Appunti di elettrotecnica

Elettrotecnica

L’elettrotecnica è lo studio e la modellazione dei circuiti elettrici.

Circuito Elettrico:

Un circuito è una interconnessione di un numero arbitrario di elementi collegati da fili. Gli elementi sono accessibili attraverso terminari (o morsetti), e a seconda del numero di terminali, si parla di bipolo, tripolo, quadripolo ecc.

• Bipolo
• Tripolo
• Quadripolo

• I fili che collegano gli elementi sono conduttori “ideali”, ossia equipotenziali; in questo modo le variazioni di energia avvengono solo dentro gli elementi; si parla quindi di parametri concentrati.

Relazioni caratteristiche:

Ogni elemento è descritto da una relazione matematica che ne descrive il comportamento, detta relazione caratteristica, che dipende dalle variabili esterne:

1. tensione tra i terminali
2. corrente nei terminali

Nodo: Si chiama nodo un punto del circuito al quale sono connessi due o più elementi.

Maglia: Si chiama maglia (o percorso chiuso), una sequenza di nodi che inizia e termina nello stesso nodo, e in cui ogni nodo, tranne il primo, si incontra solo una volta.

Ramo: Per ramo si intende una disposizione in serie di elementi tra due nodi.

LEGGI DI KIRCHHOFF

I LEGGE DI KIRCHHOFF: La prima legge di Kirchhoff, detta anche legge delle correnti LKC afferma:

La somma algebrica delle correnti che entrano in un nodo è nulla:

_Σi_k = 0

Dove per algebrica s'intende il fatto che le correnti entranti sono positive, quelle uscenti negative.

II LEGGE DI KIRCHHOFF: La seconda legge di Kirchhoff, detta anche legge delle tensioni LKT afferma:

La somma algebrica delle tensioni lungo una maglia è nulla:

_Σv_k = 0

La I legge è conseguenza del bilancio di carica, la seconda del bilancio dell'energia.

E dove per algebrica si intende il fatto che le tensioni che aumentano lungo il percorso sono positive, quelle che diminuiscono negative.

POTENZA

Si consideri un bipolo A-B con V>0, sia Δq>0 una carica in un dato un tanto di tempo Δt passa da A a B, essa perde energia ΔU = ΔqV e la potenza P è l’energia passata nell'unità di tempo:

P = _ΔU/_Δt = τ i =

P = τ i

È detta potenza assorbita (o erogata) dal bipolo.

Quando P > 0 si parla di potenza assorbita dal bipolo, quando P < 0 si parla di potenza erogata dal bipolo, a seconda che i scorra da A a B oppure AB < 0.

GENERATORI INDIPENDENTI EQUIVALENTI

i) GENERATORI DI TENSIONE IN SERIE

N generatori connessi in serie sono equivalenti a un unico generatore di tensione:

v_eq = ∑v_k

ii) GENERATORI DI CORRENTE IN PARALLELO

N generatori di corrente in parallelo sono equivalenti a un unico generatore di corrente:

i_eq = ∑i_k

I casi di generatori di tensione in parallelo e di corrente in serie violerebbero le leggi di Kirchhoff.

PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE

Siano A e B due parti di un circuito connesso da conduttori ideali:

i)

Se è nota la tensione v tra i conduttori, la parte B, per lo studio di A, può essere sostituita da un generatore di tensione v_f facendo rimanere invariato il comportamento di A.

ii)

Se è nota la tensione campiono i non conduttori, la parte B, per lo studio di A, può essere sostituita da un generatore di corrente i_f facendo rimanere invariato il comportamento di A.

GENERATORI CONTROLLATI

I generatori controllati sono elementi circuitali che si possono distinguere in 4 tipi:

• Generatore di tensione controllato in corrente
• Generatore di tensione controllato in tensione
• Generatore di corrente controllato in tensione
• Generatore di corrente controllato in corrente

I generatori controllati possono erogare potenza, pertanto sono elementi attivi.

METODI PER DETERMINARE LA RESISTENZA EQUIVALENTE

Quando nella determinazione della resistenza equivalente di Thevenin e Norton vi sono generatori dipendenti, bisogna seguire diversi metodi.

Metodo del generatore arbitrario

Nella dimostrazione di Thevenin e Norton si è visto che una rete resistiva lineare, quando i gen. indipendenti sono spenti, è equivalente a una resistenza pertanto al bipolo si può applicare una corrente i_x = 1A dando una tensione v_x = ΔV e trovando R_x dopo aver spento i generatori indipendenti.

R_T e v_T si possono determinare simultaneamente chiudendo il bipolo con un gen. al cercato si arriva a:

v_T = v_T + R_ii_x

Il termine 0 si riporta in v_T + R_ii_x

Circuiti Stabili o Instabili

Un circuito del primo ordine si dice:

• Stabile se R_eq > 0, in questo caso la soluzione è asintotica per t → ∞ al valore al regime.
• Instabile se R_eq < 0, in questo caso la soluzione è divergente per t → ∞ e non ha senso parlare di risposta transitoria e permanente.

Circuiti del II Ordine

Un circuito del secondo ordine è un circuito in cui sono presenti un condensatore e un induttore, il loro comportamento è descritto da una EDO lineare del primo ordine.

Circuiti LRC in Evoluzione Libera

I due seguenti circuiti rappresentano i modelli più semplici di circuiti del secondo ordine.

Applicando Kirchoff per le tensioni al primo e poi le correnti al secondo si ottiene la EDO:

ẍ + 2αẋ + ω₀²x = 0

In cui:

• RLC serie: x = i, α = ^R/_2L, ω₀ = ¹/_√LC
• RLC parallelo: x = v, α = ¹/_2RC, ω₀ = ¹/_√LC

α è detto costante di smorzamento, ω₀ è la pulsazione di risonanza.

La soluzione generale di tale tipo di ODE dipende dallo frequenza naturale: soluzioni dell'equazione caratteristica:

S_1,2 = -α ± √(α² - ω₀²)

METODO ALLO MAGLIO CON TRASFORMAZIONI

In questo metodo, ciascun generatore di corrente in parallelo a una resistenza viene sostituito da un gen. tensione con resistenza in serie.Nel caso di gen. di corrente posti in serie con più resistori, essi vanno in parallelo con ciascuno di essi.

METODO AI NODI CON GENERATORI CONTROLLATI

Il metodo a nodi si applica normalmente ai circuiti con generatore controllato, considerando all’inizio come generatori ideali e poi aggiungendo le equazioni di vincolo che possono essere scritte non sotto ai generatori.

METODO ALLO MAGLIO CON GENERATORI CONTROLLATI

Similmente al metodo ai nodi, si considerano inizialmente i generatori come ideali e poi si aggiungono le equazioni di vincolo.

Analisi nodale in regime sinusoidale

L'analisi nodale si applica ai circuiti in regime sinusoidale allo stesso modo dei circuiti normali.

In un circuito RLC con solo generatori indipendenti di corrente, il sistema risolvendo è:

Yυ = I

Essendo Y la matrice delle ammettenze di nodo, υ il vettore delle tensioni ai nodi e I il vettore delle correnti ai nodi, il tutto nel dominio dei fasori.

• Quando sono presenti generatori indipendenti di tensione, si introduce come nuova variabile la corrente nel generatore di tensione e si [...]
• Quando sono presenti generatori controllati, li si considera alla stregua di gen. indipendenti e si aggiungono le relazioni costitutive opportune.

Analisi allo maglio in regime sinusoidale

L'analisi allo maglio è simile ma di esordio senza problemi in un circuito RLC con solo generatori indipendenti di tensione.

ZI = V

Essendo Z la matrice delle ammettenze di maglia, I il vettore delle correnti di maglia e V il vettore delle tensioni di maglia.

• Quando sono presenti generatori indipendenti di corrente, si introduce come nuova incognita la tensione sul generatore di corrente.
• Quando sono presenti generatori controllati, li si considera alla stregua di generatori indipendenti e si aggiungono le relazioni costitutive opportune.