Appunti di Circuiti Elettrici

Matilde Simonini ingegneria informatica anno 2021/2022

Introduzione

I circuiti elettrici sono costituiti dall’interconnessione di semplici dispositivi che chiameremo elementi. Per descrivere il comportamento degli elementi verranno utilizzate due variabili: corrente e tensione e da esse deriva una terza variabile, la potenza.

Circuiti a parametri concentrati

È necessario distinguere elettrico da elettronico. Con il primo termine si fa riferimento alla trasmissione dell’energia, mentre con il secondo termine è associato alla trasmissione dell’informazione. In realtà le tecniche di analisi dei circuiti elettrici ed elettronici risultano essere le stesse. I circuiti elettrici sono un caso particolare di un sistema elettromagnetico.

I circuiti a parametri concentrati sono caratterizzati dal fatto che i fenomeni legati alla propagazione ondosa sono trascurabili (trascuriamo tutto ciò che riguarda la propagazione delle onde elettromagnetiche):

• Caso generale, dalle equazioni di Maxwell: i(𝑥,𝑡) = 𝐼₀ sin [𝜔(𝑡−𝑥/𝑣)], dove 𝑖 è la corrente in funzione dello spazio e del tempo, 𝜔 è la pulsazione, 𝑣 è la velocità della luce.
• Ritardo di propagazione delle onde trascurabile rispetto al periodo: Δt ≪ T → 𝑙 ≪ λ. Si ricorda che la lunghezza d’onda è data da λ = 𝑣/𝑓.

Le dimensioni del circuito trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda! In generale, se si ipotizza di avere un componente, ossia un dipolo, si ha che la corrente è una funzione del tempo e dello spazio e ha l’andamento descritto sopra. Dove 𝑡 è il tempo e 𝑥 è lo spazio.

Si considera il componente (il rettangolo nell’immagine) di lunghezza 𝑙. Se si va a disegnare la forma dell’onda in funzione del tempo si ottiene l’immagine a sinistra. Se si disegna la corrente nello stesso istante di tempo ma traslata di 𝑙 si ottiene un’altra sinusoide ma traslata nel tempo, con una traslazione del tempo data da 𝛥𝑡.

Otteniamo quindi, per due coordinate diverse, un andamento temporale diverso e quindi due valori diversi di corrente e questo è dovuto dal fatto che abbiamo a che fare con un’onda elettromagnetica che si propaga.

Se ora la traslazione nel tempo è molto minore del periodo (ossia se 𝛥𝑡 è trascurabile) allora i fenomeni ondosi sono trascurabili e le due onde sono sostanzialmente sovrapposte. Questo è quello che accade in un dipolo dove la corrente in entrata è uguale (in maniera approssimata) alla corrente che esce.

Quindi, un circuito elettrico è detto a parametri concentrati (o a costanti concentrate) se è costituito da dispositivi "abbastanza piccoli" rispetto alla minima lunghezza d'onda di una qualsiasi grandezza elettrica misurata su di essi. In questo caso è possibile trascurare i tempi di propagazione dei segnali e le grandezze elettriche fondamentali, tensione e corrente, risultano ben definite in ogni istante per ogni punto del circuito.

Questa approssimazione viene fatta preferibilmente nello spazio e non nel tempo. Si ha che 𝛥𝑡𝑣 ≪ 𝑙 dove 𝑣 corrisponde alla velocità della luce. Si sa che la frequenza corrisponde all’inverso del periodo e inoltre la lunghezza d’onda risulta essere il rapporto fra la velocità della luce e la frequenza.

Quello che è possibile fare è che si può fare una sostituzione: 𝑙 ≪ λ.

Esempio

• Rete elettrica: 𝑓 = 50 Hz, λ = 6000 km → parametri concentrati.
  • Calcoli: λ = (3×10⁸ m/s) / 50 Hz = 6000 km.
• Radio: 𝑓 = 100 MHz, λ = 3m:
  • Circuito stampato parametri concentrati.
  • Cavo coassiale lungo 2 m: siamo al limite dell’approssimazione.
• Wi-Fi: 𝑓 = 2.44 GHz, λ = 12 cm:
  • Circuito stampato: siamo al limite dell’approssimazione.
  • Cavo coassiale lungo 2 m parametri distribuiti.
  • Calcoli: λ = (3×10⁸ m/s) / 2.44×10⁹ Hz = 12 cm.

Nella realtà bisogna sempre confrontare le dimensioni del circuito con la lunghezza d’onda.

Circuito (rete) elettrico (elettrica) a parametri concentrati

Non interessa distinguere circuiti elettrici da elettronici, finché siamo in parametri concentrati, in quanto le tecniche per analizzarli sono le stesse. Interconnessione di componenti collegati da conduttori ideali.

• I componenti sono scatole nere accessibili solo attraverso i terminali.
• Quello che succede al loro interno non interessa.

I conduttori sono ideali:

• Una corrente costante (nello spazio, non nel tempo) scorre in ogni conduttore.
• I fili sono equipotenziali (= ad ogni punto del conduttore il potenziale è lo stesso).
• Questo significa che se viene calcolata la tensione fra il punto 𝑎 e il punto 𝑏 e fra il punto 𝑐 e il punto 𝑑, queste coincideranno: 𝑣(𝑎) - 𝑣(𝑏) = 𝑣(𝑐) - 𝑣(𝑑), perché il potenziale nel punto 𝑎 è uguale a quello nel punto 𝑏, stessa cosa vale per la coppia 𝑐 e 𝑑.

Gli scambi energetici avvengono solo all’interno dei componenti.

Conduttore ideale = un conduttore ideale ha resistenza nulla e quindi le cariche possono muoversi senza la necessità di un campo elettrico. È come far muovere un sasso su un piano orizzontale privo di attrito... una volta lanciato, si muove per sempre senza necessità di spingerlo.

Essendo i fili equipotenziali, le variazioni di energia avvengono solo all’interno degli elementi. Per questo motivo i circuiti che soddisfano le ipotesi appena enunciate vengono detti concentrati. Le ipotesi di lavoro cadono se il circuito è a parametri distribuiti. Questo accade nel caso in cui 𝑙 ≈ λ.

In circuiti a parametri concentrati la topologia del circuito è l’unica cosa che conta: le interconnessioni nell’immagine sopra sono le stesse. I componenti sono scatole nere con comportamento esterno dato dalle relazioni caratteristiche (relazioni costitutive) dei componenti, i quali possono essere classificati in base al numero di terminali:

• Le equazioni caratteristiche sono tali per cui mettono in relazione tensioni e correnti per ogni componente.
• Il numero di equazioni necessarie per descrivere un componente dipende dal numero di terminali (𝑛): 𝑛 - 1 equazioni (questo fatto verrà visto nello specifico in seguito).
• Il comportamento degli elementi verrà descritto utilizzando esclusivamente variabili esterne:
  • tensione fra i terminali
  • correnti che scorrono nei terminali

Analisi di un circuito = determinare una o più grandezze (tensioni o correnti), assegnata la topologia e le relazioni caratteristiche degli elementi.

Sintesi di un circuito = determinare la topologia e le caratteristiche degli elementi, in modo tale da avere le tensioni o le correnti desiderate. In questo corso vedremo quasi sempre circuiti composti da bipoli le cui proprietà sono facilmente estendibili a N-poli generici.

Corrente

La carica si misura in coulomb [C]. 𝑞 Il coulomb è una unità di misura molto grande: essa corrisponde a circa 6.24 × 10¹⁸ elettroni.

Principio di conservazione della carica

La quantità di carica in un volume delimitato da una superficie chiusa è costante (parametri concentrati), ossia la carica elettrica non si crea né si distrugge: può solo essere spostata. Nei metalli le cariche libere di muoversi, i portatori liberi sono elettroni, ossia cariche negative. Nei gas e nelle soluzioni elettrolitiche le cariche mobili possono essere negative o positive.

Le cariche in movimento creano una corrente. Convenzione: si considera il movimento delle cariche positive e quindi se le cariche libere sono positive allora la freccia che indica la corrente indica la stessa direzione di movimento delle cariche, mentre in caso di cariche negative viene indicato il verso opposto di movimento. La corrente è il flusso delle cariche positive per unità di tempo. Si misura in ampere [A] = C/s. Se la carica attraversa la sezione trasversale del filo nell'intervallo di tempo 𝛥𝑡, diciamo che la corrente nel filo è 𝑖 = 𝛥𝑞/𝛥𝑡.

La corrente è costante (spazialmente) lungo i conduttori ideali infatti se si calcola in una sezione piuttosto che in un’altra si ritrova la stessa corrente. Poiché il flusso delle cariche può cambiare nel tempo, una definizione più rigorosa si ottiene con il limite: 𝑖(𝑡) = lim (𝛥𝑞/𝛥𝑡) = d𝑞/d𝑡.

Valori tipici di corrente

• In un circuito integrato: 1 nA ÷ 1 μA
• Avvertiti da un essere umano: > 1 mA
• In un impianto elettrico: 1 ÷ 20 A

Il verso di riferimento della corrente si indica con una freccia sul conduttore ed è totalmente arbitrario. Se calcolando la corrente si ottiene un valore numerico negativo, essa scorre nel verso opposto a quello scelto come riferimento.

• 𝑖 > 0: il verso effettivo coincide con quello di riferimento (a).
• 𝑖 < 0: il verso effettivo è opposto a quello di riferimento (b).

Tensione

Ad ogni carica è associata un'energia (energia potenziale), come ad una massa in un campo gravitazionale. 𝑞 𝑤 Viene chiamato potenziale elettrico il rapporto fra l’energia (associata alla carica) per unità di carica. Se la carica si sposta la sua energia cambia, come succede per una massa in un campo gravitazionale. Tensione (voltage) = variazione di energia per unità di carica 𝑣 = 𝛥𝑤/𝛥𝑞. La tensione si associa a due punti, non si riferisce ad un singolo terminale: 𝛥𝑉(𝑎) - 𝑉(𝑏) = 𝑣(𝑎,𝑏) = 𝑤/𝑞. Si misura in volt [V] = J/C. Non dipende dal percorso. In generale si ha 𝑣 = 𝑤/𝑞.

Valori tipici di tensione

• Ai morsetti di un’antenna radio in ricezione: 100 nV ÷ 10 μV
• Nella batteria di un’automobile: 12 V
• Nelle linee ad alta tensione: 100 kV

Polarità di riferimento

Con il termine si riferisce al verso di riferimento della tensione. Si indica con una coppia di segni + e - ed è totalmente arbitraria. I segni stanno ad indicare l’elemento a potenziale più alto o più basso.

• 𝑣 > 0: la polarità effettiva coincide con quella di riferimento (a). In questo caso vuol dire che la carica, nello spostamento perde energia della misura di 5V (per costruzione della formula).
• 𝑣 < 0: la polarità effettiva è opposta a quella di riferimento (b).

Segnali di tensione e corrente

Tensione e corrente sono in generale funzioni del tempo. Ci sono due casi notevoli:

• DC (Direct Current) = Corrente continua.
• AC (Alternating Current) = Corrente alternata.

Si noti che corrente continua non indica una funzione continua, fa solo riferimento al fatto che la corrente è costante. Con AC si fa riferimento ad una funzione periodica e in particolare ad una sinusoide, il cui classico esempio è rappresentato da una rete elettrica. Altre forme di tensione e corrente sono visibili nelle immagini (b) e (c), che raffigurano rispettivamente un’esponenziale e un’onda quadra.

Concetti di teoria dei circuiti

Per circuito elettrico intendiamo l'interconnessione di un numero arbitrario di elementi collegati per mezzo di fili. Gli elementi sono accessibili attraverso terminali (detti anche morsetti).

Concetti chiave

• Concetto di ramo = entità che rappresenta un singolo bipolo, concetto che si può estendere nel caso di multipoli, infatti un N-polo può essere visto come unione di N-1 bipoli, ossia N-1 rami.
• Concetto di nodo = un punto al quale sono connessi due o più componenti (rami). Il conteggio dei nodi non è univoco.
• Concetto di sequenza chiusa di nodi = sequenza che inizia e termina nello stesso nodo e in cui ogni nodo, tranne il primo, si incontra una sola volta. A una sequenza di nodi si può anche associare un percorso anche se non è necessario. (Es. I rami sono 8; i nodi sono 6. Una sequenza chiusa di nodi è a-b-c-d-a).
• Un circuito è connesso se esiste almeno un cammino nel circuito stesso che connette qualunque coppia di nodi.
• Un circuito è planare se può essere disegnato su un piano senza nessuna intersezione tra i fili che non sia un nodo. Fig. a, b = circuito planare, fig. c = circuito non planare.

La maglia

Dato un circuito planare, la maglia è un qualunque percorso chiuso nel circuito che non contiene componenti interi. Ad ogni maglia corrisponde una sequenza chiusa di nodi:

• Es. 2-5-7-4, 3-6-8-5, 1-2-3 sono maglie.
• Es. 4-2-3-6-8-7 non è una maglia.

Proprietà: un circuito planare e connesso con nodi 𝑛 e composto da bipoli ha 𝑚 maglie (es. in figura 𝑛 = 8, 𝑚 = 3 = 8 - 6 + 1). La proprietà appena enunciata vale per qualunque circuito. NB: l’unione di due o più maglie non identifica più una maglia.

Tensione di nodo e di ramo

Si sceglie un nodo di riferimento (scelta arbitraria). La tensione di nodo corrisponde alla tensione di ogni nodo rispetto al riferimento scelto: 𝑉(𝑛odo) = 𝑉(𝑛odo) - 𝑉(riferimento).

Poiché il potenziale ha senso solo se riferito ad un potenziale di riferimento, anziché prendere il potenziale terrestre, uno dei nodi viene assunto come nodo di riferimento ed il suo potenziale diviene il potenziale di riferimento (cioè lo zero del potenziale). Il riferimento non si indica, è implicito!

La tensione su ogni ramo può essere espressa come differenza tra le tensioni di nodo relative ai nodi a cui è connesso: 𝑉(𝑟amo) = 𝑉(𝑎) - 𝑉(𝑏). Che sarebbe, secondo quanto appena detto: 𝑉(𝑟amo) = 𝑉(𝑎) - 𝑉(𝑏), 𝑉(𝑎,𝑏).

NB: se si cambia riferimento si cambiano anche le tensioni di nodo, quello che non cambia sono le tensioni di ramo. Per dimostrare quanto appena detto si sfrutta la LKT: LKT: 𝑉(𝑎) - 𝑉(𝑏) + 𝑉(𝑐) = 0 → 𝑉(𝑎) = 𝑉(𝑏) - 𝑉(𝑐).

Leggi di Kirchhoff

Legge di Kirchhoff delle correnti (LKC)

Deriva dal principio di conservazione delle cariche e si può enunciare in due modi. La somma algebrica delle correnti che entrano/escono in una superficie chiusa è nulla. Analogamente si può affermare che la somma algebrica delle correnti che entrano/escono in un nodo è nulla. Σ𝑖(nodo) = 0.

Un’altra interpretazione della LKC: la somma delle correnti uscenti è uguale alla somma delle correnti entranti. In questo esempio si considera come superficie chiusa il riquadro grigio chiaro ed è stata scritta la legge di Kirchhoff scegliendo come verso positivo quello delle correnti entranti. In questo secondo esempio viene scelto un nodo, per il quale viene scritta la legge di Kirchhoff. Si tratta di un caso particolare in cui la superficie chiusa racchiude solo un nodo. Quanto appena fatto prende il nome di analisi nodale.

NB: c’è una relazione fra LKC scritta per la superficie e quella scritta per i nodi, infatti se quest’ultima viene ricombinata correttamente permette di ottenere l’LKC per la superficie.

Vincoli derivanti dalla LKC

• La corrente entrante in un bipolo è sempre uguale a quella uscente (a).
• Un N-polo è caratterizzato da N - 1 correnti indipendenti (b). Infatti l’N-esima corrente si ricava dalle altre N-1.
• Il monopolo è un componente senza senso (c). (i contorni grigi più chiari sono le superfici).

Legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT)

Il campo elettrostatico è conservativo. Se i parametri sono concentrati siamo circa nel caso elettrostatico, anche se effettivamente non è così. Grazie a questa approssimazione è possibile affermare che il campo elettrostatico è conservativo. Una carica che si muove lungo un percorso chiuso presenta una variazione di energia nulla (parametri concentrati). → La somma algebrica delle tensioni (variazioni di energia per unità di carica) lungo una sequenza chiusa di nodi è nulla. Σ𝑉(nodi) = 0.

In questo caso si ha arbitrarietà sul verso da seguire, sui segni da segnare (ossia riguardo la polarità). La prima scrittura fa riferimento al senso orario; sono stati scritti i primi segni che si incontrano. La seconda scrittura fa riferimento al senso orario, prendendo di riferimento il segno che si incontra “uscendo” dal componente. Nella figura a lato si hanno tre formulazioni di LKT, per lo stesso caso (per la maglia a-b-d-e-a). Si noti che si fa riferimento ad una sequenza chiusa di nodi e non ad una maglia. Potremmo ad esempio scrivere la LKT per la sequenza chiusa data da a-e-c-f-a.

Vincoli derivanti dalla LKT

Un N-polo è caratterizzato da N - 1 tensioni indipendenti.

Esercizi

1.1

In un conduttore metallico scorre una corrente costante pari a 𝑖 = 4 A.

1. Quanta carica attraversa il conduttore in 1 ora?
2. Quanti elettroni?

𝑖 = 4 A → 𝑑𝑡 = 3600 s → 𝑑𝑞 = 𝑖 × 𝑑𝑡