Appunti di Aerodinamica

POLITECNICO DI MILANO

Facoltà di Ingegneria Aerospaziale

Appunti del corso di:

Aerodinamica

prof. F. Auteri

a cura di

Giorgio Montorfano

e

Riccardo Rota

A.A. 2015/2016

Disclaimer

(Note dagli autori)

Questa dispensa è una raccolta di appunti presi durante le lezioni del corso di Aerodinamica,

tenute dal professor Franco Auteri presso il Politecnico di Milano, nell'Anno Accademico

2015/2016.

Questa dispensa è da intendersi come uno strumento per seguire con più facilità le lezioni e le

esercitazioni, per ripassare velocemente prima dell'esame e per chiarire eventuali dubbi sorti

durante le spiegazioni (quelli per cui non si alza la mano per chiedere al docente, insomma...):

non è dunque assolutamente concepita come un sostituto dei libri di testo o (soprattutto) della

frequenza alle lezioni (fondamentali per comprendere e interiorizzare i concetti).

La dispensa è frutto di un profondo impegno (spesso e volentieri quotidiano) finalizzato ad

ottenere un risultato quanto più possibile sintetico, preciso e completo. Sfortunatamente -

nonostante la grande dedizione posta dagli autori nella stesura di questi appunti - in questo

mondo non esiste nulla di perfetto e, pertanto, anche questa dispensa sarà ben lungi

dall'essere corretta e comprensibile in ogni sua parte. Per questo motivo gli autori saranno più

che felici (e orgogliosi) di ricevere qualsiasi tipo di suggerimento e correzioni per sopperire alle

carenze di questo lavoro.

Buono studio! Gli autori,

Giorgio Montorfano

Riccardo Rota

- - - - - - - - -

Contatti (per info e suggerimenti):

39gmont93@gmail.com

riccardoxrota@gmail.com

Appunti del corso di: Aerodinamica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Indice

Programma Preventivo del Corso ...................................................................................................................... V

Obiettivi e contenuti del corso ...................................................................................................................... V

Descrizione degli argomenti trattati ............................................................................................................. VI

0. Concetti preliminari ................................................................................................................................... - 1 -

0.1. Relazione fondamentale ..................................................................................................................... - 1 -

0.2. Convessità/concavità di una funzione ................................................................................................ - 1 -

0.3. Dimostrazione: concavità della relazione fondamentale entropica................................................... - 2 -

0.4. Relazione fondamentale entropica specifica ..................................................................................... - 2 -

0.5. Relazione fondamentale entropica ed equazione di stato dei gas perfetti ....................................... - 2 -

0.7. Integrazione su domini mobili ............................................................................................................ - 3 -

0.7.1. Teorema del trasporto di Reynolds (TTR) .................................................................................... - 3 -

0.7.2. Circolazione di un vettore lungo una curva ................................................................................. - 4 -

0.7.3. Flusso attraverso una superficie .................................................................................................. - 5 -

1. Equazioni del moto .................................................................................................................................... - 6 -

1.1. Conservazione della massa ................................................................................................................. - 6 -

1.2. Teorema della quantità di moto ......................................................................................................... - 7 -

1.3. Conservazione dell'energia ................................................................................................................. - 8 -

1.4. Riepilogo rapporto equazioni/incognite ............................................................................................. - 9 -

1.5. Equazioni di Navier-Stokes nel caso comprimibile ............................................................................. - 9 -

2. Fondamenti di Aerodinamica .................................................................................................................. - 10 -

2.1. Fluidodinamica o aerodinamica?...................................................................................................... - 10 -

2.2. Equazioni di Prandtl .......................................................................................................................... - 10 -

2.3. Tecnica dell'espansione asintotica ................................................................................................... - 11 -

2.3.1. Problemi di perturbazione regolare .......................................................................................... - 11 -

2.3.2. Problemi di perturbazione singolare (problema del trasporto) ................................................ - 13 -

2.3.3. Soluzioni raccordate .................................................................................................................. - 19 -

3. Strato Limite ............................................................................................................................................ - 22 -

3.1. Soluzione interna .............................................................................................................................. - 22 -

3.2. Soluzione esterna ............................................................................................................................. - 24 -

3.3. Condizioni di interfaccia ................................................................................................................... - 25 -

3.3.1. Velocità ...................................................................................................................................... - 25 -

3.3.2. Pressione ................................................................................................................................... - 26 -

4. Vorticità ................................................................................................................................................... - 27 -

prof. F. Auteri I A.A. 2015/16

Appunti del corso di: Aerodinamica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

4.1. Teorema di Lagrange ........................................................................................................................ - 27 -

4.2. Primo teorema di Helmholtz ............................................................................................................ - 27 -

4.3. Secondo teorema di Helmholtz ........................................................................................................ - 28 -

4.4. Tubo vorticoso .................................................................................................................................. - 28 -

4.5. Terzo teorema di Helmholtz ............................................................................................................. - 29 -

4.6. Teorema di Kelvin ............................................................................................................................. - 29 -

4.7. Portanza e circolazione ..................................................................................................................... - 30 -

5. Correnti a potenziale bidimensionali ....................................................................................................... - 31 -

5.1. Potenziale cinetico e funzione di corrente ....................................................................................... - 31 -

5.2. Ricerca delle soluzioni elementari .................................................................................................... - 32 -

5.2.1. Corrente uniforme ( ) ....................................................................................................... - 32 -

5.2.2. Corrente per un diedro ( ) ................................................................................................ - 33 -

5.2.3. Sorgente/pozzo e vortice puntiforme ( ) ....................................................................... - 33 -

5.2.4. Doppietta/dipolo ( ) ....................................................................................................... - 34 -

5.3. Circolazione e portata ...................................................................................................................... - 34 -

5.4. Aerodinamica del cilindro ................................................................................................................. - 35 -

5.4.1. Cilindro non portante ................................................................................................................ - 35 -

5.4.1. Cilindro portante ....................................................................................................................... - 35 -

5.5. Corrente attorno ad un profilo alare ................................................................................................ - 36 -

5.6. Riepilogo soluzioni elementari e combinate .................................................................................... - 37 -

5.7. Determinazione delle forze aerodinamiche. Formule di Blasius. ..................................................... - 37 -

5.7.1. Forza aerodinamica - Prima formula di Blasius ......................................................................... - 37 -

5.7.2. Momento aerodinamico - Seconda equazione di Blasius ......................................................... - 39 -

5.8. Teorema di Kutta-Joukowski ............................................................................................................ - 41 -

5.9. Momento aerodinamico di un profilo .............................................................................................. - 41 -

6. Trasformazioni conformi ......................................................................................................................... - 42 -

6.1. Condizione di Kutta .......................................................................................................................... - 42 -

6.2. Prestazioni ........................................................................................................................................ - 43 -

6.2.1. Forza aerodinamica ................................................................................................................... - 43 -

6.2.2. Momento aerodinamico ............................................................................................................ - 44 -

6.3. Coefficienti di portanza .................................................................................................................... - 47 -

6.3.1. Lastra piana portante ................................................................................................................ - 47 -

6.3.2. Profilo non simmetrico .............................................................................................................. - 47 -

6.4. Formulazione di Karmàn-Trefftz ....................................................................................................... - 48 -

7. Teoria dei profili sottili............................................................................................................................. - 50 -

prof. F. Auteri II A.A. 2015/16

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7.2. Formule di Plemel ............................................................................................................................. - 52 -

7.3. Forma alternativa per la circolazione ............................................................................................... - 53 -

7.4. Determinazione della portanza ........................................................................................................ - 54 -

7.5. Problema inverso: dalla distribuzione di pressione alla linea media ............................................... - 56 -

7.5.1. Coefficiente di pressione ........................................................................................................... - 56 -

7.5.2. Coefficiente di momento ........................................................................................................... - 57 -

7.5.3. Identificazione della linea media ............................................................................................... - 58 -

8. Ala tridimensionale .................................................................................................................................. - 60 -

8.1. Modellazione dell'ala e della scia (teoria dell'ala portante) ............................................................. - 60 -

8.2. Legge di Biot-Savart .......................................................................................................................... - 62 -

8.3. Angolo di incidenza indotto .............................................................................................................. - 63 -

8.4. Equazione integro-differenziale di Prandtl ....................................................................................... - 63 -

8.4.1. .................................................................................................................................................... - 63 -

8.4.2. Risoluzione ................................................................................................................................. - 64 -

8.5. Coefficienti Aerodinamici ................................................................................................................. - 65 -

8.5.1. Coefficiente di portanza ............................................................................................................ - 66 -

8.5.2. Coefficiente di resistenza .......................................................................................................... - 66 -

8.5.3. Coefficiente di momento di rollio .............................................................................................. - 67 -

8.5.4. Coefficiente di momento di imbardata ..................................................................................... - 67 -

8.5.5. Adimensionalizzazione dei coefficienti...................................................................................... - 69 -

9. Metodi Numerici ...................................................................................................................................... - 71 -

9.1. Metodo di Morino ............................................................................................................................ - 71 -

9.3. Metodo a singolarità virtuali ............................................................................................................ - 74 -

9.4. Metodo a pannelli ............................................................................................................................ - 74 -

9.4.1. Metodo di Hess-Smith ............................................................................................................... - 74 -

10. Aerodinamica Comprimibile .................................................................................................................. - 77 -

10.1. Equazioni di Eulero comprimibili .................................................................................................... - 77 -

10.2. Entropia nella corrente esterna...................................................................................................... - 78 -

10.3. Primo teorema di Bernoulli comprimibile ...................................................................................... - 78 -

10.4. Piccole perturbazioni di pressione ................................................................................................. - 79 -

10.4.1. Entropia ................................................................................................................................... - 80 -

10.4.2. Continuità ................................................................................................................................ - 80 -

10.5. Potenziale comprimibile ................................................................................................................. - 82 -

10.5.1. Equazione della vorticità ......................................................................................................... - 82 -

10.5.2. Teorema di Bernouilli e potenziale cinetico ............................................................................ - 82 -

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10.5.4. Linearizzazione del potenziale cinetico ................................................................................... - 83 -

A. Terminologia utile .......................................................................................................................................... a

A.1. Intorni e insiemi ...................................................................................................................................... a

A.2. Curve ....................................................................................................................................................... a

A.3. Successione di funzione .......................................................................................................................... a

A.4. Serie di funzione ...................................................................................................................................... a

B. Analisi complessa .......................................................................................................................................... b

B.1. Richiami sui numeri complessi ............................................................................................................... b

B.2. Funzione complessa ............................................................................................................................... b

B.3.1. Potenza intera ................................................................................................................................. b

B.3.2. Funzione esponenziale ..........................................................................................................