Appunti Aerodinamica - 2/3

Soluzioni particolari

Soluzione dell'equazione di Laplace

Per un fluido ideale (viscosità nulla, quindi moto non dissipativo) e incomprimibile (moto solenoidale), sotto le ipotesi di validità del teorema di Crocco (moto stazionario, omoentropico, omoenotalpico) si ha che il potenziale del campo di moto è una funzione armonica (soddisfa l'equazione di Laplace: Laplaciano della funzione nullo)

Nel caso di un sistema di riferimento cartesiano si ottiene un'equazione differenziale alle derivate parziali di tipo lineare, a coefficienti costanti ed ellittica.

Alcune soluzioni di quest'equazione vengono dette soluzioni elementari/particolari/singolari: queste soluzioni (sono soluzioni analitiche) dipendono solo dalla distanza (r) dall'origine. Per origine si intende il punto in cui la soluzione è singolare, non ha valore finito ma va all'infinito.

Dato che l'equazione è lineare, date n soluzioni allora anche una loro combinazione lineare è soluzione:

quindi, con φ1, φ2... soluzioni, qualunque combinazione lineare verifica l'equazione. Possiamo pensare di sfruttare questa proprietà per determinare i coefficienti a1, a2..., sfruttando le condizioni al contorno: noti i valori di φ1, φ2... nei punti al contorno, determiniamo i coefficienti in modo tale da soddisfare l'equazione con il potenziale totale.

Tutti i casi che presenteremo in seguito sono soluzioni particolari dell'equazione di Laplace.

Moti Piani

• La soluzione banale è: velocità all'infinito a monte v_∞ con potenziale pari a v_∞z

Ci sono da fare delle precisazioni di natura matematica

C'è una particolare classe di funzioni di variabile complessa (la variabile è un numero complesso z=x+iy), detta funzioni analitiche che hanno, tra le varie proprietà, parte reale e parte immaginaria che sono funzioni armoniche:

Consideriamo quindi un potenziale complesso Φ come funzione complessa analitica, quindi una funzione la cui parte reale e parte immaginaria risolvono l'equazione di Laplace.

La parte reale è il potenziale di velocità, già definito. La parte immaginaria è detta funzione di corrente, poiché le linee lungo le quali ψ=cost. sono proprio le linee di corrente (o isolinee), ovvero linee tangenti in ogni punto al vettore velocità. Dimostriamo che ψ=cost. rappresenta una linea di corrente:

Così come φ è definita in modo tale che il suo gradiente è uguale a v, ψ è definita in modo tale che le linee ψ=cost. rappresentino appunto delle linee di corrente:

Dimostreremo che: qualunque sia la forma della superficie che racchiude la singolarità (un circuito, in questo caso bidimensionale), e qualunque sia la sua distanza dalla singolarità, la portata (volumica) è costante/la stessa.

Calcoliamo quindi la portata volumetrica, in modo da esplicitare la costante A:

dato che la portata è indipendente dal circuito, mi prendo come circuito un cerchio

Q = 2 π A

A = \(\frac{Q}{2 \pi}\)

Q > 0 : Sorgente

Q < 0 : Pozzo

Quando si uniscono un pozzo e una sorgente di pari intensità (un pozzo di portata -Q e una sorgente di portata Q) si forma una doppietta/dipolo, in modo che, al tendere a 0 della distanza tra pozzo e sorgente, il 'momento del dipolo' rimanga finito:

Vortici

Siccome φ e ψ sono entrambe funzioni armoniche, nulla mi vieta di invertire/cambiare segno rispetto a quanto fatto fin ora, e considerare, a meno dei segni, che pure cambieremo:

• φ al posto di ψ
• ψ al posto di φ

Inoltre, consideriamo il coniugato del nuovo potenziale complesso appena ottenuto (cambiamo segno alla parte immaginaria)

In sostanza, mentre prima abbiamo considerato Φ=A*log(z) , ora facciamo -iΦ:

φ_new = - i B log z

nella formula otteniamo ottenere un'altra costante

guida ora abbiamo

• φ = cost. → θ = cost. Linee Isopotenziali (rette passante per l’origine)
• ψ = cost. Linee di corrente (circonferenze centrate nell’origine)

z = 0 Punto singolare

Campo intorno ad un cilindro (di sezione) circolare

Si vuole esaminare il caso di una corrente uniforme che investe il corpo, in questo caso un cilindro circolare.

Questo particolare campo di velocità si ottiene combinando (sovrapponendo) il campo di una corrente uniforme con quello di una doppietta con l'asse coincidente alla direzione della corrente.

Il potenziale complesso ha la seguente forma:

Mostreremo che questo potenziale corrisponde ad un campo di moto attorno ad un cilindro circolare.

Ovviamente non ci interessa cosa succede dove c'è la doppietta poiché ci troverebbe idealmente all'interno del corpo; la doppietta si serve (assieme alle correnti uniformi) solo per simulare il campo di moto.

ϕ = V_∞ (z + _R²/_z)

ϕ = V_∞ (x + iy + _R²/_x-iy) = V_∞ [x + iy + _R²/_x+iy]

ϕ = V_∞ [2cosθ + _R²/_r (cosθ + i2sinθ)]

{ ϕ = V_∞ (2 + _R²/_z²)cosθ

ϕ = V_∞ (1 - _R²/_z²)sinθ

v = ∇ϕ = ( _∂vr/_∂r + ₁/_{r ∂vθ}/_∂θ) [V_∞ (2 + _R²/_z²)cosθ - V_∞ sinθ(1 - _R²/_z²)cosθ]

{ v_r = V_∞ (1 - _R²/_r²)cosθ

v_θ = - V_∞ (1 + _R²/_r²)sinθ

Dall’espressione che abbiamo ricavato per il campo di velocità si vede che la velocità radiale v_r è nulla in corrispondenza della superficie del cilindro (r=R), detta superficie ideale; mentre la v_θ ci mostra che è opposta rispetto al verso positivo di θ. Tutto questo corrisponde alla rappresentazione in figura del campo di moto sulla superficie del cilindro. Tutto questo è coerente anche a quello che si intuisce ricordando la presenza della doppietta nell’origine.

per z = R → { v_r = 0

v_θ = V_∞ - 2V_∞ sinθ

V = V_θ :

θ = 0 v = 0

θ = π v = -2V_∞

θ = 0 V = 0

θ = 0 v = -V_∞

Vista la presenza della doppietta, il campo di moto è simmetrico rispetto all'asse x e antisimmetrico rispetto all'asse y.

La relazione appena ricavata non è lineare, per renderla lineare si fa l'ipotesi di piccoli disturbi: il corpo deve avere piccolo spessore, piccola curvatura, e piccoli angoli d'attacco. Queste tre caratteristiche in genere vengono riassunte dicendo che il corpo deve avere un ingombro aerodinamico piccolo.

Nell'ipotesi di piccoli disturbi v ed u diventano trascurabili (perché molto piccole) rispetto a v_∞. Inoltre, con α piccolo si possono effettuare le seguenti approssimazioni:

α piccolo →sinα ≈ αcosα ≈ 1γ_c'(x) = ^v__u = ^{v_∞sinα + u_∞cosα__{v∞ cosα} = u_∞ + v_∞ α__v∞ ≈ u_∞__v∞ + α}

Dall'ipotesi di piccoli disturbi possiamo trascurare u/v_∞ rispetto all'unità (u << v_∞). Tuttavia, non possiamo trascurare anche v/v_∞ poiché dovremmo trascurarlo rispetto ad α, che però è anch'esso molto piccolo (e quindi non possiamo trascurare niente); ma inoltre se lo trascurassimo perderemmo completamente la condizione al contorno (non avremmo più il campo di velocità sul corpo, che è quello che vogliamo calcolare). Se trascurassimo tutte le cose 'piccole', troveremmo y_c'=0, ovvero una lastra piana ad angolo di attacco (praticamente) nullo, ovvero un problema di fatto insignificante.

A questo punto la condizione al contorno è diventata lineare:

y_c'(x) = α + ^u__v∞∞ = ^{f m'(x)__α + v__v∞∞}

Il vantaggio di aver ottenuto una condizione al contorno lineare è la possibilità di poter applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

Se α=0 avrei il caso di un profilo - quasi - simmetrico (freccia piccola) ad angolo di attacco nullo, quindi che genera portanza nulla, ovvero un 'problema non portante' o 'problema di spessore'. Una serie di calcoli viene usato essenzialmente solo per determinare la condizione al contorno per lo strato limite.