Appunti di energia nucleare e risoluzione prove d'esame

Modulo 1 - NUCLEARE

Indichiamo con λ, la cost. di decadimento che dipende dal tipo di emissione e dal nucleo, mentre con "N(t)" i nuclei iniziali; che non sono ancora decaduti e con "dN(t)" quelli che decadono in modo proporzionale rispetto a "N(t)".

Risulta: dN(t)/dt = -λN(t)

Se esso rispetto, al secondo membro, è dato da decadimento di alcuni nuclei, il "λN(t)" prende il nome di ATTIVITÀ.

dN/N = -λdt N(t) = C e^-λt dove C indica la condizione t=0 ovvero N(t) = N₀

La soluzione che descrive il decadimento:

N(t) = N₀ e^-λt

dove N₀ indica i nuclei radioattivi a t₀ e se si assume uguale a t, l'esp. indica la probabilità che il nucleo "sopravviva" fino all'istante t.

Inoltre, se probabilità che in un intervallo tra t e t+dt, il nucleo si disintegri, risulta,

p(t) dt = N(t) - N(t + dt)

P(t) = (N(t+dt) - N(t))/dt = (dN(t)/dt) + λN(t) = + λe^-λt

Dal momento che, integrando quest’ultima equazione tra 0 e ∞, risulta = 1, si può constatare che tutti i nuclei instabili decadono.

Quando si indica il tempo che serve a N(t) per dimezzarsi, si parla di tempo di dimezzamento:

N(T_½) = N₀/2 = N₀ e^-λT_½

T_½ = ln 2/λ = 0,693/λ = 0,693_E dove τ prende il nome di vita media ed è il valore medio dt pesato su p(t)

Con alcuni processi, come ad esempio quello della fissione, se ha un aumento dei nuclei di N(t), l’eq. diventa

dN(t) = -λN(t) dt + R(t) dt (dove con R(t) si considerano processi ulteriori al decadimento)

STATI ECCITATI

I nuclei si trovano su un livello energetico e dell'energia di legame, ma abbandonano il nucleo, in quanto possono rimanere sugli stati eccitati per lungo tempo, questo perchè l'energia di eccitazione è suddivisa tra nucleoni vari. A differenza dell'elettrone che tende a lasciare il nucleo quando ha un'energia appena superiore a quella di legame.

I livelli energetici possono essere più o meno fitti in base al peso atomico: maggiore è quest'ultimo, e più fitti sono i livelli. Quelli caratterizzati da un'energia minore di quella di legame si chiamano LIVELLI LEGATI (L), mentre quelli con energia maggiore prendono il nome di LIVELLI VIRTUALI (LV).

Se il nucleo si eccita grazie all'energia fornita, dal neutrone, la probabilità che questo venga riassorbito è maggiore. Maggiore è la vita media dello stato eccitato, minore la difficoltà di espellere un nucleone, tanto è più piccolo ΔE.

Indicativo dell'ampiezza del livello:

ΔE = Γ λ = 2ℏ

dove λ ≈ ℏ/2 ed ℏ = ℎ/2π

E = energia che possiede il neutrone sparato contro il nucleo.P = probabilità che il nucleo assorba il neutrone.

REAZ.NUCLEARI

Si definiscono le reazioni nucleari dei ratti: da quelle spontanee di decadimento. Si possono distinguere 3 fasi: la cattura, la formazione di un nucleo intermedio, chiamato NUCLEO COMPOSTO e infine il decadimento. I reagenti per far sì che la reazione avvenga devono ricevere un'energia di attivazione uguale o maggiore dell'energia associata al difetto di massa, che è possibile calcolare dal bilancio di massa. Quest'energia può essere data accelerando il neutrone e fornendo energia cinetica. Sviluppo grazie all'urto, in quanto viene assorbita del nuovo nucleo (m = neutrone, N = nucleo, C = nucleo composto).

m_n = m_n + m_N

1/2 m_n v_n² = Q + 1/2 m_C v_C² [con. dell'energia]

m_N v_n m_N v_C ------> 1/2 m_n v_n² = Q + 1/2 m_n v² v_C

1/2 m_N v_n - 1/2 m₂ m_N v_N = Q

1/2 m_n v_n (1 - m_N)

1/2 m_n v_n² = Q

1/2 m_N v_N² = Q - 1/2 m_n v_n v_C

1/2 m_n v_n² = Q

1/2 m_n v_n (1 - m_N)

Eq. di diffusione per un mezzo moltiplicante

¹/_v ∂φ/∂t (r̅, t) = D∇²φ(r̅, t) - Σ_aφ(r̅, t) + _∞Σ_aφ(r̅, t) (1 - ^∂φ/__∂t (r̅, t) ) = D∇²φ(r̅, t) + (k_∞-1)Σ_aφ(r̅, t)

λ = -υΣƒB∞² + (k_∞ - 1)υΣ_a Se k > 1 Se reattore punti sr

λ_m = υΣ_∞ (k_∞ - 1 - L²B∞²) = υΣ_∞ (L²B∞² + 1) ^(k∞/_{1 + L²B∞² - 1)} t_m = t_d/^(k_∞-1)

^{λ_m = 0 > 0 < 0}

Φ~ge ^{(λ - Λ)}/c t.^{sen nπ}/_a

^{k = k_∞P_T}

Per avere un reattore critico : k = ^k_∞P_T = ^k_∞/_{1 + L²B∞²} = 1

CASO NON CRITICO

DIFFUSIONE DEI NEUTRONI

modello fisico-matematico al fine di stimare il moto dei neutroni in un mezzo.

IPOTESI:

• NEUTRONI MONOENERGETICI, tenuti a:
• SCATTERING ISOTROPO

Σt, Σa, Σs costanti negli elementi di volume;

neutroni prodotti in V nell'unità di tempo dalle reazioni.

• neutroni assorbiti in V dal materiale nell'unità di tempo;
• neutroni che fuggono dalla superficie di V nell'unità di tempo.

Per il teorema della divergenza:

se integrale su qualunque volume es. la (EQUIVALENTE DI CONTINUITA') che vale per tutti i gruppi energetici. Risulta necessario arrivare ad una relazione tra la corrente e il flusso.

Alcuni subiscono un'attuazione, giungendo a dAz;

quindi i neutroni che attraversano il corpo:

• neutroni che arrivano all'istante t.

Determinazione della soluzione dell'eq. di diffusione

Consideriamo il caso semi-infinito, monodimensionale e che gli effetti di bordo _ua imponessero il valore _{lt >> lt}

∂_t∂ₕ = ∂_xx∂ₕ_x,t = ∂ₕ_x,x ∂ₕ_{x,t − 0 < x< at > 0}

Condizioni:

• Condizioni

∂₀∂_x,o = ∂∂ ∂∂_x,o

Risolvo eq. col metodo di separazione delle variabili: ∂ = X(x)T(t)

x(x)T'(t) = √D T(t)x''(x) − √_∑a T(t)X(x)

con T'(t) = dT/dttx''(x) = d x

Dividendo per X(x)T(t)T'(t)^{'' x(t)}= √D

T'(t) = ∂D ^{x'' d''}X(x)

T'/T = λ

  Risolvendo separatamente:

T'/T = λ → T' = ΛT → T(t) = G_e λt

T (t) = G_e λt

c.a. k= 1, 2, ··· </p>

_^X(x) = C_seu^{(k n} ∂_x)

Visto che λk sono reali

(∑_q=1ⁿ Σ_a → k_∞ = per un neutro multigruppo.

Generalizzazione per k_∞ di un solo gruppo:

k_∞ = V ∑_q φ / ∑_a

E.g. assumo un sistema lineare omogeneo, si può risolvere in forma matriciale:

Af - Ef = 0  Dati A e F sono caratteristiche del materiale

f solo G×G mentre φ matrice G×1

Tutto lo scattering

Sezione urto macroscopica di rimozione

Σ_t = Σ_a,q + Σ_s,q - Σ_s,q→q

(neutroni che lasciano q) geo-scattering

• Il sistema ha soluzioni solo se: det[A - E] = 0
• Si può dimostrare che A è invertibile → A^-1Fφ = k_∞φ
• Si ottiene una serie discreta di autovalori e autovettori.
• Si può dimostrare che: 1) c'è un unico reale, positivo autovalore + (grande in modulo di tutti gli altri)
• 2) Tutti gli elementi dell'autovettore corrispondente a 1) sono reali e positivi
• 3) Tutti gli altri autovettori hanno elementi negativi nulli tranne i relativi riferimenti

Unico autovalore accettabile è (1) quanto un solo accettato autovettori negativi poichè φ deve essere positiva.

La soluzione canonica nel considerare 2 gruppi:

1.  (
2.  (

→(