Appunti di Aerodinamica

Imponendo questa ulteriore condizione e sostituendo ad ogni variabile il proprio sviluppo asintotico

(arrestato al primo ordine), le equazioni del sistema risultano pertanto essere:

Si proceda ora con il raggruppamento dei termini appartenenti allo stesso ordine: si noti che l'ordine

dominante (cioè quello più basso) è l'ordine .

Ordine -1

Si ha una sola equazione differenziale, a cui non è ancora possibile attribuire condizioni al contorno. Risulta

quindi necessaria una condizione di raccordo.

Ordine 0

In questo caso si hanno tre equazioni differenti, che coincidono con le equazioni di Prandtl. Tali equazioni

sono quindi la soluzione per la zona interna del problema dello strato limite. Si noti inoltre che deve

essere nulla sia per l'ordine che per l'ordine .

Ordine 1

Si ottengono nuovamente tre equazioni differenti, di cui la seconda è lineare, poiché solo è incognita.

Condizioni al contorno

Per quanto riguarda le condizioni al contorno, per la zona interna esse sono:

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3.2. Soluzione esterna

Nella zona esterna non è necessario attuare alcun cambio di variabile, ma resta valida la condizione sul

numero di Reynolds.

Le espansioni asintotiche da utilizzare in questo caso sono:

Sostituendo nelle equazioni si ottiene:

Si raggruppino i termini dello stesso ordine.

Ordine 0

Si noti che le ultime due equazioni (primo sistema) corrispondo alle equazioni di Eulero. Tali

equazioni risultano essere la soluzione esterna di ordine zero del problema viscoso nel caso di un

corpo profilato. Dunque, non è vero che le equazioni di Eulero vengono applicata ad un fluido non

viscoso, poiché nessun fluido detiene tale caratteristica.

Ordine 1

Le equazioni sono simili al caso precedente, ma in questo sono anche lineari.

Condizioni al contorno

Le condizioni al contorno si riferiscono alla corrente indisturbata.

Per l'unico contributo alla velocità che sopravvive è quello di ordine zero, che si allinea con la

velocità indisturbata.

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3.3. Condizioni di interfaccia

All'interfaccia è necessario applicare il solito cambio di variabile:

Le condizioni di interfaccia, in questo caso, vanno applicate sia sulla velocità, sia sulla pressione, tenendo

conto che

Nei termini della zona esterna compare però in forma implicita. Per esplicitare il parametro è sufficiente

procedere ad una espansione in serie di Taylor. Contemporaneamente le condizioni al limite possono

essere riscritte come:

I tre limiti possono quindi essere riscritti nel seguente modo (con arresto al primo ordine):

Si proceda ora distinguendo, ordine per ordine, tutti i contributi.

3.3.1. Velocità

Ordine 0

All'ordine 0 compaiono entrambe le componenti della velocità, ma si nota in particolare che la seconda

condizione corrisponde alla condizione di non penetrazione.

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Ordine 1

All'ordine 1 si ottiene, per la componete , l'equazione linearizzata di Eulero.

3.3.2. Pressione

Ordine 0

Le condizioni per la pressione all'ordine 0 di presentano in una forma molto semplice.

Ordine 1

La condizione per la pressione all'ordine 1 è la seguente:

Dalla formulazione sorge un problema: la presenza dell'asintoto obliquo, imposta dalla linearizzazione di

, è in disaccordo con la condizione iniziale per la quale la pressione, all'ordine 1, è nulla. In realtà la

presenza o meno dell'asintoto è giustificata dalla geometria del problema: nel caso "curvo", le linee di

corrente curvano (la forza centrifuga bilancia le forze di pressione e si genera vorticità), quindi ,

mentre nel caso "piano" (come quello che stiamo considerando - lastra piana) è lecito porre

Di seguito, il riassunto di tutte le condizioni di interfaccio e l'ordine con cui devono essere risolte.

3 6

1 4

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4. Vorticità

La vorticità è definita come il rotore della velocità e l'equazione che la descrive viene ricavata applicando

l'operatore rotore all'equazione di Navier-Stokes (conviene prima riscriverla nella formulazione del Crocco):

La vorticità è legata, sotto l'ipotesi di regolarità, alla circolazione (verso positivo applicando la regola della

mano destra a ) dal teorema di Stokes, secondo il quale:

Come già visto in precedenza, la circolazione subentra a sua volta nel calcolo della portanza attraverso il

teorema di Kutta-Joukowski: è quindi fondamentale conoscere il comportamento della vorticità per

determinare in modo preciso il valore della portanza.

Anche la vorticità può essere riscritta utilizzando la derivata materiale:

Sfruttando questa notazione si ha che la variazione della vorticità dipende sia da se stessa che dal campo di

moto.

Alla vorticità sono legati tre (cinque) importanti teoremi:

 teorema di Lagrange, valido sia nella zona interna dello strato limite che in quella esterna (quindi in

tutto il campo di moto) ed applicato direttamente alle equazioni di Navier-Stokes;

 teorema di Helmholtz (I,II,III) e teorema di Kelvin, entrambi validi solo nella zona esterna e cioè

lontano dalle pareti e fuori dalle scie.

4.1. Teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange afferma che "se in una porzione di campo di moto la vorticità è nulla e non c'è

vorticità in ingresso dai bordi, allora in quella regione la vorticità rimarrà nulla". Si osservi che, a causa della

forte non irrotazionalità nello strato limite il teorema cessa di valere, nonostante la teoria consenta di

applicarlo in tutto il campo di moto: anche il teorema di Lagrange viene perciò applicato alla sola zona

esterna.

4.2. Primo teorema di Helmholtz

Il primo teorema di Helmholtz afferma che "se una particella fluida nella zona esterna e all'istante ha

vorticità nulla, allora avrà vorticità nulla anche in tutti gli altri istanti".

Per dimostrare questo teorema si parta dalla derivata materiale della vorticità, concentrandosi sui termini a

destra dell'uguale. Utilizzando un'espansione asintotica, il secondo termine legato alla viscosità scompare

(ci si trova infatti nella zona esterna), mentre il primo termine è nullo perché per ipotesi al tempo .

Risulta quindi che:

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4.3. Secondo teorema di Helmholtz

Il secondo teorema di Helmholtz afferma che "se nella zona interna e ad un dato istante le particelle

fluide si trovano su una linea vorticosa, allora per tutti gli istanti tali particelle costituiranno una linea

vorticosa". Si considera dunque la linea vorticosa come una linea materiale che si muove con il fluido.

Prima di dimostrare il teorema è conveniente dare la definizione di linea vorticosa: essa è una linea di

campo della vorticità, tale per cui è in ogni suo punto tangente al vettore vorticità . Tale proprietà può

essere espressa in due modi:

Tuttavia la prima equazione è scomoda in quanto, per una linea, esistono infiniti . Conviene perciò

utilizzare la seconda espressione, usufruendo della forma parametrica, tale per cui:

Per dimostrare la tesi del teorema bisogna quindi porre:

Sfruttando le proprietà della derivata di un prodotto:

Si osservi che, solo sulla linea materiale e nella zona esterna:

Si ottiene un'espressione analoga per . Perciò:

Poiché è diretto come , si può definire come oppure come . Scegliendo la prima

opzione, si ottiene, per le caratteristiche anticommutative del prodotto vettoriale:

4.4. Tubo vorticoso

Data una linea chiusa nello spazio, per ogni suo punto passerà una linea vorticosa. L'insieme delle linee

vorticose così ottenute costituisce una superficie chiusa denominata tubo vorticoso. Una proprietà

fondamentale dei tubi vorticosi e che discende direttamente dalle proprietà della vorticità, afferma che,

per una qualsiasi sezione S del tubo:

Il flusso del rotore attraverso tale superficie è quindi uguale, attraverso il teorema di Stokes, alla

circolazione, che risulta costante qualunque sia la sezione considerata.

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Infatti, applicando il teorema della divergenza e le proprietà del rotore:

Definita e come la superfici alle estremità del tubo e la sua superficie laterale, la precedente

considerazione permette di dire che:

Dal risultato si può concludere che un tubo vorticoso non finisce mai: al più può richiudersi su se stesso o

terminare a contatto con una superficie solida. Tuttavia, nella pratica, la presenza dello strato limite rende

quest'ultima mai verificata. Per esempio, un uragano può essere visto come un tubo vorticoso, ma presenta

un allargamento alla sua base poiché entra nello strato limite della superficie terrestre.

4.5. Terzo teorema di Helmholtz

Il terzo teorema di Helmholtz afferma che "il flusso della vorticità attraverso una superficie che si muove

con il fluido è costante". Questa affermazione implica che nella zona esterna il tubo vorticoso conserva la

sua circolazione.

Sfruttando le identità vettoriali:

Sapendo che e utilizzando il teorema di Stokes e della divergenza:

4.6. Teorema di Kelvin

Il teorema di Kelvin afferma che "se una linea chiusa segue il fluido durante il suo moto, allora la sua

circolazione rimane costante nel tempo". Come detto in precedenza, questo teorema vale solo nella zona

esterna.

Dalla definizione di vorticità e di campo conservativo (o di rotore di gradiente):

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4.7. Portanza e circolazione

Dal primo teorema di Helmholtz è noto che se nella zona esterna all'istante iniziale la vorticità di una

particella è nulla, allora lo sarà anche per tutti gli altri istanti finché tale particella rimane nella zona

esterna. Ciò vale sia nel caso di un modellino che del rispettivo corpo in scala reale, poiché le equazioni che

descrivono il campo di moto della zona esterna - e cioè le equazioni di Eulero - sono invarianti rispetto al

fattore di scala. La variazione delle dimensioni determina a sua volta una modifica del numero di Reynolds,

ma tale e