Appunti di Fisica I sulla gravità, le orbite circolari e l'atomo di idrogeno

MODELLI STRUTTURALI

Si sono anticipate quattro categorie di modelli. La quarta categoria è quella dei modelli strutturali. In questi modelli, si propongono delle strutture

teoriche nel tentativo di capire il comportamento di un sistema col quale non possiamo interagire direttamente a causa della diversa scala, molto più

piccola o molto più grande, rispetto al mondo macroscopico. Uno dei primi modelli strutturali studiati fu quello del posizionamento della Terra

nell’Universo. Questa organizzazione della Terra e degli altri corpi costituisce un modello strutturale dell’Universo chiamato modello geocentrico.

In generale, un modello strutturale contiene le seguenti caratteristiche:

Una descrizione delle componenti fisiche del sistema: nel modello eliocentrico, le componenti sono i pianeti e il Sole.

❖ Una descrizione della posizione reciproca delle componenti e delle loro interazioni: nel modello eliocentrico, i pianeti sono in orbita attorno al Sole e

❖ interagiscono per mezzo della forza di gravità.

Una descrizione dell’evoluzione temporale del sistema: il modello eliocentrico assume un Sistema Solare nello stato stazionario, con i pianeti che

❖ ruotano nelle loro orbite attorno al Sole con periodi fissi.

Una descrizione dell’accordo fra le previsioni del modello e le reali osservazioni e, possibilmente, previsioni di nuovi effetti non ancora osservati: il

❖ modello eliocentrico prevede osservazioni di Marte fatte dalla Terra che sono in accordo con misure passate e attuali.

LE LEGGI DI KEPLERO

L’analisi di Keplero mostrò per la prima volta che il concetto di orbite circolari attorno al Sole nel modello eliocentrico doveva

essere abbandonato. Scoprì che l’orbita di Marte poteva essere descritta accuratamente da una curva detta ellisse. Egli allora

generalizzò questa analisi estendendola al moto di tutti i pianeti. L’analisi completa è riassunta in tre enunciati, noti come leggi di

Keplero del moto dei pianeti. Newton dimostrò che queste leggi erano la conseguenza della forza gravitazionale che si esercita

tra due masse qualsiasi. La legge della gravitazione universale di Newton, insieme alle sue leggi del moto, fornisce la base per una

completa descrizione matematica del moto dei pianeti e dei satelliti.

LA PRIMA LEGGE DI KEPLERO

La prima legge di Keplero indica che l’orbita circolare di un corpo intorno al centro di una forza gravitazionale è un caso molto

particolare e che le orbite ellittiche sono il caso più generale:

CIASCUN PIANETA DESCRIVE ORBITE ELLITTICHE CON IL SOLE IN UNO DEI FUOCHI.

La Figura mostra la geometria di un’ellisse, che serve come modello geometrico per l’orbita ellittica di un pianeta. Un’ellisse è

definita scegliendo due punti, F e F , ciascuno dei quali è chiamato fuoco, e quindi tracciando una curva attraverso i punti per i

1 2

quali la somma delle distanze r e r da F e F è costante. La massima distanza fra due punti sull’ellisse passando per il centro (e

1 2 1 2

per i due fuochi) si chiama asse maggiore, e questa distanza è 2a. Nella Figura, l’asse maggiore è tracciato lungo la direzione x.

La distanza a si chiama semiasse maggiore. La minima distanza fra due punti sull’ellisse passando per il centro si chiama asse

minore di lunghezza 2b, dove la distanza b è il semiasse minore. Ambedue i fuochi sono posizionati a distanza c dal centro

dell’ellisse, dove a = b + c . L’eccentricità di un’ellisse è definita come e c/a e descrive la forma generale dell’ellisse. Per

2 2 2 ≡

una circonferenza, c = 0, e l’eccentricità è quindi zero. Tanto più b è minore di a, tanto più schiacciata è l’ellisse lungo la

direzione y rispetto alla direzione x in figura. Quando b diminuisce, c aumenta, e l’eccentricità e aumenta. Quindi, alti valori

dell’eccentricità corrispondono a ellissi più allungate e più sottili. L’intervallo di valori dell’eccentricità per un’ellisse è 0 < e < 1.

LA PRIMA LEGGE DI KEPLERO

Si immagina un pianeta con un’orbita ellittica come quella mostrata nella figura, con il Sole nel fuoco F . Quando il pianeta si

2

trova nel punto più a sinistra del diagramma, la distanza fra il pianeta e il Sole è a + c. In questo punto, detto afelio, il pianeta si

trova alla massima distanza dal Sole. (Per un corpo in orbita intorno alla Terra, questo punto si chiama apogeo.) Al contrario,

quando il pianeta si trova all’estremità destra dell’ellisse, la distanza fra il pianeta e il Sole è a - c. In questo punto, detto perielio

(per un’orbita terrestre, perigeo), il pianeta si trova alla minima distanza dal Sole. La prima legge di Keplero è una diretta

conseguenza del fatto che la forza di gravitazione universale dipende dall’inverso del quadrato della distanza che separa i corpi

tra cui si esercita. Possono esistere anche corpi non legati (come un meteoroide proveniente dallo spazio profondo potrebbe

passare vicino al Sole una volta e non tornare più). Anche la forza di gravità fra il Sole e questi corpi varia come l’inverso del

quadrato della distanza di separazione, e le orbite permesse includono anche parabole (e = 1) e iperboli (e > 1).

LA SECONDA LEGGE DI KEPLERO

La seconda legge di Keplero:

IL RAGGIO VETTORE TRACCIATO DAL SOLE VERSO UN QUALUNQUE PIANETA SPAZZA

AREE UGUALI IN INTERVALLI DI TEMPO UGUALI.

Si può mostrare che questa legge è una conseguenza della conservazione del momento angolare per un

sistema isolato nel modo seguente. Si considera un pianeta di massa M che si muove attorno al Sole in

p

un’orbita ellittica, come in figura. Si considera un pianeta come un sistema. Si assume che il Sole sia

molto più massiccio del pianeta, cosicché il Sole rimane fermo. La forza gravitazionale agente sul pianeta

è una forza centrale, cioè una forza che è sempre diretta lungo il raggio vettore verso il Sole. Il momento

meccanico agente sul pianeta dovuto a questa forza centrale è zero poiché F è parallela a r Cioè:

g-> ->.

→ → → → ^

( )

≡ = =0

LA SECONDA LEGGE DI KEPLERO

Si ricorda che il momento esterno risultante agente su un sistema è uguale alla derivata temporale del momento angolare del

→

sistema; cioè, . Quindi, poiché per il pianeta, il momento angolare L del pianeta è una costante del

->

→ →

= = 0

moto:

→ → → → →

= = =

Possiamo mettere questo risultato in relazione alle seguenti considerazioni geometriche. In un intervallo di tempo dt, il raggio

vettore r in figura b spazza l’area dA, uguale alla metà dell’area |r x dr | del parallelogramma formato dai vettori r e dr .

-> -> -> -> ->

Poiché lo spostamento del pianeta nell’intervallo di tempo dt è dato da dr = v dt, si ha:

-> ->

1 1

→

→ → →

= = = ò =

2 2 2 2

dove L e M sono ambedue costanti. Si conclude che il raggio vettore dal Sole verso ogni pianeta spazza aree uguali in tempi

p

uguali. Questo risultato è una conseguenza del fatto che la forza gravitazionale è una forza centrale, la qual cosa implica che il

momento angolare del pianeta è costante. Quindi, la legge si applica a qualsiasi situazione che coinvolga una forza centrale,

indipendentemente dal fatto che dipenda dall’inverso del quadrato della distanza.

LA TERZA LEGGE DI KEPLERO

La terza legge di Keplero afferma:

IL QUADRATO DEI PERIODI ORBITALI DI OGNI PIANETA È PROPORZIONALE AL CUBO DEL SEMIASSE MAGGIORE DELL’ORBITA

ELLITTICA.

Si considera un pianeta di massa m e si suppone che si muova di moto circolare attorno al sole (massa m ), come in figura. poiché la forza

p s

gravitazionale agente sul pianeta fornisce l’accelerazione centripeta al pianeta in orbita circolare, si schematizza il pianeta come una particella in

moto circolare uniforme e si utilizza la legge di newton della gravitazione universale:

2

= → =

2

La velocità orbitale del pianeta è 2πr/T, dove T è il periodo; l’espressione precedente diventa quindi:

2 2

( )

(2 )

/ 4

2 3 3

= → = =

2

Dove K è una costante data da:

S 2

4

−19 2 3

= = 2,97 10 /

LA TERZA LEGGE DI KEPLERO

Questa equazione è anche valida per orbite ellittiche se sostituiamo r con la lunghezza a del semiasse maggiore:

2

( )

4

2 3 3

= =

L’equazione precedente è la terza legge di Keplero. Poiché il semiasse maggiore in un’orbita circolare è il raggio, l’equazione

precedente è valida sia per le orbite circolari che per quelle ellittiche. Si nota che la costante di proporzionalità K è indipendente

S

dalla massa del pianeta. Perciò l’equazione precedente è valida per tutti i pianeti. Se si dovesse considerare l’orbita di un satellite

attorno alla Terra, come la Luna, allora la costante avrebbe avuto un valore diverso, con la massa della Terra al posto della

massa del Sole, cioè K = 4π /GM .

2

T T

LA TERZA LEGGE DI KEPLERO:

DATI PLANETARI

In tabella è riportato un elenco di dati utili sui pianeti. L’ultima colonna di questa tabella conferma che T /r è una costante. Le piccole variazioni dei valori in

2 3

questa colonna sono dovute all’incertezza delle misure per i periodi e per i semiassi maggiori dei pianeti.

CONSIDERAZIONI ENERGETICHE SUL

MOTO DEI PIANETI E DEI SATELLITI

Si studia il moto orbitale dei pianeti dal punto di vista energetico. Si considera un corpo di massa m in moto con velocità v nelle vicinanze di un corpo di

massa M>>m. Questo sistema a due corpi potrebbe essere un pianeta che si muove attorno al Sole o un satellite in orbita attorno alla Terra, o una cometa

che passa una sola volta in prossimità del Sole. Si tratteranno i due oggetti di massa m e M come un sistema isolato. Se si assume che M sia a riposo in un

sistema di riferimento inerziale