Appunti di Fisica I

Fisica i Francesco Longo - Lezione 1

Sintesi

• Metodo scientifico
• Misure in fisica
  • Grandezza fisica e misura
  • Sistema di misura
  • Dimensione
• Errori nelle misure
• Cifre significative

Cinematica e dinamica – parte 1

Metodo scientifico

La prima fase del metodo scientifico consiste nell’osservazione di un fenomeno e nell’individuazione di tutte le grandezze fisiche in gioco. Si fa quindi un’ipotesi (si individua una possibile spiegazione), ovvero si individuano le possibili relazioni tra le grandezze fisiche considerate. Il metodo scientifico, per garantire l’oggettività e la razionalità nella descrizione di un fenomeno, ricorre all’uso del linguaggio matematico. Tale linguaggio è utilizzato a partire dalle ipotesi, fase a partire dalla quale si tenta di dare una descrizione del fenomeno. Successivamente si eseguono degli esperimenti con lo scopo di misurare (associare una misura) le grandezze fisiche considerate e verificare così la validità delle relazioni ipotizzate tra di esse. Si tenta infatti di individuare delle relazioni matematiche tra i valori delle grandezze per poi, basandosi sulle conoscenze teoriche, giungere eventualmente all’individuazione di nuove leggi o teorie. Il procedimento appena descritto è detto induttivo, ed è seguito da quello deduttivo, nel quale a partire dalle leggi o teorie formulate, si prevedono nuovi fenomeni. La correttezza di tali previsioni è poi controllata attraverso una verifica sperimentale che può confermare o invalidare le leggi o teorie.

Misure in fisica

Una grandezza fisica è una qualunque caratteristica di un oggetto o di un fenomeno che può essere misurata. In generale le grandezze in fisica vengono definite tramite il procedimento che porta alla loro misura. Tale misura viene espressa con un numero e con l’unità di misura a cui il numero si riferisce. A questo punto è necessario definire un sistema di misura che comprende (i) delle grandezze fisiche fondamentali, (ii) delle grandezze fisiche derivate composte a partire da quelle fondamentali e (iii) un metodo per ottenere multipli e sottomultipli delle unità fondamentali. La dimensione di una grandezza fisica è determinata dalla proprietà fisica che essa descrive. Quindi nel caso delle grandezze fisiche fondamentali le dimensioni saranno [L] (lunghezza), [M] (massa), [t] (tempo) e [T] (temperatura). Nel caso di grandezze fisiche derivate invece, la dimensione indica in quale modo essa è ottenuta a partire dalle grandezze fondamentali come ad esempio [L/t]. Importante ricordare che tutti i termini di un’equazione devono avere le medesime dimensioni e devono essere espressi nelle medesime unità di misura.

Errori delle misure

In fisica esistono due tipi di errori:

• Sistematici: sono dovuti a imperfezioni degli strumenti utilizzati nella misurazione. Ciò fa sì che le misure siano tutte regolarmente errate entro un certo limite.
• Casuali/Statistici: sono dovuti a fatti casuali e inevitabili generati da imprecisione dell’operatore o da variazioni casuali della grandezza fisica presa in esame. In questo caso la misura cercata è ottenibile, con un certo grado di errore, facendo la media aritmetica delle misurazioni.

Si può a questo punto definire la differenza tra precisione e accuratezza di una misura. La prima è legata alla ripetibilità, quindi se delle misure hanno più o meno sempre lo stesso valore, regolarmente errato per difetto o per eccesso rispetto alla misura reale, quindi influenzato da un errore sistematico, si parla di precisione. Al contrario se le misure hanno valori differenti ma la media di questi valori si avvicina a quello cercato, ovvero le misurazioni sono influenzate da un errore casuale/statistico, allora si parla di accuratezza.

Cifre significative

Una cifra significativa, in un numero che rappresenta una grandezza, è una cifra che non sia uno zero iniziale o finale; gli zeri finali però si contano come cifre significative se si trovano dopo il punto decimale. Quindi 0.2547 ha quattro cifre significative come anche 345 600 o ancora 0.003800. La cifra più a destra delle cifre significative di un numero è detta cifra meno significativa. Valgono le seguenti regole nelle operazioni:

• Somma e differenze: Tra i numeri interessati nell’operazione, bisogna individuare quello avente la cifra meno significativa più a sinistra rispetto al punto decimale. Cosicché la cifra meno significativa del risultato si deve trovare nella stessa posizione, senza considerare il numero totale di cifre significative. Es: 0.032 s + 11.6 s, essendo 0.032 più piccolo dell’incertezza di 11.6 il risultato è 11.6 s.
• Moltiplicazione e divisione: Il risultato deve avere lo stesso numero di cifre significative della misura meno precisa tra quelle date.
• Funzioni trascendenti: Hanno lo stesso numero di cifre significative dei loro argomenti. Es: e = 544.0.

Lezione 2

Sintesi

• Grandezze scalari e vettoriali
• Scomposizione dei vettori
• Prodotto tra vettori

Grandezze scalari e vettoriali

Le grandezze fisiche possono essere di due tipi, grandezze scalari o grandezze vettoriali.

Scalari

Una grandezza scalare è definita da due elementi: valore numerico e unità di misura.

Vettori

Una grandezza vettoriale è definita da 3 informazioni:

• Modulo/Intensità: scalare
• Direzione: retta su cui giace il vettore
• Verso: senso di percorrenza su tale retta

Due vettori sono uguali se hanno stesso modulo, direzione e verso.

Scomposizione dei vettori

Un vettore nel piano può essere definito in due modi. Considerando le proiezioni ortogonali di a sugli assi, otteniamo due vettori a₁ e a₂, dove, per la regola del parallelogramma, a = a₁ + a₂. I due vettori ottenuti possono essere considerati come: a₁ = a_xi + a_yj. Se consideriamo invece solo il modulo e l’angolo θ che identifica la direzione del vettore, abbiamo che a₁ = a cosθ i + a senθ j. Quindi a = a (i cosθ + j senθ).

Da ciò segue il metodo analitico per la somma vettoriale, che ci dice che ciascuna componente del vettore risultante è la somma delle corrispondenti componenti di a e b.

Prodotto tra vettori

Prodotto scalare

a · b = C

Individua uno scalare. C = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = ab cosθ

Prodotto vettoriale

a × b = c

Individua un vettore con:

• Direzione: perpendicolare al piano costruito a partire da a e b.
• Verso: dipendente dall’ordine di a e b (regola della mano destra).
• Modulo: c = ab senθ.

Lezione 4

Cinematica

Cinematica unidimensionale

• Moto uniforme
• Moto uniformemente accelerato

Meccanica

La meccanica studia il moto dei corpi. Più in particolare si divide in tre branche: la cinematica che studia il moto dei corpi indipendentemente dalle cause, la dinamica che studia i moti in relazione alle cause, e la statica che studia le condizioni per l’equilibrio dei corpi.

Cinematica

Descrive il moto di punti materiali rispetto a un sistema di riferimento. Un punto materiale è un’entità che non ha dimensioni o queste sono trascurabili per lo studio del moto. Per descrivere un moto, la cinematica mette in relazione la posizione di tale punto rispetto al tempo (legge oraria), il tutto in base a un opportuno sistema di riferimento. Una legge oraria del moto è una qualsiasi funzione che ha come variabile indipendente il tempo. Essa descrive quindi un moto in relazione al tempo.

Il vettore posizione è un vettore che descrive la posizione di un punto rispetto al sistema di riferimento scelto. Se il punto si muove, cambia anche il vettore posizione che diventa funzione del tempo (così come le sue componenti). Il vettore spostamento invece, descrive un cambiamento/variazione della posizione e si individua dalla differenza tra vettore posizione finale e vettore posizione iniziale.

Cinematica unidimensionale

La velocità o vettore velocità, è la derivata prima rispetto al tempo del vettore posizione del punto materiale.

\( \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \)

L’accelerazione o vettore accelerazione, è la derivata prima rispetto al tempo del vettore velocità, ovvero, è la derivata seconda rispetto al tempo del vettore posizione.

\( \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \)

Moto uniforme

v_x = cost.

Posizione in funzione del tempo:

x(t) = x₀ + v_x t

Moto uniformemente accelerato

a_x = cost.

Velocità in funzione del tempo:

v_x(t) = v_x0 + a_x t

Posizione in funzione del tempo:

x(t) = x₀ + v_x0 t + 1/2 a_x t²

Posizione in funzione della velocità:

v_x² = v_x0² + 2a_x(x - x₀)

Alcuni esempi di moti uniformemente accelerati, che verranno approfonditi in seguito, sono:

• Moto di caduta libera
• Moto armonico
• Moto smorzato esponenzialmente

Lezione 5

Sintesi

• Cinematica bidimensionale
  • Moto dei proiettili/parabolico
  • Moto circolare uniforme

Cinematica bidimensionale

Nella cinematica bidimensionale il moto dei punti è descritto dalle traiettorie. Una traiettoria è il percorso di un corpo nel piano x y. Il vettore posizione e lo spostamento sono ora descritti da due componenti. La velocità è sempre definita come la derivata prima rispetto al tempo del vettore posizione. Ovvero è uguale al limite a cui tende lo spostamento in relazione a un certo intervallo di tempo. Poiché passando al limite lo spostamento tende a diventare tangente alla traiettoria, la velocità istantanea sarà anch’essa tangente alla traiettoria, mentre il modulo dipende dal tempo. Allo stesso modo, l’accelerazione è definita come la derivata prima rispetto al tempo della velocità (quindi derivata seconda rispetto al tempo della posizione). Considerando la traiettoria della velocità nel piano, avremo che l’accelerazione sarà uguale al limite a cui tende la variazione di velocità rispetto a un certo intervallo di tempo. Quindi, in modo analogo al caso della velocità, l’accelerazione istantanea sarà tangente alla traiettoria della velocità mentre il suo modulo dipende dal tempo.

Moto dei proiettili

In particolare si può notare che, considerando nuovamente il grafico del moto di un corpo, in ogni punto della traiettoria l’accelerazione e la velocità istantanee descrivono un angolo. In base al tipo di angolo, l’accelerazione causa diversi effetti sul vettore velocità:

• φ < π/2 → Aumento del modulo
• φ = π/2 → Cambio della direzione
• φ > π/2 → Diminuzione del modulo
• φ = π → Modulo invariato
• φ = 0/π → Direzione invariata

Moto circolare uniforme

È un moto di un corpo con traiettoria circolare, con velocità costante e accelerazione centripeta. Introducendo il concetto di velocità angolare, è possibile esprimere il modulo dell’accelerazione centripeta in 3 modi differenti:

• a_c = v²/R = ω²R

Da cui:

• v = ωR
• a_c = ωv

Il moto circolare uniforme può essere descritto in due modi: mediante le coordinate polari o mediante quelle cartesiane.

• Coordinate polari: x = R cos(ωt + θ₀), y = R sin(ωt)
• Coordinate cartesiane: R = cost.

Moti relativi

Lo studio dei moti relativi consiste nel descrivere il moto di un punto materiale rispetto a due sistemi di riferimento differenti, ovvero: il sistema fisso e il sistema mobile S'. Allora la posizione di un punto nello spazio rispetto a questi due sistemi di riferimento è dato da:

\( \mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{r}_0 \)

Il moto del punto sarà descritto in base al sistema di riferimento S.

Lezione 7

Sintesi

• Dinamica. Massa e forza.
• Leggi di Newton

Dinamica

La dinamica è quella branca della meccanica che si occupa di studiare le relazioni tra il moto e le cause che lo hanno generato.

Massa

• Costituisce una resistenza alla variazione di velocità.
• È una grandezza additiva.

Forza

• Causa due effetti:
  1. Variazione di velocità, quindi un’accelerazione.
  2. Deformazione del corpo.
• È una grandezza vettoriale.
• Le forze applicate tra due corpi si presentano sempre a coppie.

Leggi di Newton

1. In assenza di forze, un corpo preserva il suo stato di quiete o di moto uniforme: v = cost.
2. In presenza di forze, il corpo è soggetto a un’accelerazione. In particolare l’accelerazione di un corpo è proporzionale alla forza risultante esercitata sul corpo ed ha stessa direzione:

   \( \sum \mathbf{F} = m \mathbf{a} \)

3. Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora si genera una forza uguale in intensità ma contraria in verso, che il corpo B esercita sul corpo A:

   \( \mathbf{F}_{ab} = -\mathbf{F}_{ba} \)

Un sistema di riferimento che soddisfa la prima legge di Newton è detto sistema inerziale. La seconda legge in particolare rappresenta la legge fondamentale per lo studio del moto di un corpo. Infatti conoscendo tutte le forze che agiscono sul corpo e conoscendo la sua massa è possibile ricavare l’accelerazione, dalla quale poi anche la velocità e la posizione in ogni istante t.

Lezione 8

Sintesi

• Forza elastica
• Peso apparente
• Reazioni vincolari
• Tensione delle funi
• Forza d’attrito

Forza elastica

È la forza esercitata da una molla quando questa non si trova più nella condizione di riposo.

• Cas(conut on top): spostamento POSITIVO (estensione) → forza elastica NEGATIVA
• Cas(on bottom): spostamento NEGATIVO (compressione) → forza elastica POSITIVA

Reazioni vincolari

Le reazioni vincolari sono le forze che i vincoli esercitano sui corpi. Tali forze sono sempre normali al piano. Se si sa che un corpo è sottoposto a una forza, ma ciononostante esso rimane in uno stato di quiete, per il secondo principio di Newton deve necessariamente esistere una forza uguale e contraria alla prima che renda possibile tutto ciò. Tali forze esercitate dall’ambiente circostante sono dette reazioni vincolari. Sulla Terra ad esempio, qualsiasi corpo è soggetto all’attrazione gravitazionale, quindi se un corpo si trova in equilibrio su un piano, esisterà una reazione vincolare normale al piano tale che la risultante di tutte le forze sul corpo sia nulla.

Tensione delle funi

Consideriamo una fune ideale (priva di massa). Questa è in tensione quando sulle estremità agiscono due forze uguali e contrarie (la fune è in uno stato di quiete). Conseguentemente, per la terza legge di Newton si genera in ciascuna estremità una forza uguale e contraria che rappresenta la forza di tensione della fune.

Attrito statico e dinamico

L’attrito statico è una forza uguale e contraria a quella applicata a un corpo in stato di quiete, quando vogliamo metterlo in movimento. Raggiunto un limite massimo però, tale forza è vinta e il corpo inizia a muoversi.

F_s ≤ μ_s N

Quando il corpo è in movimento, su di lui agisce una forza di attrito dinamico che si oppone al moto. Tale forza è però costante e non dipende dalla velocità; ha inoltre stessa direzione del moto ma verso opposto.

F_d = μ_d N

Lezione 9

Sintesi

• Forza d’attrito (continuazione)
• Moto circolare (specificazione)

Attrito nei fluidi

Quando lasciamo cadere un corpo in un fluido con velocità iniziale nulla, questo inizialmente scende come se fosse in caduta libera (quindi con la velocità che aumenta linearmente). Poi man mano che la velocità aumenta, aumenta anche la forza resistiva del fluido che rallenta progressivamente il corpo finché la sua velocità si attesta a un valore costante.

F = -bv

Specificazione sul moto circolare

Si è visto che nel moto circolare il corpo mantiene una velocità costante, quindi necessariamente deve esistere un’accelerazione centripeta. Questa accelerazione è sviluppata proprio dalla forza di attrito statico.

Lezione 10

Sintesi

• Leggi di Keplero
• Modello del sistema solare
• Legge di gravitazione universale
• Massa gravitazionale e massa inerziale

Leggi di Keplero

1. Le orbite dei pianeti sono ellittiche e il Sole occupa uno dei due fuochi.
2. I pianeti percorrono aree uguali in tempi uguali.
3. Il periodo orbitale è proporzionale al raggio orbitale elevato alla 3/2.

Modello del sistema solare

Il modello del sistema solare segue le leggi di Keplero. Per facilitare lo studio della gravità però, viene adottato un approccio che considera il sistema solare come un sistema di riferimento per osservare e analizzare i movimenti dei corpi celesti.