Appunti di Fisica Generale I (Meccanica)

APPUNTI DI FISICA GENERALE I

(PRIMO MODULO)

UNIVERSITÀ DI TRENTO PROFESSA RITA DOLESI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA.

Riccardo Tosi

VETTORI

• Grandezze fisiche:

  • SCALARI (definite da un numero, da un valore)
  • VETTORIALI (definite da tre numeri)

• Valore assoluto

• Direzione

• Verso (ovvero il segno)

• Es. Lo spostamento di un corpo da A o B è identificato da modulo, direzione e verso

• La direzione è la retta tangente punto per punto alla traiettoria

• Verso: indica il verso di percorrenza (il segno è dato dalla freccia)

• Le grandezze vettoriali sono definite graficamente da vettori.

• VETTORE: grandezza che può essere rappresentata sotto forma di segmento orientato.

• Punto di APPLICAZIONE = origine del vettore

• ESTREMO LIBERO = parte finale della freccia

• Valore assoluto: MODULO = determina la lunghezza del segmento

• Si indica con |**v**| ed è un sesto dell’unità della lunghezza.

• **v** = VERSORE (vettore di modulo unitario |**v**| = 1)

• Il versore **v**’ è EQUIPOLLENTE a **v** (tramite per il MODULO soprario)

• Principio di EQUIPOLLENZA:

• Due vettori **v**, **w**, si dicono equipollenti se hanno stessa DIREZIONE, stesso MODULO, stesso VERSO (cambia il punto di applicazione e l’estremo libero)

• Il versore serve per identificare una direzione

• Analoghi tra **v** si può scrivere **v** (mezzo: la freccetta)

I tre numeri di un vettore sono i COSENI DI DIRETTRICI (cioè i coseni degli angoli che il vettore forma con gli assi).

Nel disegno: cosα, cosβ, cosγ

Sapendo i tre coseni, è possibile stabilire le componenti di un vettore (cioè la proiezione di un vettore sugli assi).

In 3D:

• V_x = |V| cosα
• V_y = |V| cosβ
• V_z = |V| cosγ

Il modulo di v si calcola a partire dalle componenti

|V| = √(V_x² + V_y² + V_z²)

Il vettore si può riscrivere come una terna di numeri:

V = (V_x, V_y, V_z) (o, in alternativa, i tre coseni direttori)

Vale la seguente identità: cos²α + cos²β + cos²γ = 1

Supponiamo sia dato un v:

• V_x = |V| cosα
• V_y = |V| cosθ (proiezione ortogonale)
• V_z = |V| cosθ
• V_y = |V| sinα

I tre assi del piano possono essere intesi come vettori:

x -> i, y -> j, z -> k

i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)

SOMMA DI VETTORI

Dati due vettori v₁ e v₂, dal punto di vista grafico è necessario portare il vettore v₂ parallelamente a se stesso per far coincidere il suo punto di applicazione con l’estremo libero di v₁. Il vettore somma parte dal punto di applicazione di v₁ e giunge all’estremo libero di v₂. La somma vettoriale è detta RISULTANTE.

• V_R = (V_x1 + V_x2, V_y1 + V_y2, V_z1 + V_z2)

La somma tra due vettori gode di due proprietà:

• COMMUTATIVA v₂ + v₁ = v₁ + v₂
• ASSOCIATIVA (v₁ + v₂) + v₃ = v₁ + (v₂ + v₃)

SOTTRAZIONE:

• v₃ = v₂ - v₂
• Si esegue e opera col sottraendo (- segno opposto ti stesso modulo e direzione)
• V_R = (V_x1 + x₂, V_y1-V_y2, V_z1-V_z2)

Somma -> diagonali maggiori del parallelogramma

Differenza -> diagonali minori del parallelogramma

Sottrazione: proprietà ANTICOMMUTATIVA: v₁ - v₂ = - (v₂ - v₁)

Grandezze fisiche = MISURABILI (numero: confronto tra le grandezze fisiche

e le grandezze campione, detti anche strumenti di misura)

Grandezze fondamentali: (tra loro indipendenti)

- LUNGHEZZA (l): unità m: distanza coperta dalla luce nel vuoto in

   299792458 s

- MASSA: quantità di materia di un corpo (indica la resistenza di un

   corpo ad essere messo in moto: ad ogni effetto meccanico di un corpo)

   di campione Kg da miscela isotopica in un m³

   Kg platino-iridio a T° per diametro esterno ca. 39 mm

- TEMPO (t): unità di misura: S -> durata di 9192631770 periodi della

   radiazione corrispondente alla transizione tra

   due livelli dello stato fondamentale dell'atomo

   di Cesio-133

- CORRENTE ELETTRICA (i): unità A

- TEMPERATURA (T): unità K

- QUANTITÁ DI SOSTANZA (n): unità mol

- INTENSITÁ LUMINOSA (A^v): unità cd (candela)

le altre grandezze, dette DERIVATE, sono combinazioni di queste fondamentali:

Multipli e sottomultipli

   10¹    deca   da-1     deci   d-2     centi   c-3     milli   m-6     micro   µ-9     nano   n

Per la velocità:

[v] m/s, Km/h

Notazione scientifica:

a{R} α compPBile come a · 10^_x 1≤a<^_l.s

ERRORI DI MISURA

La validità di una misura deve essere accompagnata da una incertezza.

incertezza sistematica: causata dalla strumenta (errori fissi, strumentali,

di uno strumento che influiscono sistematicamente

tutte le misure effettuate).

Essa deve essere SOTTRATTA (se nota).

errore di approssimazione o di lettura: uno

strumento. Per evitare errori sistematici occorre fare

un gran numero di misurazioni e considerare la

loro media.

Incertezza di precisione: dovuta all'apprezzamento o di lettura: uno

strumento. Per evitare errori sistematici occorre fare

un gran numero di misurazioni e considerare la

loro media.

Esempi: = 2

sensibilità: 0,1

errori:

CIFRE SIGNIFICATIVE:

 - Gli zeri tra due numeri contano, quelli prima delle cifre no

3,0,2,1 = 4 cifre

0,0064 = 2 cifre - pointi xrive come 6,9 ~ 10³

x'(t)=_d/^dt[x(t)]

x(t)=F(t)-cost.

x(t₀)=x₀

cost.=x₀-F(t₀)=x₀-F(t₀)

x(t)=F(t)+[x₀-F(t₀)]=x₀+F(t)-F(t₀)

F(t)=F(t₀) + ∫_t0^t x'(t) dt

Si utilizza F per distinguere le variabili

∫_t0^t dx(t)_d/^dt dt = ∫_t0^t dF(t)¹ = F(t)-F(t₀), F(t)=F(t₀)+F(t)-F(t₀)

Da qui:

x(t)=x₀+F(t)-F(t₀)=x₀+∫_t0^t x'(t) dt

Ulteriore dimostrazione

w(t)=dx(t)_d/^dt

w(t)dt=dx(t)

x(t)=x₀+∫_t0^t x(t)_d dx

∫_x0^x dx=

x-x₀=

x=x₀+∫_t0^t x(t)_d dt

x=x(t₁)=w(t₁)=x(t₁)

Esempio: MOTO A VELOCITÀ COSTANTE w(t)=v₀ costante

x(t)=x₀-v

x(t)=x₀+∫_t0^t v₀ dt=x₀+v₀ t-x₀-v₀ t₀

x(t)=x₀+(v₀)t= x₀+(v₀)(t-t₀)

legge oraria moto unidimensionale uniforme

Detta accelerazione alle velocità

a(t)=dv(t)_d/^dt

v'(t)=a(t)

v(t)=v₀ (condizione iniziale)

v(t)=v₀+∫_t0^t a(t)dt

Intuire (tramite un'equazione differenziale di secondo grado)

a(t)=d²x(t)_d/^dt2

a(t)=v₀+a(t)dt²

x(t₂)=x₁

N.B. x(t₁)=x(t)₂₀ possono essere detr in istanti diversi t e t₂

Esempio: MOTO AD ACCELERAZIONE COSTANTE (moto uniformemente accelerato)

a(t)=a costante altr v(t)=v₀, x(t₁)=x₀

Per la velocità:

v(t)=v₀+at

v(t)=v₀+∫_t0 a dt

Da qui: v(t)=v₀+a(t-t₀)

Per la posizione:

∫_t0^t [v(t₁)] dx= ∫_t0^t ∫_t0^t (v₀+a(t-t₀))dt dx

x(t)=x₀+∫_t0^t (v₀+at₀)dt+

∫_t0^t₀ ∫_t0^{tt₀ a(t-t₀)dt)=x₀+v}

(t-t₀)+ ∫_t0^{tt₀ ∫_t0t₀ a(t-t₀)}

x(t)=x₀+∫_t0^{tt₀ v*dt= x₀+v₀ (t-t₀) + 1₄ (t_-t1 tt₀)+dtatt₀ + (t-t₀)}

x₀+v₀(t_-t1 ^t₀)+∫_t0

∫+1₂ ∫_t0 a(t-t₀)²

x(t)=x₀+v₀(t-t₀)+(a/2)(t-t₀)²