Appunti di ecologia per le scienze biologiche, teoria ed esercizi

Precisione della stima della media

Per ciascuna stima della media campionaria, c'è una probabilità del 95% che si trovi all'interno dell'intervallo 10.149 e 11.851, cioè all'interno dell'intervallo di confidenza per il 95% dell'intera popolazione di medie campionarie.

Per il 95% di tutti i possibili valori di μ, conoscendo l'errore standard (SE) della popolazione, è possibile stimare per un singolo campione della popolazione (cioè una singola stima di μ) l'intervallo che ha una probabilità del 95% di includere la vera media.

Esempio, intervallo di confidenza di medie campionarie:

Osservazione: alcune lucertole sono più grandi di quelle che si trovano sulla Terra

Modello: le lucertole sono più grandi perché provengono da Marte

Ipotesi: la taglia media delle lucertole marziane è maggiore di quella attesa per un campione di lucertole terrestri

Ipotesi nulla: la

taglia media delle lucertole marziane è ≤ della taglia delle lucertole terrestri

Lucertole terrestri: μ = 300; σ² = 3000 ; lucertole marziane: = 360mm; nX́ = 595% intervallo di confidenza: n=Il 95% di tutti i possibili campioni di lucertole (con 5) hanno una lunghezza media tra 252 e 348.

Considerando l'intervallo di confidenza rifiutiamo l'ipotesi nulla: le lucertole di 360 mm hanno una bassa probabilità di essere terrestri.

Problema: l'applicazione della teoria sugli intervalli di confidenza è limitata dal fatto che presuppone la conoscenza della varianza σ², che invece generalmente noi non conosciamo. La soluzione a questo problema è data dalla distribuzione t di Student (Gosset, 1908).

t7. DISTRIBUZIONE DI STUDENT

La soluzione al problema scritto sopra consta della determinazione della frequenza di distribuzione di un numero t da utilizzare al posto di 1,96 (o ad altri valori della distribuzione normale

standard) quando la varianza non è nota, ma stimata. Si utilizza la distribuzione di frequenza di stime campionarie della varianza, calcolate per differenti taglie del campione (gradi di libertà).

Gradi di libertà = n-1 (con n = numero di repliche o numero di osservazioni)

All'aumentare di n, S fornisce una stima più precisa di σ².

In maniera analoga a quanto visto per la distribuzione normale standard (la distribuzione è stata tabulata (si conosce l'area sotto alla curva) ed è possibile individuare dei valori critici all'interno dei quali si trova una certa percentuale dell'intera distribuzione.

La distribuzione di è influenzata dalla taglia del campione: maggiore è la taglia del campione (n) e più vicina sarà la stima della varianza al valore reale (parametro di locazione) nella popolazione.

Quando la taglia del campione è molto grande (tende ad infinito), S stima

perfettamente σ et Z.la distribuzione di è uguale alla distribuzioneIn altre parole quando la taglia del campione è piccola si ha un ‘allargamento’ ed un‘appiattimento’ della curva.Per valori grandi di n, la statistica t segue una distribuzione campionaria prossima a quella diZ, cioé una distribuzione normale con μ=0 e σ=1:Esempio , distribuzione t di Student:Si ha un campione di 15 individui di una specie di lucertola. Dal campione, posso stimare la media e la varianza della lunghezza. tDa un solo campione è possibile valutare un intervallo compreso tra due valori di Z)(in maniera analoga a quanto visto per che ha una probabilità del 95% diμcontenere il valore medio della distribuzione di frequenza della variabile chestiamo misurando e che noi, generalmente, non possiamo conoscere in quanto è unparametro.Campionamento e stima della media di una variabile:Accuratezza e precisione sono in

funzione di 3 elementi:

1. Probabilità utilizzata per costruire l'intervallo di confidenza (influenza l'accuratezza): incrementando la probabilità utilizzata per costruire l'intervallo di confidenza (es: da 95% a 99%) ne aumenta l'ampiezza. Questo aumenta la probabilità che la media parametrica sia contenuta nell'intervallo di confidenza, ma ne diminuisce l'accuratezza: un intervallo molto ampio è poco informativo riguardo a dove si collochi la media parametrica.

2. Taglia del campione (n) (influenza accuratezza e precisione): la precisione dell'estima della media aumenta all'aumentare di n. μ = e σ = 2. Supponiamo di campionare da una distribuzione di frequenza con 100 1200 per 30 volte per ciascuna di 5 differenti taglie del campione (riportate sull'asse x). L'errore standard, per motivi matematici al denominatore, diminuisce all'aumentare di (n) della taglia del campione.

Dal grafico a, è evidente

Parametri comunemente stimati in studi ecologici e statistiche campionarie (X è il valore dell'i-esimo campione ed n è il numero totale di campioni):

t8. -TEST e CONFRONTO TRA DUE POPOLAZIONI:

Test di ipotesi nulla e intervallo di confidenza t-test:

 L'intervallo di confidenza può essere usato per il test di ipotesi nulla: con dei passaggi, si conclude che un valore osservato di ( ) ha una probabilità del 95% di trovarsi all'interno dell'intervallo definito dai valori superiore ed inferiore di che sono noti in quanto tabulati. t > t

Possiamo quindi testare un'ipotesi nulla: questa sarà rifiutata quando il valore di è 0.05 < -to .0.05

Esempio, t-test:

Vogliamo testare l'ipotesi che il peso medio di uova per nido di una specie di uccello appartenente ad una certa popolazione sia uguale a quello osservato in popolazione fuori

Dall'Europa. Mediante un campione di 14 nidi possiamo stimare il peso medio e la varianza.

Dalla tavola della distribuzione della statistica t vediamo che i valori inferiore e superiore di con 13 gradi di libertà (corrispondenti a n-1 gradi di libertà) sono ±0.052.16. t Con i dati ottenuti dal campionamento possiamo calcolare un che in questo caso obs- tha un valore minore del . Rifiutiamo quindi l'ipotesi nulla e concludiamo che il 0.05 peso medio di uova per nido della popolazione in esame è differente da quello di altre popolazioni extra-Europee.

Esempio, t-test: μ)Sappiamo che la densità media di insetti in aree di controllo ha una media ( = 8 . Vogliamo valutare gli effetti di un insetticida in fase di sperimentazione. Si quantifica la densità degli insetti in 9 quadrati (n = 9) all'interno dell'area trattata con insetticida (un solo quadrato non fornirebbe una stima rappresentativa della distribuzione

popolazione dopo:

Osservazione: la sopravvivenza di una specie di patella diminuisce durante l'estate

Modello: la sopravvivenza diminuisce a causa di scarsa disponibilità di cibo

Ipotesi: il peso delle patelle diminuisce durante l'estate: μ > μ

inizio fine

Ipotesi nulla: il peso delle patelle aumenta o non cambia durante l'estate: μ ≤ μ fine

Utilizzando la differenza delle medie iniziali e finali (μ =μ ) si riconduce il

inizio-fine dtest ad una singola "popolazione".

Quale è il valore critico? T critico = 2,16

Avendo un probabilità inferiore a 0,05 rifiutiamo l'ipotesi nulla.

Comparazione Trattamento-Controllo:

Esempio, popolazione trattamento vs popolazione controllo:

Densità degli insetti in un'area trattata con un insetticida in fase di sperimentazione e in un'area di controllo.

Ipotesi nulla: μ = μ μ - μ = 0 trattamento controllo

trattamento controlloUtilizzando la differenza delle medie del trattamento e del controllo (μ trattamento-=μ ) si riconduce il test ad una singola “popolazione”.controllo dGradi di libertà = (n + n -2) trattamento controllo9. POTENZA DI UN TEST STATISTICO:Problema: nel momento in cui decidiamo di accettare o rifiutare l’ipotesi nulla (H ) possiamo0distinguere 4 ipotetici scenari:se H è vera: 0 prendiamo una decisione corretta quando la accettiamo;o commettiamo un errore se la rifiutiamo, questo errore è detto di tipo I (α) (0.05;o sebbene in maniera arbitraria, è controllato dallo sperimentatore) (vedi alla fi