Appunti di Fisica I

Capitolo 1: Teoria della misura e degli errori

Teoria della misura e calcolo degli errori

È impossibile misurare una grandezza con precisione infinita; ogni misura è affetta da un errore di misurazione, chiamato impropriamente incertezza. Per fissare le idee, consideriamo di voler misurare una barra: supponiamo di avere una barra rettangolare e di voler misurare la lunghezza della sua estensione. Per misurarla, consideriamo un regolo (barra di lunghezza fissata, divisa in parti uguali a seconda dell'unità scelta) diviso in parti da 1 cm e confrontiamo la lunghezza della barra con il regolo. Portiamo la barra e il regolo vicine e facciamo coincidere uno spigolo della barra con lo spigolo del regolo, confrontiamo poi i sottomultipli del regolo con la lunghezza della barra. Otteniamo, per esempio, che la lunghezza della barra cade tra la tacca dei 6 cm e dei 7 cm, quindi la sua lunghezza è compresa in quell’intervallo. Non possiamo dire altro perché non riusciamo a determinare dove cade con precisione la fine della barra.

Per determinare in modo più preciso tale lunghezza, possiamo ottimizzare l’unità di misura dividendo un centimetro in 10 millimetri. Notiamo adesso che la lunghezza cade tra la tacca indicante i 6,6 cm e i 6,7 cm. Tuttavia, la lunghezza compresa tra 6,6 cm e 6,7 cm non è ancora precisa, ma indicativa, poiché siamo ancora in un intervallo.

Come possiamo notare, la misurazione della lunghezza di un oggetto è legata alla precisione dello strumento utilizzato, ma vi è un limite fisico. Infatti, arrivati a un certo punto, dopo aver di gran lunga migliorato lo strumento, dovremmo osservare al microscopio dove termina la barra, e ci troveremmo di fronte un profilo frastagliato e irregolare compreso tra due tacche. A quel punto si potrà concludere che, nonostante migliorassimo infinitamente la precisione dello strumento, troveremmo sempre un’incertezza dovuta alla scelta di quale dei punti del profilo proiettare sulla scala. Dobbiamo quindi sempre accontentarci di un intervallo e dire, per esempio, che la lunghezza corrisponde a ± 6,65 ± 0,05 (un numero che ne definisce la migliore stima, la semi ampiezza dell'intervallo che rappresenta l'incertezza).

La sensibilità dello strumento non è sempre l'unica fonte di incertezza. Consideriamo il caso più generale e definiamo cosa s'intende per strumento di misura:

• Lo strumento di misura è un dispositivo che dà una risposta ben definita a ogni quantità della grandezza che vogliamo misurare. Ad esempio, ad ogni valore della temperatura corrisponde una ben definita risposta del termometro rappresentata nella colonnina di mercurio.
• La taratura o calibrazione dello strumento consiste nel fornire allo strumento una scala, su di essa sono rappresentati dei valori standard con multipli o sottomultipli dell'unità di misura scelta.
• La misurazione consiste nel confrontare la quantità della grandezza che vogliamo misurare con le risposte riportate sulla scala; questa si riduce tipicamente a localizzare un punto sulla scala. Vi è un limite associato alla scala, poiché siamo incapaci di associare la posizione di un puntatore a due tacche successive. Ogni scala ha una fonte di incertezza legata alla più piccola spaziatura presente su di essa. Tale fonte di incertezza è detta sensibilità dello strumento e si indica con "ε".

Qualora facessimo una sola misurazione, l'unica stima che avremmo dell'incertezza sulla misura è ± ε, per cui scriveremo come risultato x ± ε/2.

Supponiamo ora di voler misurare il tempo di caduta di un grave avendo a disposizione un cronometro. Dobbiamo semplicemente avviare il cronometro quando l'oggetto inizia a muoversi e stopparlo quando esso tocca terra. Avendo cura di ripetere più misurazioni, otteniamo così più risultati che differiscono tra loro per intervalli che sono maggiori della sensibilità dello strumento. Quindi, l'incertezza non dipende solo dalla sensibilità dello strumento ma anche dall'interazione con lo strumento. Esiste un tipo di incertezza legata all'interazione dell'osservatore con lo strumento.

Diversi tipi di errore

Abbiamo diversi tipi di errore dovuti a diverse cause:

• Errori di tipo casuale o accidentale: essi influiscono sul risultato della misura in modo casuale. Per renderci conto di quanto vale questa incertezza, dobbiamo ripetere la misura più volte.
• Errori di tipo sistematico: essi sono legati al processo di misurazione, ad esempio a una taratura imperfetta dello strumento. A differenza dell'errore casuale, questo errore può essere evitato ed influisce sulla misura in una sola direzione.
• Errore dovuto alla sensibilità dello strumento.