Appunti di Costruzioni idrauliche

La laminazione ottimale

C Bintercluso tra l'onda entrante e quella uscente perché si manda a valle una portata che segue l'idrogramma in rosso, e si tratta della laminazione reale. Posso pensare ad una laminazione ottimale che mandi a valle l'intera portata finché questa risulta più piccola della portata Q* transitabile a valle, cioè da t1 fino a t2. A C Poi da t2 e t3, quando le portate sono maggiori di C BQ* vado ad invasare seguendo l'orizzontale, in modo tale da mandare a valle, istante per istante, una portata costante pari a Q*. Quello che succede dopo il tempo t3 non mi interessa più indicare quale curva seguire perché l'onda è già stata controllata. Nel caso di laminazione reale la portata uscente Q per effetto della laminazione raggiunge il valore di picco uQ = Q* solo per un istante, mentre nel caso di laminazione ottimale il valore massimo si mantiene costante u_max per un certo tempo finito. Quindi con laminazione ottimale o ideale.si intende la laminazione che si ottiene quando la portata uscente è costante durante la fase di colmo. (concetto astratto) Si può osservare che a parità di valore Q la laminazione ottimale richiede il minimo volume d'invaso: umax W < Wott non ott Un volume minore d'invaso a W non esiste perché appunto nella laminazione ottimale mando a valle il valore massimo possibile. Invece da un altro punto di vista, a parità di volume invasato disponibile W, è minimo il conseguente valore di Q ottenendo così il massimo effetto di laminazione: umax Q < Qumax ott umax non ott La laminazione ottimale o ideale è un concetto astratto che però può essere avvicinato agendo sulle luci di fondo sufficientemente ampie. Inoltre, una luce di fondo di dimensioni importanti è altresì necessaria per mantenere in uscita il valore massimo della portata per una durata finita. Per valori maggiori di portata, tuttavia, la luceinizia a funzionare a battente, diconseguenza si avrebbe un incremento notevole di portata. A questo punto si può intervenire sulle dimensioni della luce stessa attraverso organimobili come paratoie che si muovono verticalmente regolando l'apertura di scaricofondo, o paratoie a settore circolare che regola lo scarico di superficie. Diminuendo progressivamente la luce si conserva una portata uscente costante fino a quando inizia losvuotamento dell'invaso. In questo modo ci si avvicina alla situazione ideale di laminazione ottimale. L'evento critico è l'evento che muovendosi lungo una curva di possibilità climatica, cioè per eventi di pioggia aventi lo stesso tempo di ritorno, dà luogo al massimo effetto in termini di portata, ma che adesso lo voglio esprimere anche in termini di volume. Quindi utilizzeremo i concetti della laminazione ottimale per ricavare l'evento critico per il volume, cioè si deve cercare la durata.il modello matematico per calcolare la portata di pioggia netta in funzione del tempo e determino il volume di superamento della soglia di portata Q* per ogni evento. Successivamente, identifico l'evento con il volume di superamento più critico, che può essere il primo evento in termini di portata massima o il secondo evento in termini di volume di superamento della soglia Q*. Per trovare l'evento critico per il volume, posso procedere in due modi: 1. Metodo dei tentativi: prendo una curva climatica, estraggo l'intensità di pioggia e utilizzo il modello matematico per calcolare la portata di pioggia netta in funzione del tempo. Successivamente, determino il volume di superamento della soglia Q* per ogni evento e identifico l'evento con il volume di superamento più critico. 2. Metodo analitico: utilizzo la curva di possibilità climatica con il tempo di ritorno e la curva di intensità in funzione del tempo di ritorno. A partire da queste informazioni, costruisco la portata di pioggia netta in funzione del tempo utilizzando un modello matematico. Successivamente, determino il volume di superamento della soglia Q* per ogni evento e identifico l'evento con il volume di superamento più critico. In entrambi i casi, l'obiettivo è identificare l'evento che genera il massimo volume dell'idrogramma, ovvero il volume di superamento della soglia Q* che genera condizioni di pericolo a valle del serbatoio.unmodello matematico e trovo l'idrogramma. Successivamente per tentativi considerando varie duratetrovo l'evento critico.- Per via analitica, si utilizza in casi più semplici, e si agisce tramite la schematizzazione con modellielementari. Occorre esprimere la portata in funzione del tempo e della durata della pioggia q(t,θ) epoi calcolare il volume analiticamente.Determinazione dei volumi teorici di laminazione ottimalePer calcolare analiticamente il volume teorico di laminazione si possono utilizzare due metodi:• Evento critico - Metodo basato sulle sole pioggeÈ il modello più semplificato, che assume la portata in uscita è uguale alla portata di pioggia netta (q=p).Ipotizzando che la pioggia netta sia a intensità costante per tutta la durata θ generica:Quindi immaginando di avere ietogrammi di intensità costante i(t) durante tutto l'evento, allora l'intensità sarà pari al valore medio cheè dato dalla curva di possibilità climatica, φ è il coefficiente di deflusso (numero compreso tra 0 e 1 per il modello proporzionale percentuale), alla fine ottengo che la portata di pioggia netta può essere scritta come:

In tali condizioni di ietogramma netto di pioggia a intensità costante, il volume in entrata in un serbatoio risulta pari al volume di acqua piovuto (A·h) per il coefficiente di deflusso:

Poi tramite la laminazione ottimale, immaginiamo che il taglio avvenga ad una certa portata Q, il volume di portata che dobbiamo invasare per portare la portata in ingresso a quella di uscita pari al valore Q corrisponde al volume invasato W indicato in nero pari alla differenza del volume in entrata e di quello in uscita:

Si nota come questo volume dipenda dalla durata θ, infatti cambiando la durata cambia pure il volume da invasare. Quindi esprimendo matematicamente la condizione di massimo, ossia derivando tale differenza rispetto a θ,

si ricava la durata critica per l'invaso di laminazione θ*. Poi, di conseguenza, molto facilmente vado a sostituire θ* al posto di θ nella formula del volume invasato e mi ricavo il volume massimo d'invaso W:max. Posso pensare di procedere anche graficamente alla determinazione θ* e di W max. Considerando il volume d'invaso diviso l'area del bacino A, allora posso disegnare la curva di possibilità climatica (1), che poi moltiplicata per il coefficiente di deflusso ottengo la curva (2). Poi rappresento sul piano il comportamento Q * θ / A che è una retta uscente dall'origine perché quando θ = 0 la portata è nulla (3). W/A non è altro che la distanza in verticale tra la curva (2) e la curva (3), e vado a vedere qual è la massima posizione in cui c'è la massima distanza tra le due curve che mi rappresenta il massimo volume invasato diviso A e la durata che corrisponde alladurata critica.

• Evento critico - Metodo cinematico

È un modello più complicato, e si adottano delle ipotesi semplificate che sono:

• Ietogrammi netti di pioggia a intensità costante per tutta la durata dell'evento θ
• Curva aree-tempi lineare
• Svuotamento a portata costante pari a Q (laminazione ottimale)max

Consideriamo ora diversi ietogrammi di pioggia netta di durate differenti. Sappiamo che la portata uscente massima si avrà per un tempo θ=T e che il valore Cmassimo al colmo vale:

Però non è detto che una pioggia di durata T generi Canche il volume di laminazione massimo. Quindi limitiamo la ricerca agli eventi di durata θ≥T perché in generale la durata critica per l'invaso è Cmaggiore di T, in quanto all'aumentare di θ aumenta l'altezza h, quindi anche il volume, come facilmente Cdeducibile da una generica curva di possibilità climatica. Siccome cerchiamo di massimizzare

è l'intervallo di tempo T. La formula per calcolare il volume è quindi: Volume = (p * (θ - T)) + ((p * T) / 2) Dove p è la portata di pioggia netta, θ è la durata dell'evento di pioggia e T è il tempo in cui la portata raggiunge il suo massimo al colmo.È dato dal tempo T .cp·θ è il volume di pioggia che corrisponde al volume defluito se considero l'intera durata dell'evento, quindi: Però a noi non interessa il volume defluito ma il volume al disopra di una certa portata Q , cioè il volume invasato nel serbatoio di laminazione ottimale, che vale: Si calcola sempre come somma di area del rettangolo più l'area dei due triangoli. La base dei triangoli si ricava per similitudine: Sviluppo i calcoli: n-1 Esplicito ora p=a·ϕ·A·θ in quanto p dipende da θ: Imponiamo la condizione di massimo per il volume W andando a derivare tale espressione rispetto alla durata θ ed eguagliando a zero, per trovare così la durata critica che massimizza il volume. A questo punto conviene adimensionalizzare il risultato, quindi divido tutto per la portata critica sapendo che questa vale: Q =a·ϕ·A· T , allora ottengo: C

Moltiplico e divido l'ultimo elemento per T: A questo punto definisco le seguenti quantità adimensionali, pongo il rapporto tra il teta critico θ* e il tempo wT uguale a y, e il rapporto di laminazione tra Q e Q uguale a η (eta): c u C Posso riscrivere l'equazione come: Il valore della durata critica θ* che consente di stimare il volume massimo è ricavabile graficamente in funzione del rapporto di laminazione, del coefficiente n e del tempo di corrivazione T: c Fissato η e un certo n (curva in rosso), si ricava il valore di y(η), da cui si ricava poi la durata critica θ*. Si nota che tutte le curve si trovano nel semipiano positivo con y>1, questo significa che la durata critica moltiplicata per il volume sono sempre maggiori.