Appunti di Fisica I

LEZIONE 18

Sintesi:

1. URTI NEL SISTEMA DEL CM

1.1. Completamente anelastici

1.2. Elastici

1.3. Anelastici

URTI NEL SISTEMA DEL CENTRO DI MASSA ' ' '

⃗ ⃗ ⃗

Nel sistema del centro di massa sappiamo che quindi da

=0 = =0

p p p

tot i f

cui:

' '

⃗ =−⃗

p p

1 i 2i

Ovvero nel sistema di riferimento gli urti tra due corpi sono sempre

S'

unidirezionali e frontali.

Introduciamo il coefficiente di restituzione, che può essere definito nei due

seguenti modi: ' ' '

−⃗ −⃗

p p K

1 f 2 f 2 f

= =

e= e

o

' ' '

⃗ ⃗

p p K

1 i 2 i i

È una quantità che fornisce un valore riguardo alla quantità di moto che viene

ridonata al corpo in seguito all’urto. Oppure, allo stesso modo, rappresenta un

indicatore riguardo la quantità di energia dispersa o dissipata nell’urto (è il caso

della seconda forma).

URTI COMPLETAMENTE ANELASTICI

È il caso in cui i due corpi, dopo l’urto, rimangono attaccati. L’energia cinetica

come sappiamo non si conserva, per cui se consideriamo il I° Teorema di

Koenig prima e dopo l’urto abbiamo

1

' 2

=K +

K M v

i i CM

2

1

' 2

=K +

K M v

f f CM

2 1 2

M v

Il termine rimane costante perché la quantità di moto del sistema

CM

2 ' '

non cambia (non agiscono forze esterne). Tuttavia mentre =0

K ≠ 0 K

i f

perché dopo l’urto i due corpi rimangono attaccati e quindi sono fermi rispetto

al CM. Perciò nell’urto completamente anelastico tutta l’energia relativa al

sistema del CM si disperde. { '

K ≠ 0

i

e=0 ' =0

K f

URTI ELASTICI

È il caso in cui l’energia cinetica si conserva, quindi tutta la quantità di moto

dei corpi viene ridonata in seguito all’urto.

e=1 ' '

=K

K i f

URTI ANELASTICI

È il caso più generale, è la via di mezzo tra un urto completamente anelastico

ed elastico. I due corpi dopo l’urto si separano, ma l’energia in parte si disperde

nell’urto (e allo stesso modo la quantità di moto in parte viene ridonata).

<1

0<e ' 2 '

=e

K K

f i

Da ciò si ricavano le formule generali per le velocità finale dei due corpi dopo

un urto di qualunque tipo:

{ ( )

−em +(1+e)

m v m v

1 2 1i 2 2i

=

v 1 f +m

m

1 2

( )

−e +(1+e)m

m m v v

2 1 2 i 1 1i

=

v 2 f +m

m

1 2

LEZIONE 19

Sintesi:

1. STATICA del CORPO RIGIDO

2. MOMENTO DI INERZIA

2.1. TEOREMA DEGLI ASSI PARALLELI

CORPO RIGIDO

Un corpo rigido è un qualsiasi corpo nel quale la distanza tra due suoi

qualsiasi punti rimane costante.

Quindi un corpo rigido può essere considerato come un insieme di punti discreti

tali che le loro posizioni reciproche rimangono costanti.

In questo caso allora, abbiamo che:

∫ ⇒

¿=0 =W

∆ K est

W ¿

STATICA DEL CORPO RIGIDO

Un corpo rigido può traslare e ruotare. In tutto ci sono 3 gradi di libertà per il

moto traslatorio, dovuti al moto del centro di massa lungo gli assi, e 3 gradi di

libertà per il moto rotatori, dovuti appunto alla rotazione del corpo rispetto agli

assi passanti per il centro di massa.

Per avere un corpo in condizioni di equilibrio statico quindi, ovvero che

permane nel suo stato di quiete, abbiamo due condizioni, che si ottengono

direttamente dalle due equazioni cardinali della meccanica:

∑ ∑

⃗ ⃗

( (

E) E)

=0 =0

F Τ

TRASLAZIONE ROTAZIONE

La seconda condizione deriva dalla forma semplificata della seconda equazione

cardinale della meccanica perché non essendoci traslazione, viene soddisfatta

⃗ =0 ⃗ ⃗ =0

v v × p

la condizione che da cui segue che .

CM o tot

MECCANICA DEL CORPO RIGIDO

MOMENTO DI INERZIA

Il momento di inerzia è una grandezza scalare legata al concetto di massa di

un corpo. Come la massa si oppone alla variazione di velocità in un moto

traslatorio, così il momento di inerzia misura quanto il corpo si oppone alla

variazione di velocità angolare in un moto rotatorio.

∑ ∫ 2

2

= =

I m r I dmr

i i

Tuttavia, anche se la massa è una proprietà intrinseca di un corpo, il momento

di inerzia non lo è, ma dipende dal sistema di riferimento considerato.

TEOREMA DEGLI ASSI PARALLELI

Stabilisce il legame tra il momento di inerzia calcolato rispetto a due assi

paralleli di cui uno è quello passante per il centro di massa.

2

=I +

I M d

p CM

ENERGIA CINETICA DI UN CORPO RIGIDO

L’energia cinetica di un corpo rigido che si muove nei due moti è data dal I°

'

TEOREMA DI KOENIG: +

K=K K

TRASLAZIONE ROTAZIONE

1 1

2 2

+

K= M v I w

CM z

2 2

LEZIONE 20

Sintesi:

1. CINEMATICA ROTAZIONALE

2. DINAMICA ROTAZIONALE

CINEMATICA ROTAZIONALE

Un moto rotatorio, in analogia con quello traslatorio, è descritto da tre

grandezze: coordinata, velocità e accelerazione angolare (consideriamo la

rotazione attorno all’asse ).

z

Coordinata Velocità Accelerazione

θ dθ d ω 2

d θ

=

ω z

= =

α

z dt z 2

dt dt

La cinematica rotazionale è quindi caratterizzata dalle seguenti equazioni,

simili dal punto di vista matematico a quelle che descrivono il moto lungo una

linea retta. Velocità angolare costante Accelerazione angolare

costante

( ) =θ +ω

θ t t

0 z 1 2

( ) =θ +ω

θ t t+ α t

0 z 0 z

2

( ) =ω +α

ω t t

z z 0 z

Mettendo invece in relazione le grandezze lineari con quelle angolari

otteniamo: =ω =α

v R a R 2

=ω =ω

a v R

t z t z c z t z

DINAMICA ROTAZIONALE

momento angolare

Il di un corpo rigido rispetto a un punto posto sull’asse

O

di rotazione è:

z

=I

L ω

z z

Da tenere presente però, che questa relazione vale solo per le rotazioni nelle

quali il punto si trova sull’asse di rotazione e tale asse è di simmetria ed è

O

fisso. momento delle forze momento angolare

Il rapporto tra e in un moto rotatorio

attorno all’asse , invece, ci fornisce l’analogo rotatorio della II° legge di

z

Newton:

d L

∑ z

= =I

Τ α

z z

dt

Ovvero il moto rotatorio del corpo rigido, o meglio la variazione di velocità

angolare, attorno all’asse , è causato dai momenti delle forze applicate

z

lungo . Questo significa che data una forza che agisce sul corpo rigido,

z

soltanto la sua componente tangenziale causerà una rotazione poiché è l’unica

ad avere momento lungo l’asse .

z

Ovviamente si ha anche:

=0⟹ =cost

Τ L .

z z

lavoro

Il compiuto da una forza per far ruotare un corpo, è definito come segue:

=Τ

dW dθ

z

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (nel moto rotatorio)

1 1

2 2

=∆ −

W K= I ω I ω

z z

2 2

f i

LEZIONE 21

Sintesi:

1. PRECESSIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

2. URTI TRA PUNTI MATERIALI E CORPI RIGIDI

3. MOTO DI PURO ROTOLAMENTO

4. ATTRITO VOLVENTE

PRECESSIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Supponiamo di avere una ruota agganciata su un asse, attorno al quale può

ruotare, e supponiamo che un’estremità di tale asse sia collegata con un giunto

sferico alla sommità di un supporto, in modo che anche l’asse possa ruotare

liberamente. Allora la precessione è la rotazione contemporanea della ruota

sul proprio asse e dell’asse stesso.

Quando l’asse è parallelo al terreno, se la ruota non gira, sarà presente solo il

dL

∑ =

Τ

momento della forza peso del sistema asse + ruota. Poiché ,

dt

nell’intervallo di tempo abbiamo una variazione che ha la stessa

dt dL

direzione del momento e che fa cadere la ruota facendola ruotare attorno

Τ

^

a .

j

Se invece la ruota gira su sé stessa, entra in gioco anche il momento angolare.

In particolare il momento angolare totale del sistema sarà dato dal momento

angolare dello spin (ruota attorno all’asse) sommato a quello dell’asse attorno

al perno . Otteniamo perciò un momento angolare totale obliquo e

P

perpendicolare nella direzione a . Supponendo tuttavia la velocità

dL

angolare dello spin molto maggiore di quella attorno a , abbiamo che il

P

L

momento angolare totale è praticamente uguale a (in termini di

s

direzione).

Applicando la SECONDA EQUAZIONE CARDINALE DELLA MECCANICA, si può

^

ricavare la velocità angolare del sistema asse + ruota attorno all’asse .

k

Mgd

=

ω P I ω

s s

Nella precessione quindi, è il momento della forza peso che causa la rotazione.

In particolare se la ruota non gira su sé stessa, il momento della forza la farà

^

cadere e ruotare attorno a ; se invece la ruota gira su sé stessa, si genera

j

L L

un momento angolare che ha praticamente la stessa direzione di ,

tot s

quindi poiché il momento nell’intervallo genera , sommando

Τ dt dL

+

L dL si ottiene un vettore obliquo che causa la rotazione attorno a .

P

tot

URTI TRA PUNTI MATERIALI E CORPI RIGIDI O TRA CORPI RIGIDI

Anche per questi urti, il loro studio si basa sulle leggi di conservazione già viste

in precedenza. L’energia cinetica si conserva solo negli urti elastici, la quantità

di moto si conserva solo se non vi sono forze esterne impulsive che agiscono

sul sistema. Quindi in qualunque caso vi sia un vincolo che tiene fermo un

punto del corpo rigido, non si verifica la conservazione della quantità di moto.

Infine, poiché si ha a che fare con corpi rigidi (i quali possono essere messi in

rotazione in seguito a un urto), va considerata anche la conservazione del

momento angolare. Quindi qualora rispetto a un polo fisso il momento delle

forze esterne, comprese quelle vincolari, è nullo, si conserva il momento

angolare del sistema rispetto a tale polo. Di conseguenza se agiscono solo

forze interne o il polo di riferimento è posizionato sul vincolo, il momento

angolare si conserva.

(in genere, le uniche forze esterne che possono presentarsi sono quelle

impulsive legate ai vincoli. In questo caso si sceglie come polo il vincolo stesso

in modo da avere la somma dei momenti nulla e quindi anche la conservazione

del momento angolare)

MOTO DI PURO ROTOLAMENTO

Il moto di puro rotolamento è il moto di un corpo che ruota senza strisciare

lungo un piano. È quindi la composizione di due moti: uno rotatorio appunto e

uno traslatorio dovuto allo spostamento dell’asse.

Il rotolamento del corpo avviene attorno all’asse passante per il punto di

contatto tra il corpo e il terreno. Poiché non si verifica alcuno strisciamento

P

del corpo, istante per istante tale punto è fermo. Si ha quindi:

=R

v ω

CM p

L’energia cinetica del corpo che rotola rispetto all’asse passante per è:

P

1 2

K= I ω . Applicando il teorema degli assi paralleli si ottiene l’energia

p p

2

cinetica del moto di puro rotolamento

1 1

2 2

+

K= I ω M v

CM o CM

2 2

ATTRITO VOLVENTE

In un moto di puro rotolamento soggetto alla sola azione di forze conservative,

come la forza peso, si ha la conservazione dell’energia meccanica. Infatti, pur

essendo presente una forza d’attrito non conservativa, poiché il moto è di puro

rotolamento e quindi istantaneamente il punto di contatto non si muove, tale

forza non compie lavoro. Ciononostante, si osserva sperimentalmente che dopo

un certo intervallo di tempo, il corpo si ferma. Questo perché è presente

un’altra forma di attrito detto attrito volvente.

Quando un corpo rotola è soggetto a un attrito detto volvente che tende a

frenarne la rotazione. Esso infatti si esprime sotto forma di un momento di una

forza che ha verso opposto a quello che causa la rotazione.

=hmg

Τ v

Infatti (coefficiente di attrito volvente espresso in metri) è il modulo del

h

vettore che rappresenta la distanza dal centro di massa alla forza normale, che

in un moto di puro rotolamento non ha la stessa direzione della forza peso, ma

è spostata in avanti. (vedi approfondimento)

LEZIONE 22

Sintesi:

1. DEFORMAZIONE DEI SOLIDI

1.1. Trazione

1.2. Taglio

1.3. Pressione

2. PENDOLO DI TORSIONE

DEFORMAZIONI DEI SOLIDI

I solidi hanno la proprietà di resistere ai cambiamenti di forma. Quando

vengono applicate delle forze ad un solido, questo si deformerà leggermente

anche se dimensioni e forma non cambieranno di molto. Tale deformazione

dipende dalla forza applicata per unità di area. Infatti con una stessa forza, più

è piccola l’area su cui essa è applicata più marcata sarà la deformazione.

Definiamo allora lo sforzo come il rapporto tra forza applicata e l’area

F

=

σ A

Esistono tre tipi di deformazioni:

TRAZIONE o COMPRESSIONE: le forze sono normali e sono applicate su

 due superfici. σ

∆l

=

ε t

=

Y

t l ε t

DEFORMAZIONE DA MODULO DI YOUNG

TRAZIONE/COMPRESSIONE

Mettendo in relazione grafica lo sforzo con la deformazione, si possono

individuare diverse regioni importanti. La prima è chiamata regione di

proporzionalità in quanto per deformazioni inferiori allo sforzo è

0,5 %

limite di

proporzionale alla deformazione (legge di Hooke). Superato il

elasticità si passa alla regione di plasticità nella quale il solido è

deformato in modo permanente. Aumentando ulteriormente lo sforzo si

rottura.

giunge quindi alla

TAGLIO: le forze sono parallele e sono applicate su almeno quattro

 superfici. ∆x σ

=ϕ

ε ≈ s

S=

s l ε s

DEFORMAZIONE DA TAGLIO MODULO DI ELASTICITÀ A TAGLIO

PRESSIONE: le forze sono normali e sono applicate su ogni superficie

 −∆ p

B= /

∆ V V

MODULO DI ELASTICITÀ CUBICA

LEZIONE 23

Sintesi:

1. FLUIDI

1.1. Densità e Pressione

2. PRINCIPIO DI PASCAL

3. LEGGE DI STEVINO

4. PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

FLUIDI

Un fluido è una sostanza liquida o gassosa che non mantiene una forma

propria, ma assume quella del recipiente che la contiene. In particolare un

liquido, a differenza di un gas, mantiene anche il proprio volume se

temperatura e pressione sono costanti. Nello studio dei fluidi densità e

pressione sono due grandezze che giocano un ruolo fondamentale

dm F

ρ= p=

dV S

DENSITÀ PRESSIONE

In base alla densità, i fluidi possono essere:

INCOMPRIMIBILI, quando la densità rimane costante in qualsiasi

 condizione. (fluido ideale)

COMPRIMIBILI, quando la densità dipende da altezza e temperatura. (GAS

 in genere)

STATICA DEI FLUIDI

PRINCIPIO DI PASCAL

Il principio di Pascal consiste in due risultati importanti.

In un fluido a riposo, la forza esercitata su ciascuna delle particelle che lo

costituiscono (quindi la pressione) ha uguale intensità in tutte le direzioni.

Infatti se così non fosse, le forze interne tra le singole particelle non sarebbero

tutte uguali, e quindi ogni particella si muoverebbe nella direzione della

risultante di esse, e il fluido non sarebbe in quiete. Quindi in condizioni

statiche, in un fluido non può esserci uno sforzo di taglio (non ci possono essere

forze tangenziali altrimenti si deformerebbe continuamente) da cui segue che

la forza esercitata dal fluido in quiete su qualunque superficie che lo racchiuda,

è normale alla superficie.

Il principio di Pascal stabilisce inoltre che quando avviene un aumento

nella pressione in un punto di un fluido confinato, tale aumento viene

trasmesso anche in ogni altro punto del fluido con la stessa intensità e quindi

anche ad ogni punto del contenitore.

LEGGE DI STEVINO

La legge di Stevino ci dice come varia la pressione di un fluido rispetto alla sua

profondità o altezza. +

dp=ρgdh p= p ρgh

0

Ovvero la pressione aumenta linearmente all’aumentare della profondità.

STRUMENTI PER LA MISURA DELLA PRESSIONE

MANOMETRO A U

 Da una parte abbiamo un contenitore con all’interno il gas di cui

vogliamo conoscere la pressione, mentre nel tubo abbiamo invece un

liquido soggetto alla pressione atmosferica. Allora conoscendo la densità

del liquido, con la legge di Stevino, ricavando l’altezza si ottiene la

h

pressione desiderata.

BAROMETRO DI TORRICELLI

 È utilizzato per misurare la pressione atmosferica. Abbiamo una

vaschetta riempita con del mercurio e un tubo anch’esso riempito con del

mercurio. Quindi si rovescia il tubo immergendo l’estremità aperta nella

vaschetta. Il liquido scenderà di una certa quantità e poiché la pressione

atmosferica è l’unica in gioco, si ha una relazione tra questa e l’altezza

della colonna di mercurio. Si è constatato che

h =760 =760

p Torr mmHg

0

PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

Un corpo che è immerso parzialmente o totalmente in un fluido, riceve una

spinta di intensità pari al peso del fluido spostato e diretta verso l’alto lungo

una retta passante per il centro di gravità del fluido spostato.

Se un corpo è in equilibrio ed è immerso in un fluido, è sottoposto a una certa

pressione esercitata dal fluido stesso. Se ora sostituiamo il corpo con un uguale

volume di fluido (fluido spostato) sempre in condizioni di equilibrio, questo sarà

sottoposto alla stessa pressione per il principio di Pascal (prima parte). E

questo vale per qualsiasi corpo immerso. Quindi la forza di Archimede non

dipende dal peso del corpo immerso, ma dal peso del volume di fluido spostato

¿ m g

(preso fluido ).

fluido

=ρVg

F A

FLUIDI COMPRIMIBILI

Supponendo la temperatura costante, se un fluido è comprimibile, più aumento

la pressione più aumenta la densità. Queste due grandezze sono quindi legate

dalla seguente condizione:

p ρ

=

p ρ

0 0

Applicando la legge di Stevino con la formula della densità di un fluido

comprimibile (cioè quella ricavata dalla precedente equazione), si ottiene

l’analogo per i fluidi comprimibili:

−ρ 0 gz

p

p= p e 0

0

Da cui segue che in questo caso la pressione diminuisce esponenzialmente

all’aumentare dell’altezza (non profondità!).

LEZIONE 24

Sintesi:

1. DINAMICA DEI FLUIDI

1.1. Fluidi laminari e vorticosi

2. LEGGE DI BERNOULLI

3. TEOREMA DI BORRICELLI

4. FLUIDO VISCOSO

5. RESISTENZA NEI FLUIDI

DINAMICA DEI FLUIDI

Nello studio della dinamica dei fluidi risulta difficile applicare le leggi di Newton

a ogni singola “particella” di fluido. Per questo ci si limita a stabilire la densità,

la pressione e la velocità del fluido in determinati punti del suo percorso. Il

moto di un fluido può essere di due tipi:

LAMINARE o STAZIONARIO ha un andamento regolare infatti densità,

 pressione e velocità sono costati nel tempo in ogni dato punto

TURBOLENTO o VORTICOSO (ha un regime o moto che varia nel

 tempo) linee di flusso,

Nel primo caso allora il moto viene descritto dalle ovvero le linee

lungo le quali fluiscono le particelle di fluido che risultano quindi regolari. Un

tubo di flusso.

fascio di linee di flusso forma un In esso la quantità di fluido che

entra da una parte è la stessa di quella che esce dall’altra. Si dice che la

portata di massa è costante, ∆m = ρAv=cost .

PORTATA DI MASSA ∆t

Se inoltre il fluido è incomprimibile, cioè con densità che non varia, anche la

portata in volume rimane costante, ∆V =Av=cost .

PORTATA VOLUMICA ∆t

A

In questo caso quindi se la sezione finale è minore della sezione iniziale

2

A , essendo la portata volumica costante, il fluido avrà in uscita una velocità

1

maggiore.

LEGGE DI BERNOULLI

La velocità, l’altezza e la pressione di un fluido possono variare lungo una linea

di flusso. Il teorema lavoro-energia mette in relazione queste grandezze nella

legge di Bernoulli:

1 2

+ =cost

p+ρ gy ρ v .

2 =0

Da tale equazione si può notare anche che se , ovvero se il fluido è in

v

condizioni statiche, si ottiene la formula della legge di Stevino.

ESEMPIO – PORTANZA DI UN AEREO

Il profilo di un’ala di un aereo è realizzato in modo da rendere la velocità

dell'aria sulla faccia superiore maggiore di quella sulla faccia inferiore (il fluido

percorre una superficie maggiore nello stesso tempo). Di conseguenza sulla

parte superiore si ha una pressione minore rispetto alla parte inferiore dell’ala.

La differenza di pressione tra le due parti è anch’essa una pressione che per

definizione genera una forza inversamente proporzionale alla superficie.

LEGGE DI TORRICELLI

Fornisce la velocità di un fluido in uscita da un foro che è la stessa di quella di

un punto materiale in caduta libera.

√

=

v 2 gh

VISCOSITÀ DI UN FLUIDO

Un fluido viene detto viscoso quando sono presenti delle forze non

conservative che dissipano l’energia meccanica del fluido convertendola in

energia interna (come quando le forze di attrito dissipano l’energia di un corpo

che scivola convertendola in energia interna del corpo e della superficie). Se

sono presenti tali forze, l’equazione di Bernoulli non è più valida.

Se un fluido è viscoso, la velocità in punti compresi tra due livelli è variabile.

Nel mare ad esempio la velocità del fluido in prossimità della superficie è

massima, mentre in prossimità del fondale è praticamente nulla. In particolare

si ha che la velocità varia linearmente con la distanza dal livello con velocità

massima, ovvero in questo caso diminuisce in modo lineare all’aumentare della

profondità.

Si può quindi pensare che un fluido del genere sia costituito da diversi “livelli”

ognuno con una propria velocità. Allora la forza che determina la dissipazione

dell’energia meccanica è la forza di attrito presente tra ogni livello di fluido,

definita come

Av

F=η l viscosità.

Dove è una costante di proporzionalità chiamata Si chiama

η

fluido ideale un fluido in cui e

η=0 ρ=cost .

Se consideriamo un fluido reale che scorre in un cilindro si ha che il fluido che è

a contatto con le pareti del cilindro è fermo, mentre avvicinandosi all’asse

centrale la velocità aumenta. Si ha perciò, che i singoli “livelli” in questo caso

sono strati cilindrici di fluido che scorrono l’uno dentro l’altro con velocità

diverse. Allora si può individuare la seguente relazione

−

p p

1 2 2 2

( )= (R −r )

v r 4 ηl

Quindi la velocità varia con la distanza dall’asse del cilindro. Se si

r r=0

( )=max. ( )=0

ha , se si ha .

r=R

v r v r

LEZIONE 25

Sintesi:

1. EQUILIBRIO TERMICO E PRINCIPIO ZERO DELLA TERMODINAMICA

2. TERMOMETRI

2.1. Termometro a gas a volume costante

3. GAS PERFETTO O IDEALE

4. SCALE TERMOMETRICHE

TERMODINAMICA – parte 3

Lo studio della termodinamica può essere diviso in tre parti: la prima è la

termologia che studia i fenomeni legati al concetto di equilibrio termico, quindi

alla temperatura e al calore di un sistema, la seconda e la terza parte invece

primo secondo principio della

sono legate rispettivamente al e al

termodinamica.

In generale una descrizione microscopica di un sistema è una descrizione a

livello molecolare. Nella termodinamica però, ciò non interessa, infatti la

termodinamica si occupa di descrivere le proprietà macroscopiche di un

sistema in interazione con l’ambiente. È una scienza statistica che ha

l’obiettivo di individuare dei legami appunto statistici tra le proprietà

intensive o estensive di un sistema (le prime non sono dipendenti dalle

dimensioni del sistema, le seconde invece si), con le grandezze microscopiche.

Ad esempio vedremo che la temperatura di un gas è proporzionale all’energia

cinetica media delle sue molecole.

TERMOLOGIA

EQUILIBRIO TERMICO E PRINCIPIO ZERO DELLA TERMODINAMICA

In termodinamica uno stato termodinamico di un sistema è una particolare

condizione in cui si trova il sistema in un determinato istante. Tale condizione

viene descritta dai valori assunti dalle proprietà macroscopiche che

caratterizzano il sistema stesso e che vengono chiamate variabili di stato. Un

sistema si trova in uno stato di equilibrio se le sue variabili di stato (come la

pressione o la temperatura) sono costanti nel tempo. Con trasformazione

termodinamica si intende il passaggio da uno stato di equilibrio ad un altro.

Se due sistemi sono separati da una parete adiabatica non sono in grado di

influenzarsi a vicenda. Al contrario una parete diatermica facilita

l’interazione termica tra i due sistemi (non vi è scambio di materia).

Se allora a due sistemi A e B, separati dall’ambiente con pareti adiabatiche, è

permesso di interagire tra loro grazie a una parete diatermica, le variabili di

stato dei due sistemi si modificheranno. Si dice che due sistemi sono in

equilibrio termico quando, dopo essere stati posti in interazione tramite

parete diatermica, le loro variabili di stato raggiungono dei valori costanti. Due

sistemi in equilibrio termico hanno la stessa temperatura.

Il principio zero della termodinamica ci dice inoltre che due sistemi in

equilibrio termico con un terzo, sono in equilibrio termico tra di loro.

TERMOMETRI

La temperatura viene espressa in termini quantitativi mediante una scala, la

quale è fissata specificando quale termometro viene utilizzato. Un

termometro è un sistema che connette i valori di una delle sue variabili di

stato alla temperatura. Ad esempio il termometro a mercurio lega la lunghezza

della colonna di mercurio alla temperatura.

Termometro a gas a volume costante

Questo termometro consiste in un bulbo contenente un gas il cui volume è

mantenuto costante. Il suo funzionamento si basa sul presupposto che

temperatura e pressione siano proporzionali. Quindi se abbiamo due sistemi A

e B, mettendo il termometro in equilibrio termico con il sistema A e misurando

T p

temperatura e pressione e facendo lo stesso con il sistema B, si

A A

avrà che

T p

A A

=

T p

B B

Mancano a questo punto dei valori, quindi dobbiamo fissare una scala. Si

assume allora che

=273.16

T K

3 T

Dove indica la temperatura del punto triplo dell’acqua, ovvero lo stato

3

in cui si trova l’acqua quando punto di fusione, di ebollizione e di sublimazione

℃

coincidono. ( e 610 Pa) Invece “ ” sta per Kelvin. Allora la

0,01 K

temperatura del termometro a volume costante la si ottiene, dopo aver

misurato la pressione del sistema all’equilibrio, mediante questa formula

p

p

=(273.16 )

T K p

3

GAS PERFETTO O IDEALE

Da tale formula si hanno due conseguenze. Si nota che al tendere della

temperatura a zero, anche la pressione tende a zero. Quando ciò accade,

p

zero assoluto della temperatura,

ovvero in prossimità dello i gas reali cambiano

fase. Non è quindi possibile misurare temperature inferiori a .

1 K

Sperimentalmente si nota anche che usando gas diversi o diverse quantità

dello stesso gas, si ottengono misure differenti della temperatura. Supponiamo

allora di eseguire varie misurazioni, con gas diversi, della stessa temperatura.

Di volta in volta però, diminuiamo la quantità di ogni gas utilizzato, il che porta

p

ad avere valori sempre più bassi della relativa pressione al punto triplo. Si

3

p → 0

nota allora che quando , ovvero nel caso limite di gas infinitamente

3

rarefatto la temperatura è la stessa per tutti i gas utilizzati e quindi vale

( )

p

= (273.16 )

T lim K

p

p →0 3

3

Questa è la temperatura del gas perfetto. In questo caso limite si ha che, con

volume costante, temperatura e pressione sono proporzionali. Allora si

definisce gas perfetto o ideale un gas che gode di questa proprietà in

qualunque caso (non solo quello limite).

SCALE TERMOMETRICHE 9

=T −273.15 = +

° t K ° t ° t 32℉

C F C

5

LEZIONE 26

Sintesi:

1. DILATAZIONE TERMICA

2. CALORIMETRIA

2.1. Aumento della temperatura e Variazione di fase

3. METODI DI TRASMISSIONE DEL CALORE

3.1. Conduzione, Convezione e Irraggiamento

DILATAZIONE TERMICA

La maggior parte delle sostanze si dilata quando la temperatura aumenta e si

contrae quando la temperatura diminuisce. Una qualsiasi dilatazione termica

causa una variazione della lunghezza di ogni caratteristica lineare di un corpo o

sostanza. ∆ L=L α ∆ T

DILATAZIONE LINEARE 0

=V

∆ V β ∆ T

DILATAZIONE VOLUMICA 0

Dal momento che il prodotto di tre dimensioni lineari dà un volume, è chiaro

che .

β=3 α

CALORIMETRIA

La calorimetria si occupa dello studio di due fenomeni legati al trasferimento

di calore in un corpo:

1. Aumento della temperatura

2. Variazione di fase

Il calore è l’energia scambiata tra due sistemi a causa di una differenza di

temperatura.

Aumento della temperatura

Il calore fornito causa un aumento della temperatura.

Q=C ∆ T =1cal

Dove . Inoltre .

C=mc 4,186 J

Variazione di fase

Il calore fornito causa una transizione di fase (o “passaggio di stato”). In questo

caso quindi la temperatura non aumenta in quanto tutto il calore viene

utilizzato per completare il passaggio di stato.

Q=mλ

Dove è il calore latente, ovvero il calore per unità di massa necessario per

λ

il cambiamento di stato. Si ha che

FUSIONE/SOLIDIFICAZION | | | |

=

λ λ

F S

E

EBOLLIZIONE/LIQUIDIFICA | | | |

=

λ λ

E L

ZIONE

METODI DI TRASMISSIONE DEL CALORE

I processi di trasmissione del calore sono in tutto tre:

1. CONDUZIONE

2. CONVEZIONE

3. IRRAGGIAMENTO

Conduzione

conduzione

Nella il trasferimento di calore avviene per contatto diretto tra

due sistemi.

Se un corpo viene riscaldato all’estremità A, dopo un certo tempo anche

l’estremità B si riscalda, questo perché il contenuto energetico maggiore delle

molecole in una zona, si distribuisce in modo omogeneo attraverso gli urti e

quindi anche la temperatura tende a diventare il più omogenea possibile su

tutto il corpo.

Se però l’estremità B è mantenuta a una temperatura più bassa rispetto ad A,

in regime stazionario (con le due temperature mantenute costanti) si ha che

la quantità di calore che fluisce attraverso una sezione del corpo in uno stesso

intervallo di tempo, è uguale in tutto il corpo. Ciò significa che l’energia viene

trasferita senza che nessuna parte del corpo ne acquisisca o ne perda. Si ha

allora una corrente termica (T −T )

A

Q 2 1

C= C=k

∆t L

coefficiente di conducibilità termica.

Dove è il In regime non stazionario

k

si ha dT

C=−kA dx

Convezione

convezione

Nella il trasferimento di calore avviene grazie ai moti o correnti

dei fluidi.

Quando un fluido viene riscaldato per conduzione, si espande e diminuisce di

densità. Avendo un volume maggiore riceve una spinta di Archimede anch’essa

maggiore rispetto al fluido più freddo e meno denso che lo circonda. Si

generano quindi i moti convettivi: il fluido caldo sale verso l’alto e quello freddo

scende verso il basso.

Questi moti convettivi sono spontanei nei fluidi la cui densità varia con la

temperatura (comprimibili), ma possono anche essere forzati.

Irraggiamento

Nell’irraggiamento il trasferimento di calore avviene tramite le onde

elettromagnetiche.

Quando atomi e molecole di un corpo sono eccitati dall’agitazione termica,

emettono energia sotto forma di onde elettromagnetiche (fotoni di frequenza

proporzionale alla temperatura). In realtà, poiché tutti i corpi hanno comunque

una propria temperatura (ovvero un certo livello di agitazione termica delle

molecole), essi emettono sempre una certa quantità di energia, ma questa può

essere visibile o meno a seconda della temperatura. L’irraggiamento ha quindi

un effetto considerevole solo a temperature abbastanza elevate (proporzionale

4

a ). Così come un corpo può emettere onde elettromagnetiche, le può

T

anche assorbire. In ogni caso, l’irraggiamento, per via della sua natura, non ha

bisogno quindi di un mezzo per propagarsi, ma può avvenire anche nel vuoto.

La legge di Stefan-Boltzmann permette di determinare la potenza irradiata

da un corpo

4

P=eσA T coefficiente di emissione costante

∈(0,1)

Dove è il del materiale, e è la

σ

e

di Stefan-Boltzmann.

LEZIONE 27

Sintesi:

1. LEGGE DI STATO DEI GAS PERFETTI

2. CALORE NEI GAS

3. LAVORO NEI GAS

4. I° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

4.1. Energia interna di un gas ideale

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

LEGGE DI STATO DEI GAS PERFETTI

Le variabili di stato che descrivono lo stato di un gas sono

p ,V , T , n

Queste grandezze sono legate da un’equazione di stato che andremo a

ricavare dalle leggi sui gas che erano conosciute a quei tempi, ovvero

LEGGE DI BOYLE

 ( costa

n,T =cost

pV .

nti)

LEGGE DI GAY-LUSSAC

 ( cost

p , n =V (1+ )

V α ° t

0 c

anti)

( cost

V , n (1+ )

p= p β ° t

0 c

anti) 1

=β=

α 273.15

LEGGE DI AVOCADRO

 =n

V V

0 m =22.4

V l

Dove il volume molare dell’acqua è m

Unendo queste equazioni si ottiene la LEGGE DI STATO DEI GAS PERFETTI

=nRT

pV /( )

R=8,31 J mol ∙ K

Forme alternative: R

=N

pV T =N

pV K T

B

N A

N R

=

n= K

dove dove B

N N

A A

CALORE NEI GAS

Fornendo calore a un gas, avviene una variazione di temperatura e quindi una

trasformazione termodinamica. Tale variazione di temperatura è diversa in

base a se viene mantenuto costante il volume o la pressione. Bisogna quindi

distinguere i due casi

=nC =n

Q ∆ T Q C ∆ T

V V p p

=mc =m

Q ∆ T Q c ∆ T

V V p p

Dove indica la capacità termica molare. A partire da uno stesso stato

C

iniziale, fornendo calore (non uguale) e quindi aumentando la temperatura, si

può arrivare a due stati finali completamente diversi. Dove il volume è costante

aumenterà la pressione (trasformazione ISOCORA), dove invece la pressione è

costante aumenterà il volume (trasformazione ISOBARA).

LAVORO NEI GAS

Il lavoro compiuto da un gas è quello associato alle trasformazioni

termodinamiche.

In generale il lavoro compiuto da un fluido è definito come

=

dW pdV un’espansione

Il lavoro è positivo quando avviene del fluido, ovvero quando la

forza di pressione del fluido ha lo stesso verso della variazione di volume. Il

compressione,

lavoro è invece negativo quando avviene una ovvero quando la

forza di pressione del fluido ha verso opposto alla variazione di volume. Il

lavoro, graficamente, corrisponde all’area sottesa dal grafico della

trasformazione considerata, nel piano pV.

ISOCORA

 =0

W

ISOBARA

 =

W p ∆V

ISOTERMA

 V f

=nRT

W ln V i

I° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA (trasferimento di energia)

In generale, quando un sistema e l’ambiente circostante interagiscono tra di

loro, avviene sempre un trasferimento di energia. Infatti sistema e ambiente

possono interagire tra di loro sia per via meccanica, quindi tramite un lavoro,

sia per via termica, quindi tramite un trasferimento di calore. In entrambi i casi

avviene una variazione di temperatura, quindi un trasferimento di energia.

In generale si ha che il calore è positivo quando l’energia viene fornita al

sistema dall’ambiente, è negativo quando viene sottratto al sistema. Allo

stesso modo il lavoro è positivo quando l’energia è trasferita all’ambiente, è

negativo quando l’energia è trasferita dall’ambiente al sistema. Ovviamente il

fatto che un trasferimento di energia sia da considerarsi calore o lavoro

dipende da come è definito il sistema.

Allora se a un sistema che compie lavoro viene fornito del calore, si ha che

l’energia netta ovvero quella che rimane al sistema sarà data da .

Q−W

Nel caso in cui vengano effettuate trasformazioni differenti ma che hanno stato

iniziale e stato finale uguali per tutte, sia che sono comunque

W Q

differenti, infatti entrambi dipendono da come viene effettuata la

trasformazione. Tuttavia in ogni caso la quantità è la stessa. Viene

Q−W

definita funzione di stato proprio perché dipende solo da stato finale e stato

iniziale (e quindi solo dalle variabili di stato), e rappresenta l’energia interna.

=Q−W

∆ U

È possibile associare una descrizione microscopica all’energia interna di un

sistema; essa infatti corrisponde all’energia cinetica delle sue molecole.

ENERGIA INTERNA DI UN GAS IDEALE

Vogliamo determinare da quali variabili di stato dipende l’energia interna di un

gas perfetto. Si utilizza l’esperimento sull’espansione libera.

Abbiamo un contenitore con pareti esterne adiabatiche e che internamente è

suddiviso in due parti tra le quali è presente un rubinetto. Nella parte sinistra

abbiamo un gas ideale a una certa temperatura , nella parte destra

T

abbiamo la condizione di vuoto. Aprendo il rubinetto avviene un’espansione

libera (non ci sono forze che agiscono sul gas) e alla fine del processo la

temperatura finale è sempre uguale a . Non avendo scambiato calore né

T

=0

compiuto lavoro con l’esterno, quindi Poiché

∆ U U=cost .

nell’esperimento le uniche variabili costanti sono e , si ha che, in un

n T

gas perfetto,

(n )

U , T

Data una qualsiasi trasformazione che giunge a un certo stato finale , è

A

sempre possibile identificare un’isoterma passante per . Quindi è sempre

A

possibile trovare un altro stato finale caratterizzato dalla stessa

B

temperatura e quindi con la stessa variazione di energia interna, raggiungibile

con una trasformazione a volume costante. Per cui

LEZIONE 28

=n

∆ U C ∆T

V

Sintesi:

1. RELAZIONE DI MEYER

2. MODELLO DEL GAS PERFETTO

RELAZIONE DI MEYER

=C +

C R

P V

MODELLO DEL GAS PERFETTO

La teoria cinetica dei gas consente di esprimere alcune grandezze

macroscopiche in termini di medie sui moti molecolari. Per far ciò utilizzeremo

un modello molecolare semplificato che si basa sulle seguenti ipotesi:

Grandi numeri. I gas hanno un numero di molecole molto elevato.

 Meccanica. I moti delle molecole seguono la meccanica newtoniana.

 Urti. Gli urti delle molecole sono elastici.

 Casualità. Il moto delle molecole è casuale e il gas è in equilibrio.



LEZIONE 29

Sintesi:

1. GRADI DI LIBERTÀ

2. DISTRIBUZIONE DELLA VELOCITÀ

3. II° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

4. TRASFORMAZIONI REVERSIBILI E IRREVERSIBILI

5. CICLO DI CARNOT e TEOREMA DI CARNOT

II° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA (trasformazione di energia)

Esistono in generale due processi tipici di trasformazione di energia

considerando un sistema e l’ambiente: (energia termica

1. Viene fornito calore al sistema che quindi compie un lavoro

→ energia meccanica)

2. Viene compiuto del lavoro sul sistema che quindi scambia calore con

(energia meccanica →

l’ambiente a causa della differenza di temperatura

energia termica)

Siamo interessati a un processo ciclico che possa ripetere una delle due fasi in

continuazione. Per poter ripetere il procedimento più volte però, dobbiamo ogni

volta riportare il gas allo stato iniziale e quindi compiere un lavoro. In

particolare il lavoro totale del sistema nel processo 1 è positivo in quanto a noi

interessa quello compiuto dal sistema che dovrà quindi essere maggiore di

quello compiuto per tornare allo stato iniziale (sennò non avrebbe senso). Nel

processo 2 il lavoro è negativo in quanto ci interessa lo scambio di calore,

quindi quello compiuto per riportare il sistema allo stato iniziale sarà maggiore

di quello necessario per consentire il flusso di calore. Il primo principio ci dice

=Q

allora che in entrambi i casi, trattandosi di un ciclo, si ha che .

W

Il processo 1 è realizzabile con una macchina termica, mentre il processo 2 con

una macchina frigorifera.

Una macchina termica converte il calore ricevuto in lavoro. Tuttavia il calore

Q

ricevuto non viene convertito completamente in lavoro perché in parte

F

viene ceduto all’ambiente (termostato).

| |

=Q −

W Q

C F

Si definisce allora rendimento di una macchina termica la quantità

| |

W Q

η= F

η=1−

Q Q

C C

ENUNCIATO DI KEVIN-PLANK