Appunti, definizioni e dimostrazioni di Fisica 1 (corso prof. Atzeni)

Cinematica del punto - Moto rettilineo

Il moto di un punto materiale è determinato se si sa la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento.

La traiettoria è il luogo dei punti occupati dal punto in movimento.

Sia x₁ e x₂ il punto si trovi nella posizione x₁ e all'istante t₁ nella posizione x₂ al tempo t₂, nel intervallo di tempo Δt = t₂ - t₁.

La velocità media v_m del punto è definita come:

v_m = Δx / Δt = (x₂ - x₁) / (t₂ - t₁) = 1 / (t - t₀) ∫_t0^t v(t) dt

La velocità istantanea è il limite per cui il rapporto Δx durante un piccolissimo intervallo di tempo diventa il rapporto della variazione temporale della posizione:

lim_Δt→0 Δx / Δt = lim_t→0 (x_c - x_a) / (t_c - t_a) = v_T = dx / dt

La legge oraria si muove così: sapendo che v_L allora dx = Ndt

Perciò ∫_x0^x dx = ∫_t0^t v(x_t) dt perciò X_t = X₀ + ∫_t0^t ΔT(x_t) dt

Moto rettilineo uniforme

Dato che v sono costante abbiamo che:

x_t = x₀ + ∫_t0^t Δ(c_t) dt perciò

X = X₀ + v(t - t₀)

Accelerazione nel moto rettilineo

Quando la velocità del punto varia nel tempo indica che il moto è accelerato, se tra t₁ e t₂ la velocità varia da v₁ a v₂ si definisce accelerazione media.

a_m = (v₂ - v₁) / (t₂ - t₁) = Δv / Δt

L'accelerazione istantanea è la derivata della v rispetto al t ossia la derivata seconda di x rispetto al t:

lim_Δt→0 (v₂ - v₁) / Δt = dv / dt = d²x / dt²

considerando l’accelerazione positiva, ricavare ∆v tramite l’integrazione delle equazioni

differenziali

a = dv / dt percio dv = a(t_c) dt quindi ∆v = ∫_v₀^v dv = ∫_t₀^t a(t_c) dt percio

Moto uniformemente accelerato

dato che a è costante abbiamo che v = v₀ +∫_t₀^t a(t_c) dt percio

v = v₀ + a (t-t₀)

dato che sappiamo che x(t) = x₀ + ∫_t₀^t v(t_c) dt e v = v₀ + a (t-t₀) allora

x(t) = x₀ + ∫_t₀^t [v₀ + a (t-t₀)] dt = x₀ + v₀ dt + ∫_t₀^t a (t-t₀) dt percio

x(t) = x₀ + v₀ (t-t₀) + 1/2 a (t-t₀)²

Moto verticale di un corpo

Un corpo lasciato libero di cadere si muove verso il basso con un’accelerazione costante

g = 9.8 m/s², il moto osservato sperimentalmente è dunque rettilineo uniformemente

accelerato.

Il tempo di caduta è

t_c = √2h/g

La velocità al suolo è v_c = √2gh

v(t_c) = v₀-gt

x(t_c) = x₀ + v₀t - 1/2 gt²

Si trosta x_G = v₀ = √2h/g

Il lavoro e energia cinetica

consideriamo un punto materiale P soggetto ad una forza F che subisce uno spostamento d.

Il lavoro W compiuto dalla forza è definito:

_gi F⋅d_s = Fds cosθ

(in fisica)

Cioè, se si usa Fe d_s pensato di limite per n-∞ Con il numero di porzioni aumentato

percorso dell'universo.

AB ∫ F_A d_s da A a B

_gi= ∫^BFt dt_A

m v_d -^B⋅_A

Teorema: Ek qualunque sia la forza che agisca nello spostamento di un punto

materiale da A a B, il lavoro fatto della forza è uguale alla

variazione di energia cinetica del punto materiale stesso.

_{Ek cinetica}

_gi m ² = m m ²

122 22-222 Vb. 2

K/V_a²

= im v₄₇

Teorema è dunque la variazione dell'energia cinetica del punto materiale.

La Potenza in un certo intervallo di tempo è P =

P_costante =

P_c=Fv

Lavoro della forza peso costruttrice

Calcoliamo il lavoro della forza peso mg su uno spostamento da A a B

_A∫_B F_Al

^g_{t^{B mg}}

= -∫ _{_B}

= ∫^B dz = ∫^B mg

-mg ^B _A

Proch = mg(_{B2< )}

^EP_=mgz

Rache vice nelle culo avvenute

Diversa da zero, quella lunga l'orea è

Sistemi di riferimento del centro di massa

La quantità di moto totale del sistema risulta nulla se misurata nel sistema di riferimento del centro di massa anche se singoli termini sono diversi da zero.

Velocità relativa

Velocità del CM

\[ \vec{r_i} = \vec{R}_{CM} + \vec{r'}_i \]

La posizione e la velocità del centro di massa rispetto a se stesso sono \( \vec{0} \) (nulli),

La quantità di moto totale del sistema:

\[ \vec{p'} = \sum m_i \vec{v_i} \sum m_i (\vec{V}_{CM} + \vec{v'}_i) \sum m_i \vec{v}_i \vec{U}_{CM} = \frac{\sum m_i \cdot \vec{v}_i}{m_{tot}} \]

Perciò \( \vec{U}_{CM} = \frac{\sum}{m_{tot}} = \sum m_i \cdot \vec{v}_i \)

Perciò \[ \vec{p'} = m \vec{v}_{CM} - m \vec{v}_{CM} = 0 \]

Valgono le relazioni

\[ \frac{D L}{d t} \left( \vec{E} \right) \]

Il teorema del momento angolare vale anche per le grandezze calcolate nel sistema di riferimento del CM purché lo si prenda come polo.

Teorema di König

Energia cinetica calcolata nel sistema di riferimento inerziale

\[ E_K = \frac{1}{2} \sum m_i \vec{v}_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_i (\vec{v}_{CM} + \vec{v'}_i) = \frac{1}{2} \sum m_i \left[ (\vec{v}_{CM} + \vec{v'_i}) \cdot (\vec{v}_{CM} + \vec{v'}_i) \right] \]

\[ = \frac{1}{2} \sum m_i v_{CM}^2 + 2 \vec{V}_{CM} \cdot \vec{v}_i' + \vec{v'}_i^2 \] \[ = \frac{1}{2} \vec{V}_{CM}^2 \cdot m + \sum m_i \vec{v}_i'^2 + \sum m_i \vec{v'}_i^2 \] \[ = \frac{1}{2} \sum m_i \vec{v'}_i^2 \]

ma \[ \sum m_i \vec{v'}_i^2 = 0 \] poiché \[ \sum m_i \] (sopra)

Perciò \[ E_K = \frac{1}{2} \vec{v}_{CM}^2 \cdot m + \sum \frac{1}{2} m_i \cdot \vec{v}_i'^2 \] cioè \[ E_K = \frac{1}{2} \vec{v}_{CM}^2 \cdot m + \bar{E}_K \]

L'energia cinetica del sistema si può dire la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella del sistema rispetto al centro di massa CM.

2° Teorema di König

\[ \vec{L} = \vec{R}_{CM} \times m \vec{V}_{CM} + \vec{L'} \] con \[ \vec{L'} = \sum \vec{r}_i \times m_i \vec{v'}_i \]

Costante

esempio

\[ \int^{r2} \mathbf{M} d L = \int^{t}_{0} t^b \vec{F} dt = \vec{r'} \int^{t}_{0} \vec{f} dt = \vec{r} \times \vec{F} \Rightarrow \int \Delta p \times \vec{R} = \Delta L = \int x \approx m \vec{V} \]