Appunti di "Computational Fluid Dynamics"

Le equazioni della fluidodinamica

Sia Ω ⊆ ℝ^d, con d ≥ 3, una regione all'interno della quale si muove un fluido. Si desidera, dal punto di vista euleriano considerare la velocità u_i(x, t) : Ω × ℝ⁺ → ℝ³ per ogni punto x in Ω ed il verso di t sempre. Invece al punto di vista lagrangiano considera di un part'cole molti si fissa la particella di fluido in x si risorse il tempo t nel integrare la legge di mappa lagrangiana φ_t(x) = (x,t). X_deniono distanza di .

• (1) Data una fuezione genera di φ : Ω × ℝ → ℝ definisce le derivate materiali (o sotto zille o Lagrangiane) come le derivate temporali di f velocit peine le traiettoria x(t), cioè:
  • Df .
• (2) Peso Reynolds (e dei traposto), sia Zg₃(x, t) : Ω × ℝ → ℝⁿ un campo di moto ogni son un campio di trasporto untero eos la funzione effenzziale f .

Conservazione della massa

Sia V_t = X in V volume del fluido all' istante t = 0, allora il principio di conversione della massa rotto per V_t ⊆ Ω(t), considera indemoformibile r:

• T m_v = 0 e T = p(x, t)

Equazione di continuità in forma converse finita.

Un fluido si dice incomprensibile se volume di un arbitrario regione V_t ⊆ Ω non comrei nel tempo.

Molly un fluido è incomprensibile, si ha :

• V = const.

Comunque, l'equazione di continuitè nel caso da fluidi incomprimubinile; le sequienle

σ_t + ∇(σu) = 0, ∀ x ∈ Ω, ∀ ε > 0 ⇔ ∂σ/∂t + ∇ xu^T(ρu).u = 0

div[ dχ(x,t)Dt] - λ(y,j) = 0

&surd; ∇u = 0

D/Dt[ρ(x,t)] = ∅ ⇔ ∂ρ/∂t = 0

Le moltip = Rid( t,i ) có. i = có il flusso è immediato ovunque, oltre ad essere incomprimibile; allora

essendo ∇u = 0 e ∂ρ/(t, t)0 = 0 ⇔ dunque il flusso rimane omogeneo anche V > 0.

Conservazione delle quantita di moto

Sia un generico volume; il flusso V_t = deleg(V) si distinguono: (ii) le forze di volume, che inc

dichiariamo per unit di massa se fn: Ω x R^l → R^l, la cui risultante in V_t è {'result':'F = '}

)∫ fdv. (ii) le forze di superficie, che sono esprimibili in funzione dello sforzo: τS:

R^l x R^r, ni V_t è internamente continuato nella misura fluido, dipendente dall'interazione

col fluido circostante.

Principio di Cauchy:

Esiste un campo di forze τ: Ωx R^l x s → R^d dove s|τm ∈ R^d/mat:

L'interno dei versori normali, tale che le forze t'è sempre esprimibile in funzione di τ:

τ(χ,t) = τ(χ, t, μ)

mv) Cauchy:

Se il campo di sforzi τ è una funzione continua rispetto a n e differenziabile v

rispetto a v, allora esiste un campo degli sforzi : Ωx R^k, detto di L. reggae tale che:

τ(χ, t) = B(χ, t, μ, v)⋅ μ

9. Il principio delle dinamica afferma che le variazioni delle quantita di moto di un sistema

'è uguale alle forze esercitate su di esso, dunque per V_t in piu scrivere:

dtm(μ)≡∫ fdv ⇔ df = dt

)(∫ fdv)+∫ ∑_t ni dA + ∫ ∑_n dA = ∫ (τ then) Reynolds

≡ ∂σ('pni')A), + ∫ ∑_n Tsni dA ≡

∑_n -∑^v ni dA = ∫ pu v-K ni dA ; -σ le componente contennt e ≡ ∫ ∂∑ pμA)+∫ pgni A)dA;

≡ j2d|∑ -CJt)ndA = OH

≡ labo.!) + fp μ(x') = |d'∑(pni.A) + div(pu v-K ni -&sum) = (pμ)x

≡ quindi, tenendo alle forze ne

sola, indicando i prodotti (∫) ove ∑_t+1e(bχ / f) &ensuremathh;

d – &product; "prodotto drutto o diò - - L — prodotto tross′

→∫∂μ/∂t + div(∂μχo — σ) ' = p ∀ Y ∈ Ω, ∀εÑ Exhibit -

• Equazione di conservazione delle quantita di moto in forme con conservatrice.
• (pμ sales. ^T/≡ ∫
• ∂(σ generated

• , mi∑≡∂x.

Riducendo il 1 termine

sol. 1) ≡ ∂σ p(v o = 0c- 化>=01, si

≡ (M) ≡. ∫ ∫.1)/ ≡

≡,

ojO ∫. K]al K], τ(/r κ) Nostro the - equ

≡ t od| kijudiriza oami(, 'singe)

Vpn. /tlk', - T가는

form vectoriale c’é div (pσ /è or ≡ sol:g.e;.

≡ si ottiene l’ equa.

Condizione sup-inf

Trovare u̅ ∈ [H₀¹(Ω)]³ t.c. n.̅ = q̅ su Γ₀ e p ∈ L₀²(Ω) t.c.

a(u̅, v̅) + b(v̅, p) = ℓ_n(v̅) + f_v, ∀v̅ ∈ V = [H₀¹(Ω)]³

b(u̅, q) = 0, ∀q ∈ L²(Ω)

1) La forma bilineare a(u̅, v̅) è continua. Infatti

|a(v̅, v̅)| ≤ C₁ ||v̅ ||₁ ||v̅||₁

L_h(v̅, p)| ≤ ||v̅||_1,0 ||p||₀ ≤ c ||v̅||₁ ||p||₀, ∀v̅ ∈ V, p ∈ M

2) La forma bilineare a(v̅, v̅) è coerciva. Infatti

a(v̅, v̅) ≥ c ||v̅ ||²₁ ∀v̅ ∈ V = [H₀¹(Ω)]³

∫_Ω ^hom ≤ 1 + _hom ^v̅ dt = a

3) La forma bilineare b(v̅, p) è continua. Infatti

|b(v̅, p)| ≤ C₂ ||∇ v̅ ||₀ ||p||₀

4) Si dimenisce condizioni inf-sup le seguenti condizini

|β| ≤ const.

Sia Spazi: V₀ = [H₀¹(Ω)]³ e Q = L₀²(Ω), le forme bilineari b(v̅, p) soddisfa la condizione inf-sup

β ||u̅ ||₁ + ||p||₀

5) Se il problema è fully Dirichlet, ovvero Γ = ∂Ω = Γ

Condizione di compatibilità si ha b(*,*).

- Approssimazione agli elementi finiti

Sia τ_n una "n" maglie di calcolo che rappresenta il ricoprimento.

scalare dello spazio U_h, di dimensione N_P = dim(U_h). Così le incognite possono essere scritte

come:

ū_N(x) = Σ_i=1^N_P