Appunti di "Computational Fluid Dynamics"

Le equazioni della fluidodinamica

Sia Ω ⊆ ℝ^d, con d = 2, 3, una regione all'interno della quale si muove un fluido. In descrizione del punto di vista euleriano considerò la velocità u(x; t): Ω × ℝ⁺ → ℝ^d per ogni punto x in Ω ed al variare del tempo; invece al punto di vista lagrangiano considerando la traiettoria delle particelle di una fissata particella di fluido, cioè si risolve il tempo t, per x_t i. e. si considerano le mappe lagrangiane X(t) = Χ(t; X) soluzioni di:

d/dt X(t; X) = u(X(t; t))

Derivate materiali

Date una funzione generica f : Ω × ℝ⁺ → ℝ si definisce le derivate materiale (o sostanziale o lagrangiane) come le derivate temporale di f valutata lungo la traiettoria X(t), i. e.:

D/Dt f(x; t) := d/dt f(X(t; x), t) = ∂f/∂t(x(t, t)) + dX(t; x)/dt · ▽f(x(t, t)) = ∂f/∂t + u · ▽f

Teorema di Reynolds (o del trasporto)

Sia u(x; t) : Ω × ℝ⁺ → ℝ^d un campo il moto euleriano, e sia le corrispondente mappe lagrangiane. Allora per la funzione differenziabile f : Ω × ℝ⁺ → ℝ le derivate temporali dell integrale sul volume di fluidi V_t = Χ(_t) si ha:

d/dt ∫_Vtf dV = ∫_Vt∂f/∂t + ∫_∂Vtf u · n

Conservazione della massa

Sia V = Ξ il volume di fluido di istante t = 0, allora il principio di conservazione della massa scritto per V_t = Ξ_t(V), considerato unaformo;alio è:

d/dt ∫_Ξtρ dV = 0 ⇔(per TDem Reynolds) ⇔ ∫_Ξt∂ρ/∂t + ∫_∂Ξtρ u · n dA = 0 ⇔(indefinimetà della V_t)

d/dt ∫_Ξtρ dV + ∫_∂Ξt ρ n dA = 0 ⇔(per TDem divergnze) ⇔ ∫_Ξt∂ρ/∂t + div(ρ u) = 0 ⇔ d/dt ∫_Ξt(∂ρ/∂t + div(ρ u))dV = 0

⇒ (sovrante di V_t) ∂ρ/∂t + ▽ · (ρ u) = 0 x∈Ω, ∀t ≥0

Equazione di continuità in forma conservativa dove ρ(x; t) definita le densità di masse ρ(x; t) : Ω × ℝ⁺ → ℝ.

Incompressibilità del fluido

• Un fluido si dice incomprensibile se il volume di una arbitrario regione V_t ⊆ Ω rim imperilisteo nel tempo.
• Se un fluido ≠ incomprensibile, si dice: ∫_Vt dV = cost(t) ∀t V = d/dt ∫_Ξt∫ ^{∂Ξ_t u · n dA = 0 ⇔(indefinmetà supernie V_t)}∫_Ξt∂/∂t + ∇_t=0 div u ⟼ ∫_Ξtdiv u = 0 ⇒ (cabirietà diaria) div u = 0 || ⇔ ▽·u = 0
• Dunque, l'equazione di continuità nel caso di fluido incomprensibile è la seguente:

Le equazioni della fluidodinamica (ripetizione)

Sia Ω ⊆ ℝ^d, con d = 2,3, una regione all'interno della quale si muove un fluido. De-scrizione dei punti: da un punto di vista euleriano considero le velocità u(X,t): Ω×ℝ⁺→ℝ^d per ogni punto X ∈ Ω ed al variare del tempo t, invece al punto di vista lagrangiano conside-ro la traiettoria delle particelle di un fluido, ossia si risolve nel tempo t, r = X(t, X), trovati le mappe lagrangiane di X: t↦X (t, X), soluzioni di: ṙ = u(r,t)X(t₀, X) = X

Derivate materiali (ripetizione)

1. Infatti, una funzione generica f : Ω×ℝ⁺→ℝ definisce le derivate materiali (o sostanziali o lagrangiane) come le derivate temporali di f valutate lungo le traiettorie X(t), cioè:

D df -- {f(X,t)}: = -- {f(X(t),t)} = -- + ∇f(X(t),t) · u̇(t) = -- + u · ∇f Dt dt ∂t ∂t

2. Teorema di Reynolds (di del trasporto). Sia u(X,t) : Ω×ℝ⁺→ℝ^d un campo di moto euleriano, f e le le corrispondenti mappe lagrangiane, allora per le funzioni differenziabile f: Ω×ℝ⁺→ℝ le derivate temporali dell'integrale sull'elemento di fluidi V_t = ΔE (V̇ ) si ha:

d -- ∫ f dV = ∫ --dt Vt Vt dt f | + ∫ f |u · û ∂Vt

Conservazione della massa (ripetizione)

Sia Vt =Σ il volume di fluido all'istante t=0, allora il principio di conservazione della massa scritto per Vt=ΔE(V), considerato indeformabile si ha:

d -- m≤ o <=> -- ∫ ρ(X,t) dV = 0 <=(x teorema Reynolds)⇒∫ ρ dV + ∫ ρ û · n dA = 0 <= &intendimento;ataindependtenente di Vdt Vt Vt ∂Vt t∫ ρ dV + ∫ · ρ u · n A = 0 <= &intendimento;ataindependentene di Vt a => ∃DV + ∫ ρ ûdV (< = ) Vt ∂Vt⇒ ρ = endrand di Vt ∂t ρ-- + ∇ · (ρ û) = 0 ∀X ∈ Ω, ∀t ≥ 0 p[ Equazione di continuità in forma conservativa ]dove ρ è definita la densità di massa ρ(X,t) : Ω×ℝ⁺→ℝ.

1. Un fluido si dice incomprimibile se il volume di una arbitraria regione Vt ⊆ Ω non cambia nel tempo.