Appunti di Circuiti Elettrici

SCHEMA DI CALCOLO:

Possiamo, per ricordare e comprendere meglio, sviluppare i calcoli per ottenere:

= +

1 11 1 12 2

= +

2 21 1 22 2

Per calcolare i vari parametri si considerano a blocchi di due:

1

= quando = 0

11 2

1

2

= quando = 0

21 2

1

2

= quando = 0

22 1

2

1

= quando = 0

12 1

2 124

Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

Quelle appena rappresentate sono a tutti gli effetti delle funzioni di rete.

(Si ricorda che queste configurazioni, per convenzione, si rappresentano con versi di riferimento associati sulle due

porte).

Matrice delle ammettenze []

Si tratta del duale della matrice delle ammettenze.

Si ripete lo stesso ragionamento fatto sopra ma sfruttando Norton.

11 12

1 1

[ ] = [ ] [ ]

21 22

2 2

(ammettenza di ingresso alla porta 1) e (ammettenza di trasferimento dalla 1 alla 2) si calcolano dal circuito

- 11 21

(a). (ammettenza di ingresso alla porta 2) e (ammettenza di trasferimento dalla 2 alla 1) si calcolano dal circuito

- 22 12

(b). 1

Poiché vale , si ha che la matrice Z è l’inversa di Y e viceversa.

=

Matrice ibrida 1 [H]

Possiamo pensare di mischiare tensioni e correnti. Anzi che avere tutte le tensioni a sinistra e le correnti a destra o

viceversa, si mischiano tensioni e correnti e otteniamo una matrice ibrida che lega tensioni e correnti.

I termini della matrice non hanno tutti la stessa unità di misura: alcune ammettenze, alcune impedenze, altri sono

numeri puri. ℎ ℎ

1 11 12 1

[ ] = [ ][ ]

ℎ ℎ

2 2

21 22

(impedenza di ingresso alla porta 1) e (rapporto di trasferimento in corrente) si calcolano dal circuito (a).

ℎ ℎ

- 11 21

(ammettenza di ingresso alla porta 2) e (rapporto di trasferimento in tensione) si calcolano dal circuito (b).

ℎ ℎ

- 22 12

SCHEMA DI CALCOLO:

Anche in questo caso scriviamo in forma algebrica le espressioni che ricaviamo dalla forma matriciale e, come prima,

consideriamo a coppie i termini ℎ.

In questo caso abbiamo a che fare con impedenze e ammettenze in ingresso e rapporti di trasferimento in tensione e in

corrente.

Matrice ibrida 2 [H’] ′ ′

ℎ ℎ

1 11 12 1

[ ] = [ ][ ]

′ ′

ℎ ℎ

2 2

21 22

(ammettenza di ingresso alla porta 1) e (rapporto di trasferimento in tensione):

′

ℎ’ ℎ

- 11 21 125

Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

(impedenza di ingresso alla porta 2) e (rapporto di trasferimento in corrente):

′ ′

ℎ ℎ

- 22 12

1

In questo caso vale .

′

=

Matrice di trasmissione diretta [T]

Storicamente gli elementi della matrice T vengono chiamati A, B, C, D.

1 2

[ ] = [ ][ ]

−

1 2

Non è possibile imporre corrente e tensione alla stessa porta.

Il calcolo dei parametri è più complicato, servono 4 circuiti! → noi lo saltiamo.

Matrice di trasmissione inversa [T’] ′ ′

2 1

[ ] =[ ][ ]

′ ′

−

2 1

Poco usata, stesso discorso visto per la matrice T.

Proprietà:

֎ Gli elementi delle matrici sono funzioni di rete.

֎ È possibile passare da una rappresentazione all’altra, es.

֎ Si noti che non sempre esistono tutte le 6 rappresentazioni. 1 0

1

Es. trasformatore ideale: []

= = − ⇒ = [ ]

2 1 2 1

0

Il trasformatore ideale è un doppio bipolo intrinseco e quindi non dobbiamo per forza passare dal calcolo per ricavare

la matrice.

Ma non esistono le matrici [Z] e [Y]!!

Ad esempio non esiste Y nel caso in cui Z non sia invertibile.

Modelli circuitali equivalenti – cenni

Matrice [Z]:

= +

1 11 1 12 2

= +

2 21 1 22 2

La conoscenza dei 4 coefficienti z equivale alla conoscenza del doppio bipolo equivalente rappresentato in figura, in

quanto ha le stesse relazioni caratteristiche del doppio bipolo con quella matrice Z.

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Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

Matrice [Y]: NO

= +

1 11 1 12 2

= +

2 21 1 22 2

Matrice [H]: NO

= ℎ + ℎ

1 11 1 12 2

= ℎ + ℎ

2 21 1 22 2

Matrice [T]: NO

= −

1 2 2

1

= −

2 2 1

Doppi bipoli con terminazioni – cenni

Ipotizziamo di avere un generatore di corrente , un carico e un doppio bipolo in mezzo.

1

Conosciamo la matrice Z.

Possiamo staccare il doppio bipolo per attaccare il suo equivalente, per provare a risolvere un circuito potenzi almente

più semplice.

Si chiudono le due porte con due bipoli:

 Si usa una rappresentazione e si ricavano correnti e tensioni di porta.

Es. si usa la matrice [Z], quindi si calcola l’impedenza di ingresso.

 Prima relazione caratteristica: = +

1 11 1 12 2

 Dalla LKT alla porta 2:

12 21 1

= −

2 +

22

 Sostituendo si ha:

12 21 1 1 12 21

= − ⇒ = = −

1 11 1 11

+ +

22 1 22

Esempio di calcolo di funzione di rete

2

=

LKT alla maglia di ingresso: = +

1 1

Partitore di tensione alla porta 2:

=

2 21 1 +

22

Si ricava dalla prima:

1

21 21

= =

( )( ) ( )( )

+ + + + −

22 22 11 12 21

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Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

Reciprocità – non fare

In generale, un sistema fisico è reciproco se invertendo ingresso e uscita la risposta non cambia.

Un circuito è reciproco: se le impedenze e le ammettenze di trasferimento non cambiano scambiando la posizione del

generatore con quella dell’uscita.

A sinistra uguale nei due scenari, a destra uguale nei due scenari.

Condizione di reciprocità per doppi bipoli

[Z] e [Y] simmetriche, [H] e [H’] antisimmetriche:

Matrice [Z]: .

➢ =

12 21

Matrice [Y]: .

➢ =

12 21

Matrice [H]: .

➢ ℎ = −ℎ

12 21

Matrice [T]:

➢ = 1.

Si può dimostrare che i circuiti costituiti da resistori, induttori, condensatori, trasformatori ideali e induttori accoppiat i

sono reciproci.

!!!I circuiti con generatori controllati possono essere non reciproci!!!

→ → Si tratta di un concetto da applicare con attenzione

Doppio bipolo terminato da generatore di corrente e

resistore (a):

Applicazione errata del concetto di reciprocità (b, sopra).

- Applicazione corretta del concetto di reciprocità (c, sopra).

-

La reciprocità si applica solo ad impedenze ed ammettenze di trasferimento (a, sotto), non ai rapporti di trasferimento

(b, sotto). Interconnessioni

Si tratta dell’estensione dei concetti di serie e parallelo ai doppi bipoli.

Connessione serie-serie [Z]

Le porte 1 dei due doppi bipoli sono in serie, e così le porte 2.

Quello circondato in azzurro è il doppio bipolo complessivo.

→ Estensione del concetto di serie al caso bi-porta:

Si sommano le tensioni di porta.

o Le correnti di porta sono uguali.

o

1 1 1 1 1 1

[ ] = [ ] + [ ] [ ] = [ ] = [ ]

2 2 2 2 2 2

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Matilde Simonini Ingegneria Informatica anno 2021/2022

Sfruttando la rappresentazione [Z] (se esiste) si ha che la matrice [Z] complessiva è la somma delle matrici [Z] dei

singoli doppi bipoli:

1 1 1 1

[ ] [ ] [] [] [ ] [ ]

[ ] = [ ] + [ ] = [ ] ⇒ = +

2 2 2 2

Connessione parallelo-parallelo [Y]

Le porte 1 dei due doppi bipoli sono in parallelo, e così le porte 2.

→ Estensione del concetto di parallelo al caso bi-porta.

• Si sommano le correnti di porta.

• Le tensioni di porta sono uguali.

1 1 1 1 1 1

[ ] = [ ] + [ ] [ ] = [ ] = [ ]

2 2 2 2 2 2

Sfruttando la rappresentazione [Y] (se esiste) si ha che la matrice complessiva è la somma delle matrici [Y] dei singoli

doppi bipoli:

1 1 1 1

[ ] [ ] [] [] [ ] [ ]

[ ] = [ ] + [ ] = [ ] ⇒ = +

2 2 2 2

Connessione serie-parallelo [H]

Le porte 1 dei doppi bipoli sono in serie, le porte 2 sono in parallelo.

È un caso ibrido, che si trova solo nel caso bi-porta:

1 1 1 1 1 1

[ ] = [ ] + [ ] [ ] = [ ] = [ ]

2 2 2 2 2 2

Sfruttando la rappresentazione [H] (se esiste) si ha che la matrice [H] complessiva è la somma delle matrici [H] dei

singoli doppi bipoli:

1 1 1 1

[ ] [ ] [] [] [ ] [ ]

[ ] = [ ] + [ ] = [ ] ⇒ = +

2 2 2 2

Connessione parallelo-serie [H’]

Le due porte 1 sono in parallelo, le porte 2 sono in serie.

È un caso ibrido, che si trova solo nel caso bi-porta:

1 1 1 1 1 1

[ ] = [ ] + [ ] [ ] = [ ] = [ ]

2 2 2 2 2 2

Sfruttando la rappresentazione [H’] (se esiste) si ha che la matrice [H’]

complessiva è la somma delle matrici [H’] dei singoli doppi bipoli:

1 1 1 1

′ ′ ′ ′ ′

[ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ]

[ ] = [ ] + [ ] = [ ] ⇒ = +

2 2 2 2

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