal e si chiama legge di Pascal:

UNA VARIAZIONE DI PRESSIONE APPLICATA A UN FLUIDO CHIUSO È TRASMESSA INTEGRALMENTE IN OGNI

PUNTO DEL FLUIDO E ALLE PARETI DEL CONTENITORE.

MISURE DI PRESSIONE

La pressione barometrica è la normale pressione dell'atmosfera, che varia su un intervallo piccolo rispetto la pressione

standard fornita nell’equazione P = 1.00 atm ~ 1.013 X 10 Pa. Uno strumento utilizzato per la misura della pressione

5

0

atmosferica è il comune barometro. Un lungo tubo chiuso ad un’estremità viene riempito con mercurio e poi rovesciato in un

bicchiere pieno di mercurio come in figura a. All’estremità chiusa del tubo si forma quasi un vuoto totale e perciò la pressione in

cima alla colonna di mercurio può essere considerata zero. Quando varia la pressione atmosferica, varia l’altezza della colonna

di mercurio, cosicché l'altezza può essere calibrata per misurare pressione atmosferica. e terminiamo l'altezza della colonna di

mercurio per una atmosfera di pressione, P = 1 atm = 1.013 X 10 Pa:

5

o 5

1,013 10

0

= h → h = = = 0,760

0 (13,6 10 / )(9,80 / )

3 3 2

La pressione nei punti A e B, nella figura b, deve essere la stessa e la pressione in A è la pressione incognita del gas. Quindi,

uguagliando la pressione incognita P con la pressione nel punto B, si nota che P = P + ρgh. La differenza di pressione P - P

0 0

è uguale a ρgh. La pressione P si chiama pressione assoluta, mentre P - P si chiama pressione relativa.

0

FORZE DI GALLEGGIAMENTO E PRINCIPIO DI

ARCHIMEDE

La forza verso l’alto esercitata da un fluido su qualsiasi oggetto immerso è

chiamata forza di galleggiamento. Si può determinare la grandezza di una forza

di galleggiamento applicando un ragionamento astratto. Si considera una porzione

di acqua delle dimensioni del pallone da spiaggia al di sotto della superficie

dell’acqua come in figura b. Perché questa porzione sia in equilibrio, deve essere

una forza verso l’alto che bilancia la forza gravitazionale verso il basso. Questa

forza verso l’alto è la forza di galleggiamento e la sua grandezza è uguale al peso

dell’acqua nella porzione considerata. La forza di galleggiamento è la forza

risultante sulla porzione dovuta a tutte le forze applicate dal fluido che la

circondano. Di conseguenza, LA GRANDEZZA DELLA FORZA DI

GALLEGGIAMENTO SU UN OGGETTO È SEMPRE UGUALE AL PESO DEL

FLUIDO SPOSTATO DALL’OGGETTO. Questa affermazione è nota come

principio di Archimede.

FORZE DI GALLEGGIAMENTO E PRINCIPIO DI

ARCHIMEDE

La composizione dell’oggetto non è un fattore nella forza di galleggiamento perché la forza di galleggiamento è esercitata dal

fluido ad esso circostante. Si considera un cubo di materiale solido immerso in un liquido, come in figura. Secondo l’equazione

, la pressione P nella parte inferiore del cubo è maggiore della pressione P nella parte superiore di una

= + h basso alto

0

quantità ρ gh, dove h è l’altezza del cubo e ρ è la densità del fluido. La pressione nella parte inferiore del cubo provoca

fluido fluido

una forza verso l’alto uguale a P A, dove A è l’area della faccia inferiore. La pressione nella parte superiore del cubo causa

basso

una forza verso il basso uguale a P A. La risultante di queste due forze è la forza di galleggiamento B di ampiezza:

->

alto

( )

( )

= − = h

=

Dove V =Ah è il volume del fluido spostato dal cubo. Poiché il prodotto ρ V è uguale alla massa del fluido spostato

spost fluido spost

dall’oggetto:

=

dove Mg è il peso del fluido spostato dal cubo.

CASO I: OGGETTO COMPLETAMENTE IMMERSO

Quando un oggetto è totalmente immerso in un fluido di densità ρ , il volume V del fluido spostato è

fluido spost

uguale al volume V dell’oggetto; così, dall’Equazione 15.5, l’intensità della forza ascendente di

ogg

galleggiamento è B = ρ gV . Se l’oggetto ha una massa M e densità ρogg, il suo peso è pari a Fg = Mg =

fluido ogg

ρogggVogg e la forza netta sull’oggetto è B - Fg = (ρ - ρ )gV . Quindi, se la densità dell’oggetto è

fluido ogg ogg

minore della densità del fluido, la forza gravitazionale verso il basso è minore della forza di galleggiamento e

l’oggetto non sostenuto accelera verso l’alto, come in figura a. Se la densità dell’oggetto è maggiore della

densità del fluido, la forza di galleggiamento ascendente è minore della forza gravitazionale verso il basso e

l’oggetto non sostenuto affonda, come in figura b. Se la densità dell’oggetto sommerso è uguale alla densità

del fluido, la forza netta sull’oggetto è uguale a zero e l’oggetto rimane in equilibrio. Di conseguenza, la

direzione del moto di un oggetto immerso in un liquido è determinata solo dalla densità dell’oggetto e del

fluido. Lo stesso comportamento è esibito da un oggetto immerso in un gas, come l’aria nell’atmosfera. Se

l’oggetto è meno denso dell’aria, come un palloncino pieno di elio, l’oggetto fluttuerà verso l’alto. Se è più

denso, come una roccia, cadrà verso il basso.

CASO II: CORPO GALLEGGIANTE

Si considera un oggetto di volume V e densità ρ < ρ , in equilibrio statico, che galleggi sulla superficie

ogg ogg fluido

di un fluido, cioè un oggetto che sia solo parzialmente immerso, come in figura. In questo caso, la forza di

galleggiamento verso l’alto è bilanciata dalla forza gravitazionale che agisce sull’oggetto. Se V è il volume

spost

del fluido spostato dall’oggetto (questo volume è identico al volume di quella parte dell’oggetto sotto la

superficie del fluido), la forza di galleggiamento ha una intensità B = ρ gV . Poiché il peso dell’oggetto è

fluido spost

Fg = Mg = ρ gV e Fg = B, vediamo che ρ gV = ρ gV , o

ogg ogg fluido spost ogg ogg

=

Quindi, la frazione di volume dell’oggetto al di sotto della superficie del fluido è uguale al rapporto fra la

densità dell’oggetto e quella del fluido.

DINAMICA DEI FLUIDI

Finora si è parlato dello studio di fluidi in quiete, cioè la statica dei fluidi. Si rivolge l’attenzione alla dinamica dei fluidi, cioè lo studio dei fluidi in movimento. Invece di affrontare

lo studio del moto di ciascuna particella del fluido in funzione del tempo, si descriveranno le proprietà del fluido nel suo insieme.

CARATTERISTICHE DEL FLUSSO

In un fluido in moto, si possono caratterizzare due tipi principali di flusso. Il flusso è detto stazionario o laminare quando i cammini seguiti da ciascuna particella del fluido non

si intersecano tra di loro. In condizioni di flusso stazionario, la velocità del fluido in ogni punto rimane costante nel tempo. Per velocità superiori a un valore critico, il flusso del

fluido diventa turbolento. Il termine viscosità viene comunemente usato per definire il grado di attrito interno nel flusso di un fluido.

Nel modello semplificato, si fanno le seguenti quattro assunzioni:

Fluido non viscoso. In un fluido non viscoso l’attrito interno viene trascurato. Un oggetto in moto in un fluido non è soggetto a forze d’attrito viscose.

❖ Fluido incomprimibile. La densità del fluido rimane costante nel tempo, indipendentemente dalla pressione nel fluido.

❖ Flusso stazionario. In un flusso stazionario, si considera che la velocità in ogni punto del fluido non vari nel tempo.

❖ Flusso irrotazionale. Il flusso del fluido è irrotazionale se il momento angolare del fluido è nullo in ogni punto. Se una piccola ruota a pale, posta in qualsiasi punto del fluido, non

❖ ruota attorno al suo centro di massa, il flusso è irrotazionale.

LINEE DI CORRENTE ED EQUAZIONE DI

CONTINUITÀ DEI FLUIDI

Il cammino seguito da una particella di un fluido in un flusso stazionario è chiamato

linea di corrente. La velocità di una particella del fluido risulta sempre tangente in

ogni punto a