Appunti di Elettrotecnica

Elettrotecnica

Componenti n-polo e bipolo

Componente elettrico n-polo terminale/polo/morsetto

Ci interessano le tensioni e le correnti relative ai morsetti nel bipolo:

• Va(t) → Tensione tra i morsetti
• ia(t) → Corrente entrante

Tensione e corrente

Tensione Va(t)

Corrente ia(t)

Versi coordinati

Pa(t) = Va(t) · ia(t) → Potenza (W) → Watt

(v) → Volt (A) → Ampere

Potenza entrante

Potenza uscente

Resistore ideale

v(t) = R · i(t)

Resistenza (Ω)

(Convenzione potenza passiva) v(t) = - R · i(t)

Proprietà: p(t) = v(t) · i(t) = R · i²(t)

• Se R > 0 la potenza entrante è sempre positiva
• Il resistore positivo è un componente dissipativo (trasferimento di energia verso il componente)

Se R

G = 1/R è detta conduttanza del resistore

i(t) = v(t)/R = G·v(t)

p(t) = v(t)·i(t) = i²(t)·G = v²(t)·G

Da v(t) = R·i(t) e i(t) = G·v(t) si ha che istante per istante, la forma d’onda della tensione segue quella della corrente; allora il resistore è un componente istantaneo (o senza memoria).

Induttore ideale

L = Induttanza (H) Henry

v(t) = L _{d i(t)}/_{d t}

i(t) = ₁/_L ∫^t_t₀ v(⍴) d⍴ + i(t₀)

L'induttore è un componente con memoria.

P(t) = v(t) · i(t) = L i(t) _{d i(t)}/_{d t}       può essere ≥ 0

• _{i ↓}t ⟶ P < 0
• _{i ↑}t ⟶ P > 0
• _i↓t ⟶ P > 0

A seconda del segno e dell'andare della corrente, l'induttore assorbe o cede energia. Quindi l'induttore è un componente reattivo.

Energia immagazzinata (E > 0)_{E = ∫ p(t) dt = ∫ Li(t) d i(t)/d t dt = L ∫ i di(t) = 1/2 Li² > 0}Joule

Nell'induttore la corrente è variabile di stato.

Es: _⟶t₁...t₂..._t₃E₁ = 0, E₂ > 0, E₃ = 0

In _{[t₂, t₃]} l'induttore assorbe dal circuito l'energia E₂

In _{[t₂, t₃]} l'induttore restituisce al circuito l'energia E₂

L’induttore è un componente senza perdite energetiche.

Condensatore ideale

Capacità (F)

i(t) = C dV(t)/dt

V(t) = 1/C ∫_t₀^t i(x)dx + V(t₀)

Il condensatore è un componente con memoria.

p(t) = V(t) · i(t); V(t) = C (dv(t)/dt)

A seconda del segno e dell'andamento della tensione il condensatore assorbe o cede potenza → Componente Reattivo

∫ p(t) dt = ∫ C v(t) (dv(t)/dt) dt = C ∫ v(t) dt = 1/2 Cv² ≥ 0

Nel condensatore V(t) è una variabile di stato.

Dualità

Confrontando le equazioni dell’induttore e del condensatore si notano delle analogie. Si dice che i due componenti sono duali.

i(t) = C dV(t)/dt

V(t) = L di(t)/dt

E = 1/2 C V²

E = 1/2 L i²

Tabella di Dualità

V ↔ I

L ↔ C

Generatore ideale di tensione

V_(t) = V_g^(t)

L'equazione di definizione stabilisce un andamento prefissato per la tensione V_(t). Tale tensione segue l'andamento V_g^(t), indipendentemente dalla corrente che percorre il componente, si dice che V_g^(t) è una grandezza impressa.

Connessione serie e parallelo

Connessione serie:

V_g1^(t) + V_g2^(t)

Connessione parallelo:

Connessione non valida se V_g1^(t) ≠ V_g2^(t). Il parallelo di più generatori ideali di corrente tensione (differente) non è una connessione valida poiché tensioni differenti sono applicate agli stessi morsetti.

La potenza P_(t) = V_g^(t)i^(t) è la potenza erogata in base alla scelta dei versi coordinati della tensione e della corrente. Il segno e il valore di P_(t) sono indeterminati, essendo indeterminato i^(t).

i = V_g/R

P_erogata = V_gi

Generatore ideale di corrente

i(t) = i_g(t)

i_g(t) - Corrente impressa

L'equazione di definizione stabilisce un andamento prefissato per la corrente i(t). Tale corrente segue l'andamento i_g(t) indipendentemente dalla tensione.

i_g(t) È una grandezza impressa.