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Equazioni elettriche nel circuito con condensatore
C Cavrà tensione costante E, si applica Ohm per ottenere il potenziale in R per poi la KVL nella maglia inserendo anche la relazione costitutiva del condensatore. Si ottiene un'equazione differenziale analoga a quanto visto finora e che verrà risolta allo stesso modo. pag. 47 Elettrotecnica 2021-2022 - Emmanuel Messina+
Per ora abbiamo il v(0), il v(inf) sarà uguale a E, questo perché il circuito finale presenta un circuito aperto al posto del condensatore in quanto per t infinito si comporta in questo modo, il potenziale in R è 0 perché non passa corrente e applicando la KVL abbiamo v = E (stesso ragionamento di prima ma con il generatore con potenziale non nullo). La resistenza equivalente è uguale a R, il generatore diventa corto circuito, il condensatore circuito aperto e quindi R = R.eq. La costante di tempo sarà quindi = RC. Mettendo tutto insieme abbiamo che:
3. t > T - + Utilizzando ancora la proprietà di
continuità abbiamo che v(T) = v(T) = a quello che abbiamo appena trovato ma con t=T. Dobbiamo quindi calcolare il valore finale e la costante di tempo. In questo caso, osservando il grafico e(t) = 0, quindi il generatore si comporta come un corto circuito e quindi applicando la KVL tenendo a mente che il condensatore per t infinito è un circuito aperto, abbiamo che la v = 0. La Req si calcola come prima e fa R anche in questo caso e quindi la costante di tempo sarà di nuovo uguale a prima. Unendo i pezzi abbiamo: OSS: Da notare una cosa importante, in questo esempio la costante di tempo era sempre la stessa. Non è detto che lo sia perché può cambiare!! 4.8 Circuiti di ordine superiore al primo: secondo ordine Sono circuiti caratterizzati da due elementi dinamici e quindi da un'equazione differenziale di secondo grado. pag. 48 Elettrotecnica 2021-2022 - Emmanuel Messina 4.9 Equazioni di stato in un circuito di ordine superiore al primo Un metodo perl'analisi sui circuiti dinamici di ordine superiore al primo è quello basato sulle equazioni di stato. Il vantaggio principale è quello di poter poi lavorare su equazioni differenziali di primo grado. L'algoritmo per scrivere equazioni di stato è: • Sostituire il condensatore con un generatore indipendente di tensione di valore v e ogni induttore Cm con un generatore indipendente di corrente di valore i. • Studiare il circuito e ricavare v e i relative a ciascun condensatore e le tensioni v. • Sostituire nelle espressioni ottenute al punto 2 le relazioni costitutive di condensatori e induttori. Esempio: In questo esempio si sostituiscono gli elementi dinamici con i generatori indipendenti associati e si calcolano le vC e iL applicando le KVL e KCL nei nodi/maglie interessate. Si sostituisce nelle espressioni, le relazioni costitutive degli elementi dinamici per ottenere un'equazione generica di questo tipo. Si può vedere tale.equazione in forma matriciale: Dove x è un vettore di stato, A la matrice di stato e u il vettore d'ingresso. Le equazioni di stato si ricavano studiando da un circuito resistivo.
Come si risolvono queste equazioni? pag. 49 Elettrotecnica 2021-2022 - Emmanuel Messina
La soluzione è: Che possiamo riscrivere come Che per generatori costanti, u è costante quindi xp(t) è costante e quindi xinf=xp(0+) e quindi:
Abbiamo quindi una formula analoga ai circuiti del primo ordine. La A all'esponente è però una matrice! pag. 50 Elettrotecnica 2021-2022 - Emmanuel Messina
CAPITOLO 5 Regime sinusoidale
5.1 Circuiti con generatori sinusoidali &fasori
Nei capitoli precedenti ci siamo occupati della risposta ad ingressi costanti o costanti a tratti. L'ingresso in questo caso è una funzione sinusoidale. Molti dei circuiti operano in condizione di regime sinusoidale. Grazie ad alcuni strumenti come la serie di Fourier è possibile scomporre
Questi segnali. Viene fatto ampio uso dell'utilizzo dei numericomplessi. Al posto di i verrà usata j per non confondere la i con la corrente. Introduciamo inoltre il concetto di fasore ovvero il numero complesso associato ad una sinusoide di ampiezza A e fase ϴ (la parte indicata in rosso).
Generalmente una grandezza sinusoidale è rappresentata per l'appunto da una funzione del tipo quella indicata nell'esempio precedente v(t) dove abbiamo A, l'ampiezza, ω la pulsazione e ϴ la fase. Il periodo T è l'intervallo di tempo dopo il quale la funzione si ripete.
I soli numeri reali della sinusoide sono l'ampiezza e la fase. Siccome A è una quantità positiva e ϴ è l'angolo, possiamo definire A e ϴ rispettivamente come modulo e angolo e associare il fasore con tali caratteristiche.
Dalla formula di Eulero possiamo quindi notare che:
Esempi: pag. 51
Elettrotecnica 2021-2022 - Emmanuel Messina
5.2 Proprietà
dei fasori
Addizione
Se consideriamo la somma di due sinusoidi con la stessa frequenza, i cui fasori sono X1 e X2 possiamo scrivere:
La somma di sinusoidi con la stessa frequenza è quindi ancora una sinusoide con la stessa frequenza, il cui fasore è la somma dei fasori.
Derivazione
La derivata di una sinusoide è:
Quindi abbiamo ricavato che la derivata della sinusoide di frequenza ω e fasore F è una sinusoide della stessa frequenza e fasore jωG.
In un circuito in regime sinusoidale tutte le variabili sono sinusoidali ed isofrequenziali. Ciò vale anche per la tensione e per la corrente dei tre elementi a due terminali (resistore, induttore, condensatore).
Vediamo ora la relazione tra fasori corrispondenti.
Resistore
La relazione caratteristica è:
utilizzando la proprietà della moltiplicazione per una costante si ottiene la relazione tra fasori V ed I: pag. 52
Elettrotecnica 2021-2022 - Emmanuel Messina
La tensione e la corrente sono in fase
MessinaMessina5.3 Impedenza e ammettenza
La relazione del condensatore può essere riscritta come V=(1/jωC)*I e possiamo fare un simile ragionamento per le altre formule. In regime sinusoidale anche induttore e condensatore seguono la legge di Ohm simbolica che in generale può essere riscritta come V=ZI
Dove:
- Z=R per il resistore
- Z=jωL per l'induttore
- Z=1/jωC per il condensatore
La quantità Z prende il nome di impedenza del bipolo e si misura in Ohm. Tale quantità può essere invertita analogamente con quanto facevamo con la resistenza in una sorta di conduttanza chiamata ammettenza Y. Infatti:
- Y=G per il resistore
- Y=1/jωL per l'induttore
- Y= jωC per il condensatore
L'impedenza è il rapporto tra due fasori ma non è un fasore! Lo stesso vale per l'ammettenza. Dalle definizioni di impedenza, collegate con la legge di Ohm, derivano queste proprietà:
I fasori
La relazione tra queste nuove grandezze è invece: 5.6 Metodo Simbolico Dei Fasori
Si prende ora in considerazione questo circuito come esempio e ne vogliamo ricavare la v .C
Prima di tutto ci si calcola l'impedenza del condensatore e dell'induttore usando le formule:
- 1/jωC per il condensatore
- jωC per l'induttore
Poi calcoliamo il fasore del generatore di tensione che ha ampiezza 2 e fase 0, quindi il fasore corrispondente sarà semplicemente 2.
Associamo ora il circuito corrispondente con le grandezze ricavate.
Ricordando che se l'impedenza Z è il rapporto tra V e I, I sarà chiaramente V/Z. Si applica quindi la KCL sostituendo le i con le relazioni caratteristiche degli elementi e si ottiene:
Per ricavare modulo e argomento invece: pag. 58 Elettrotecn
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