Appunti di Fisica I

O

di rotazione è:

z

=I

L ω

z z

Da tenere presente però, che questa relazione vale solo per le rotazioni nelle

quali il punto si trova sull’asse di rotazione e tale asse è di simmetria ed è

O

fisso. momento delle forze momento angolare

Il rapporto tra e in un moto rotatorio

attorno all’asse , invece, ci fornisce l’analogo rotatorio della II° legge di

z

Newton:

d L

∑ z

= =I

Τ α

z z

dt

Ovvero il moto rotatorio del corpo rigido, o meglio la variazione di velocità

angolare, attorno all’asse , è causato dai momenti delle forze applicate

z

lungo . Questo significa che data una forza che agisce sul corpo rigido,

z

soltanto la sua componente tangenziale causerà una rotazione poiché è l’unica

ad avere momento lungo l’asse .

z

Ovviamente si ha anche:

=0⟹ =cost

Τ L .

z z

lavoro

Il compiuto da una forza per far ruotare un corpo, è definito come segue:

=Τ

dW dθ

z

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA (nel moto rotatorio)

1 1

2 2

=∆ −

W K= I ω I ω

z z

2 2

f i

LEZIONE 21

Sintesi:

1. PRECESSIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

2. URTI TRA PUNTI MATERIALI E CORPI RIGIDI

3. MOTO DI PURO ROTOLAMENTO

4. ATTRITO VOLVENTE

PRECESSIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Supponiamo di avere una ruota agganciata su un asse, attorno al quale può

ruotare, e supponiamo che un’estremità di tale asse sia collegata con un giunto

sferico alla sommità di un supporto, in modo che anche l’asse possa ruotare

liberamente. Allora la precessione è la rotazione contemporanea della ruota

sul proprio asse e dell’asse stesso.

Quando l’asse è parallelo al terreno, se la ruota non gira, sarà presente solo il

dL

∑ =

Τ

momento della forza peso del sistema asse + ruota. Poiché ,

dt

nell’intervallo di tempo abbiamo una variazione che ha la stessa

dt dL

direzione del momento e che fa cadere la ruota facendola ruotare attorno

Τ

^

a .

j

Se invece la ruota gira su sé stessa, entra in gioco anche il momento angolare.

In particolare il momento angolare totale del sistema sarà dato dal momento

angolare dello spin (ruota attorno all’asse) sommato a quello dell’asse attorno

al perno . Otteniamo perciò un momento angolare totale obliquo e

P

perpendicolare nella direzione a . Supponendo tuttavia la velocità

dL

angolare dello spin molto maggiore di quella attorno a , abbiamo che il

P

L

momento angolare totale è praticamente uguale a (in termini di

s

direzione).

Applicando la SECONDA EQUAZIONE CARDINALE DELLA MECCANICA, si può

^

ricavare la velocità angolare del sistema asse + ruota attorno all’asse .

k

Mgd

=

ω P I ω

s s

Nella precessione quindi, è il momento della forza peso che causa la rotazione.

In particolare se la ruota non gira su sé stessa, il momento della forza la farà

^

cadere e ruotare attorno a ; se invece la ruota gira su sé stessa, si genera

j

L L

un momento angolare che ha praticamente la stessa direzione di ,

tot s

quindi poiché il momento nell’intervallo genera , sommando

Τ dt dL

+

L dL si ottiene un vettore obliquo che causa la rotazione attorno a .

P

tot

URTI TRA PUNTI MATERIALI E CORPI RIGIDI O TRA CORPI RIGIDI

Anche per questi urti, il loro studio si basa sulle leggi di conservazione già viste

in precedenza. L’energia cinetica si conserva solo negli urti elastici, la quantità

di moto si conserva solo se non vi sono forze esterne impulsive che agiscono

sul sistema. Quindi in qualunque caso vi sia un vincolo che tiene fermo un

punto del corpo rigido, non si verifica la conservazione della quantità di moto.

Infine, poiché si ha a che fare con corpi rigidi (i quali possono essere messi in

rotazione in seguito a un urto), va considerata anche la conservazione del

momento angolare. Quindi qualora rispetto a un polo fisso il momento delle

forze esterne, comprese quelle vincolari, è nullo, si conserva il momento

angolare del sistema rispetto a tale polo. Di conseguenza se agiscono solo

forze interne o il polo di riferimento è posizionato sul vincolo, il momento

angolare si conserva.

(in genere, le uniche forze esterne che possono presentarsi sono quelle

impulsive legate ai vincoli. In questo caso si sceglie come polo il vincolo stesso

in modo da avere la somma dei momenti nulla e quindi anche la conservazione

del momento angolare)

MOTO DI PURO ROTOLAMENTO

Il moto di puro rotolamento è il moto di un corpo che ruota senza strisciare

lungo un piano. È quindi la composizione di due moti: uno rotatorio appunto e

uno traslatorio dovuto allo spostamento dell’asse.

Il rotolamento del corpo avviene attorno all’asse passante per il punto di

contatto tra il corpo e il terreno. Poiché non si verifica alcuno strisciamento

P

del corpo, istante per istante tale punto è fermo. Si ha quindi:

=R

v ω

CM p

L’energia cinetica del corpo che rotola rispetto all’asse passante per è:

P

1 2

K= I ω . Applicando il teorema degli assi paralleli si ottiene l’energia

p p

2

cinetica del moto di puro rotolamento

1 1

2 2

+

K= I ω M v

CM o CM

2 2

ATTRITO VOLVENTE

In un moto di puro rotolamento soggetto alla sola azione di forze conservative,

come la forza peso, si ha la conservazione dell’energia meccanica. Infatti, pur

essendo presente una forza d’attrito non conservativa, poiché il moto è di puro

rotolamento e quindi istantaneamente il punto di contatto non si muove, tale

forza non compie lavoro. Ciononostante, si osserva sperimentalmente che dopo

un certo intervallo di tempo, il corpo si ferma. Questo perché è presente

un’altra forma di attrito detto attrito volvente.

Quando un corpo rotola è soggetto a un attrito detto volvente che tende a

frenarne la rotazione. Esso infatti si esprime sotto forma di un momento di una

forza che ha verso opposto a quello che causa la rotazione.

=hmg

Τ v

Infatti (coefficiente di attrito volvente espresso in metri) è il modulo del

h

vettore che rappresenta la distanza dal centro di massa alla forza normale, che

in un moto di puro rotolamento non ha la stessa direzione della forza peso, ma

è spostata in avanti. (vedi approfondimento)

LEZIONE 22

Sintesi:

1. DEFORMAZIONE DEI SOLIDI

1.1. Trazione

1.2. Taglio

1.3. Pressione

2. PENDOLO DI TORSIONE

DEFORMAZIONI DEI SOLIDI

I solidi hanno la proprietà di resistere ai cambiamenti di forma. Quando

vengono applicate delle forze ad un solido, questo si deformerà leggermente

anche se dimensioni e forma non cambieranno di molto. Tale deformazione

dipende dalla forza applicata per unità di area. Infatti con una stessa forza, più

è piccola l’area su cui essa è applicata più marcata sarà la deformazione.

Definiamo allora lo sforzo come il rapporto tra forza applicata e l’area

F

=

σ A

Esistono tre tipi di deformazioni:

TRAZIONE o COMPRESSIONE: le forze sono normali e sono applicate su

 due superfici. σ

∆l

=

ε t

=

Y

t l ε t

DEFORMAZIONE DA MODULO DI YOUNG

TRAZIONE/COMPRESSIONE

Mettendo in relazione grafica lo sforzo con la deformazione, si possono

individuare diverse regioni importanti. La prima è chiamata regione di

proporzionalità in quanto per deformazioni inferiori allo sforzo è

0,5 %

limite di

proporzionale alla deformazione (legge di Hooke). Superato il

elasticità si passa alla regione di plasticità nella quale il solido è

deformato in modo permanente. Aumentando ulteriormente lo sforzo si

rottura.

giunge quindi alla

TAGLIO: le forze sono parallele e sono applicate su almeno quattro

 superfici. ∆x σ

=ϕ

ε ≈ s

S=

s l ε s

DEFORMAZIONE DA TAGLIO MODULO DI ELASTICITÀ A TAGLIO

PRESSIONE: le forze sono normali e sono applicate su ogni superficie

 −∆ p

B= /

∆ V V

MODULO DI ELASTICITÀ CUBICA

LEZIONE 23

Sintesi:

1. FLUIDI

1.1. Densità e Pressione

2. PRINCIPIO DI PASCAL

3. LEGGE DI STEVINO

4. PRINCIPIO DI ARCHIMEDE

FLUIDI

Un fluido è una sostanza liquida o gassosa che non mantiene una forma

propria, ma assume quella del recipiente che la contiene. In particolare un

liquido, a differenza di un gas, mantiene anche il proprio volume se

temperatura e pressione sono costanti. Nello studio dei fluidi densità e

pressione sono due grandezze che giocano un ruolo fondamentale

dm F

ρ= p=

dV S

DENSITÀ PRESSIONE

In base alla densità, i fluidi possono essere:

INCOMPRIMIBILI, quando la densità rimane costante in qualsiasi

 condizione. (fluido ideale)

COMPRIMIBILI, quando la densità dipende da altezza e temperatura. (GAS

 in genere)

STATICA DEI FLUIDI

PRINCIPIO DI PASCAL

Il principio di Pascal consiste in due risultati importanti.

In un fluido a riposo, la forza esercitata su ciascuna delle particelle che lo

costituiscono (quindi la pressione) ha uguale intensità in tutte le direzioni.

Infatti se così non fosse, le forze interne tra le singole particelle non sarebbero

tutte uguali, e quindi ogni particella si muoverebbe nella direzione della

risultante di esse, e il fluido non sarebbe in quiete. Quindi in condizioni

statiche, in un fluido non può esserci uno sforzo di taglio (non ci possono essere

forze tangenziali altrimenti si deformerebbe continuamente) da cui segue che

la forza esercitata dal fluido in quiete su qualunque superficie che lo racchiuda,

è normale alla superficie.

Il principio di Pascal stabilisce inoltre che quando avviene un aumento

nella pressione in un punto di un fluido confinato, tale aumento viene

trasmesso anche in ogni altro punto del fluido con la stessa intensità e quindi

anche ad ogni punto del contenitore.

LEGGE DI STEVINO

La legge di Stevino ci dice come varia la pressione di un fluido rispetto alla sua

profondità o altezza. +

dp=ρgdh p= p ρgh

0

Ovvero la pressione aumenta linearmente all’aumentare della profondità.

STRUMENTI PER LA MISURA DELLA PRESSIONE

MANOMETRO A U

 Da una parte abbiamo un contenitore con all&