Appunti delle lezioni di Fisica 1

Misure ed Errori

Errori sistematici dovuti ad una tecnica di misura sbagliata (calibrazione)

Errori accidentali dovuti al minimo/lettura e riporti dediti, parallasse

Tolleranza

Avendo n misure tollerabili _X = ^{∑ X_i} / _N = media aritmetica

Semi-dispersione Massima

ΔX = ^{X_max - X_min} / ₂ max { (X_max - X), (X - X_min) }

X̅ - X̅ ± ΔX

Rappresentando i dati otteniamo una conformance a campana della distribuzione normale

1. “Ampiezza della campana in molle” espresso attraverso:

Scarto Quadratico Medio

σ² = ^{∑ (X_i - X̅)2} / _N

Deviazione Standard

σ = √^{∑ (X_i - X̅)2} / _{N - 1}

L'equazione della distribuzione normale (o distribuzione di Gauss) è:

¹/_σ√(2π) e^{- (X - X̅)2/_2σ2}

Al centro della campana otteniamo ¹/_√2π = (ampiezza massima)

Se (X - X)² = σ² f(x) = ¹/_√2π e^-1/₂

e^e = ¹/_√e = ¹/_√2π = ^{0.6 = 60%}/₁

• Per -σ < X < σ otteniamo il 68.5% della misura
• Per -2σ < X < 2σ // 95.5% //

MISURE INDIRETTE

Errore nelle misure indirette

α indiretta

y = dx + β

Dispersione dell'errore

df/dx = inclinazione

df = differenziale di f

Δf = (df/dx)Δx + (df/dy)Δy + (df/dz)Δz

con Δx, Δy, Δz = errore nelle relative misure di x, y, z

LA VELOCITÀ

P = punto materiale

f(x) = x(t) legge oraria del moto

y = f(x)

y₁ = f(x₁)

Δx = x₁ - x

Δy = y₁ - y

Δy/Δx = (y₁ - y) / (x₁ - x) = (f(x + Δx) - f(x)) / Δx

tan(α)

lim (Δy/Δx) as Δx → 0 = df/dx = f'(x)

x = tempo, y = posizione nello spazio ⇒ f'(x) = df/dt = VELOCITÀ

Velocità = (x' - x) / (t' - t)

Velocità = lim (Δx/Δt) as Δt → 0 = dx/dt = ẋ(t)

T = (livello)

x = V₀t

(a = 0, no posiz iniziale)

y = h₁ - ¹/₂gt²

(no veloc iniziale)

Traiettoria: y = y(x) → esplicitiamo il tempo

t = x/V₀

y = h₁ - ^g/_2V0² x²

PARABOLA RIVOLTA VERSO IL BASSO

Asse = asse y

La traiettoria descrive un MOTO PARABOLICO

-V = dr/_dt = lim_{Δt → 0} ^{r(t + Δt) - r(t)}/_Δt

= V t̂ (direzione tg)

dV/_dt = d/_dt V t̂ + V dt̂/_dt

dt̂/_dt = lim_{Δt → 0} ^{t̂(t + Δt) - t̂(t)}/_Δt

dt̂ è un vettore, non un versore!

VEL/LOCITÀ ANGOLARE (si muove su ∘ _angular) = Ω

--> ACCELERAZIONE CENTRIPETA

Le Forze

... intese come azioni esterne su un corpo

3 principi della dinamica

1. Ogni corpo senza azioni esterne, rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme (stato di inerzia) [quiete, m.r.u, m.r.u.f.]
2. Causa-effetto:

   F = m · a

   (la forza causa un’accelerazione ad una massa)

   • F[N] a[m/²] m[kg] N/kg m/s²
   F3_____ \\ __\ / F1 F2 [somma vettoriale]

   Σ_iF_i = m · ā = | x : ± Fⁱ_x + fⁱ_x + ... + F_ix = m·ā_x

   y : ± Fⁱ_y + fⁱ_y + ... + F_iy = m·ā_y

   Dove si muoverà il corpo?

   [vettore] / \ ______ /___\ / / \(vettore)

   Nuovo punto di applicazione della risultante di F₁ e F₂

   Caso: F₁ e F₂ parallele

   Σ_i F_i = m dv / dt = d(mv) / dt

   mυ = P [quantità di moto]

3. F₁+2 = - F₂- \ --- --- \ \\ \ \ --- ----

   Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria [Principio di azione e reazione]

F₂ = ± F₁ - F₂ ±

_____ F1 F2 ---->

Se l’applicazione di una forza avviene per un tempo breve: dt (istante)

Σ_o F_i dt = Σ_o F_i dt

Forze Elastiche

F = -kx

Se x = 0, F = 0

m·a = m·(dv/dt) = m·(d²x/dt²) = -kx

d²x/dt² = -(k/m)x

d²x/dt² = -ω₀²x

x = x₀sin(ω_ot + φ)

• x(0) = x_ssin(φ)

Per risolverla, abbiamo bisogno di imporre due condizioni:

x(0) = x₁

ẋ(0) = v₁

• x₁ = x₀sin(φ)
• v₁ = x₀ω₀cos(φ)

Forza Elastica + Forza Costante

Equilibrio:

P + F_e = 0

mg - ky₀ = 0

P + F_e = ma

y = mg - ky₀

m(d²y/dt²) = k(y₁ - y)

x^.. + δx^. + ω₀²x = A_m [^{eiωt + e-iωt}⁄_z]

1) e^iωt: [x_o + δx_o z^-1 + (rⁱ)

e^iωt if (1) + ω₀² x_o eⁱ) + ω₀² x_o z^-1 eⁱ(1) = A_m e^iωt / z

e^-iωt: x_o / z eⁱ(1) ] [ -iωx_o -i (1) + ω₀² x_g eⁱ(1)] = A_m e^-iωt / ω_g²

2) x_oe^-iωt e^iΦ[ω_g² + iωg+ω₀] = A_me^iωt

x_oe^-iωt e^Φ[ω_g² - ω₀² - iωg] = A_me^-iωt

x_oe^-iωΦ[ω_g² + ω₀² + iωg] = A_m · e^iO(trg. gφl. Trg O)

X(t) = X_oe^{[i](ωt + Φ)}

⇒ x_oe^iΦ √[(ω_g - ω_g)² + x_g g_g² e • Φg]

X_{o √- - - - - - - - = Am -> xo = Am / √[(ωg²)g² + ωg²g²]}

tg O ω/ωg

X(t) = -A_m | cos(ωt + Φ)|

Energia Potenziale Elastica

F = -kx

_LAB = ∫^B_A F.de = ∫^β_α -kx d = 1/2 k x_A²

_Uel = 1/2 k x²

Applichiamo la conservazione dell'energia

1/2 k x₂ = 1/2 m v₂ ⇒ v = √(k/m) x

• Stato di en potenziale
• Stato di en cinetica

mgh (A) = 1/2 mv_B² (B)

1/2 mv_B² + mgx = 1/2 k x²

1/2 mv₀² = 1/2 kx² - mgx = mgh

mgh + mgx = mgh(l+x) = 1/2 k x² (A+B) (E)

(Cap. energia di W) Altezza h + una compressioneAquila polare posteriore al peso