Appunti di Fisica I sulla gravità, le orbite circolari e l'atomo di idrogeno

La gravità, le orbite planetarie e l'atomo di idrogeno

Si applicheranno i precedenti modelli di analisi a due modelli strutturali molto comuni: un modello strutturale per un sistema grande, il Sistema Solare, e un modello strutturale per un sistema piccolo, l'atomo di idrogeno. Si ritroverà la legge di gravitazione universale di Newton e si mostrerà com’essa permette di capire il moto dei pianeti, della luna e dei satelliti artificiali della Terra.

Rivisitazione della legge di Newton della gravitazione universale

Se due particelle hanno masse m₁ e m₂ e sono separate da una distanza r, il modulo della forza gravitazionale fra esse è:

\[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \]

Dove G è la costante di gravitazione universale il cui valore nelle unità SI è: \( G = 6,674 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \).

La legge della forza data dall’equazione è spesso indicata come legge dell’inverso del quadrato, poiché il modulo della forza varia con l’inverso del quadrato della distanza tra le particelle. Possiamo esprimere questa forza attrattiva in forma vettoriale definendo un versore r diretto da m₁ a m₂, come in figura. La forza esercitata da m₁ su m₂ è data da:

\[ \vec{F}_{12} = -\frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \hat{r} \]

Dove il segno negativo indica che la particella m₂ è attratta verso la particella m₁.

In maniera analoga, per la terza legge di Newton, la forza esercitata da m₂ su m₁, indicata con F₂₁ è uguale in modulo e in direzione a F₁₂ e di verso opposto. Ossia queste forze formano una coppia azione-reazione e \( \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21} \). Come ha dimostrato Newton, la forza gravitazionale esercitata da una distribuzione di massa a simmetria sferica, di dimensione finita, su una particella esterna alla sfera è la stessa che si avrebbe se tutta la massa della distribuzione fosse concentrata nel suo centro.

Per esempio, la forza su una particella di massa m sulla superficie della Terra ha modulo:

\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \]

Dove M è la massa della Terra e R il raggio della Terra. La forza è diretta verso il centro della Terra.

Misura della costante di gravitazione

Un modo alternativo per immaginare la forza di gravità è quello di pensare all’interazione gravitazionale come a un processo in due passaggi con implicato un campo gravitazionale. Dapprima, un corpo (o massa sorgente) crea un campo gravitazionale g nello spazio intorno a sé. Poi, un secondo corpo di massa m presente in questo campo avverte una forza \( \vec{F} = m \vec{g} \). In altre parole, si intende che sia il campo a esercitare una forza su una massa di prova piuttosto che direttamente la massa sorgente. Il campo gravitazionale è definito da:

\[ \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} \]

Cioè il campo gravitazionale in un punto dello spazio è equivalente alla forza gravitazionale che una massa di prova m avverte in quel punto diviso per la massa. Di conseguenza, se g è noto in qualche punto dello spazio, una particella di massa m avvertirà una forza gravitazionale \( \vec{F} = m \vec{g} \) quando posta in quel punto.

Consideriamo un corpo di massa m vicino alla superficie della Terra. La forza di gravità sul corpo è diretta verso il centro della Terra e ha intensità mg. Quindi, vediamo che il campo gravitazionale agente su un corpo in un punto ha un’intensità pari all’accelerazione di caduta libera in quel punto. Poiché la forza di gravità su un corpo ha un’intensità GMm/r² (dove M è la massa della Terra), il campo g a distanza r dal centro della Terra è dato da:

\[ \vec{g} = -\frac{GM}{r^2} \hat{r} \]

Dove r è un versore diretto radialmente esternamente alla Terra e il segno negativo indica che il vettore campo è diretto verso il centro della Terra. Si noti che i vettori campo, in diversi punti in prossimità della massa sferica, variano sia in direzione che in intensità. In una piccola regione vicino alla superficie terrestre, g è quasi costante e il campo verso il basso è uniforme come in figura b. L’equazione precedente è valida per tutti i punti esterni alla superficie della Terra, assumendo che la Terra sia sferica e che la rotazione possa essere trascurata. Alla superficie della Terra, dove r = R_T, g ha il valore di 9,80 m/s².

Modelli strutturali

Si sono anticipate quattro categorie di modelli. La quarta categoria è quella dei modelli strutturali. In questi modelli, si propongono delle strutture teoriche nel tentativo di capire il comportamento di un sistema col quale non possiamo interagire direttamente a causa della diversa scala, molto più piccola o molto più grande, rispetto al mondo macroscopico. Uno dei primi modelli strutturali studiati fu quello del posizionamento della Terra nell’Universo. Questa organizzazione della Terra e degli altri corpi costituisce un modello strutturale dell’Universo chiamato modello geocentrico. In generale, un modello strutturale contiene le seguenti caratteristiche:

• Una descrizione delle componenti fisiche del sistema: nel modello eliocentrico, le componenti sono i pianeti e il Sole.
• Una descrizione della posizione reciproca delle componenti e delle loro interazioni: nel modello eliocentrico, i pianeti sono in orbita attorno al Sole e interagiscono per mezzo della forza di gravità.
• Una descrizione dell’evoluzione temporale del sistema: il modello eliocentrico assume un Sistema Solare nello stato stazionario, con i pianeti che ruotano nelle loro orbite attorno al Sole con periodi fissi.
• Una descrizione dell’accordo fra le previsioni del modello e le reali osservazioni e, possibilmente, previsioni di nuovi effetti non ancora osservati: il modello eliocentrico prevede osservazioni di Marte fatte dalla Terra che sono in accordo con misure passate e attuali.

Le leggi di Keplero

L’analisi di Keplero mostrò per la prima volta che il concetto di orbite circolari attorno al Sole nel modello eliocentrico doveva essere abbandonato. Scoprì che l’orbita di Marte poteva essere descritta accuratamente da una curva detta ellisse. Egli allora generalizzò questa analisi estendendola al moto di tutti i pianeti. L’analisi completa è riassunta in tre enunciati, noti come leggi di Keplero del moto dei pianeti. Newton dimostrò che queste leggi erano la conseguenza della forza gravitazionale che si esercita tra due masse qualsiasi. La legge della gravitazione universale di Newton, insieme alle sue leggi del moto, fornisce la base per una completa descrizione matematica del moto dei pianeti e dei satelliti.

La prima legge di Keplero

La prima legge di Keplero indica che l’orbita circolare di un corpo intorno al centro di una forza gravitazionale è un caso molto particolare e che le orbite ellittiche sono il caso più generale:

Ciascun pianeta descrive orbite ellittiche con il Sole in uno dei fuochi.

La figura mostra la geometria di un’ellisse, che serve come modello geometrico per l’orbita ellittica di un pianeta. Un’ellisse è definita scegliendo due punti, F₁ e F₂, ciascuno dei quali è chiamato fuoco, e quindi tracciando una curva attraverso i punti per i quali la somma delle distanze r₁ e r₂ da F₁ e F₂ è costante. La massima distanza fra due punti sull’ellisse passando per il centro (e per i due fuochi) si chiama asse maggiore, e questa distanza è 2a. Nella figura, l’asse maggiore è tracciato lungo la direzione x. La distanza a si chiama semiasse maggiore. La minima distanza fra due punti sull’ellisse passando per il centro si chiama asse minore di lunghezza 2b, dove la distanza b è il semiasse minore. Ambedue i fuochi sono posizionati a distanza c dal centro dell’ellisse, dove a² = b² + c². L’eccentricità di un’ellisse è definita come e = c/a e descrive la forma generale dell’ellisse. Per una circonferenza, c = 0, e l’eccentricità è quindi zero. Tanto più b è minore di a, tanto più schiacciata è l’ellisse lungo la direzione y rispetto alla direzione x in figura. Quando b diminuisce, c aumenta, e l’eccentricità e aumenta. Quindi, alti valori dell’eccentricità corrispondono a ellissi più allungate e più sottili. L’intervallo di valori dell’eccentricità per un’ellisse è 0 < e < 1.

Si immagina un pianeta con un’orbita ellittica come quella mostrata nella figura, con il Sole nel fuoco F₂.