Riassunto esame Curve e Superfici, Prof. Scotti Anna, libro consigliato CURVE & SUPERFICI PER IL DESIGN, Fashion Polimi

Riassunto per l'esame di Curve e Superfici, basato sul corso e sullo studio autonomo del libro consigliato da Prof. Scotti Anna: CURVE & SUPERFICI PER IL DESIGN, Fashion Polimi. Politecnico di Milano - Polimi, facoltà di Facoltà del design. Scarica il file in PDF!

Esame Curve e Superfici

Facoltà Design

Dal corso del Prof. Scotti Anna

Università Politecnico di Milano

Publisher FashionPolimii

A.A. 2020-2021

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Estratto del documento

Curve e superfici per il Design

1.a Sistemi di coordinate

1D - Monodimensionale

1. retta orientata
2. origine (O)
3. unità di misura

Per individuare la posizione di un punto P:

O --- P
X_P = 2

la posizione di P è descritta da X_P (ascissa di P); l'ascissa di un punto è un numero reale.

Punto medio tra due punti

A --- O --- B
X_A = -1
X_B = 2

X_M = ^{X_A + X_B}/₂

M è equidistante da A e B.

Verifica:

distanza AM = |X_M - X_A|
= ¹/₂ - (-1) = ¹⁺²/₂ = ³/₂
MB = |X_M - X_B|
= ¹/₂ - 2 = | ³/₂ | = ³/₂

M è equidistante da A e B: è verificato.

2D - Bidimensionale

Insiemi numerici

Numeri naturali (N) numeri: interi ≥ 0

Numeri interi e relativi (Z) numeri: naturali e relativi (interi +, negativi)

Numeri razionali (Q) includer numeri: interi Z e, quindi anche, i naturali N. fanno parte di questo insieme tutti i numeri esprimibili attraverso un rapporto tra frazione

Un numero razionale, si: esprime tramite una frazione. Le frazioni possono essere proprie e improprie.

a. Proprie: numeratore < denominatore

es. ₃/⁴b. Improprie: quando, semplificandole si ottiene un numero interoc. Aventi significato: corrispondenza ad un numero l'intero

equivalenti
si possono semplificare
ricordare: il denominatore ≠ 0
danno lo stesso risultato

Esistono numeri che non possono essere espressi solo sotto forma di frazione, ovvero i numeri illimitati non periodici. A questi: categoria appartengono: π e 2 (numeri di teorepo) /2

numeri con delle cifre che si ripetono continuamente infinite volte, questi numeri sono detti periodici.

Tangente

tg θ = sinθ / cosθ

Tutto questo vale per angoli acuti

Per generalizzare ai casi con angoli ottusi

arcotangente quadranti

Lo raggio r = 1

Punti e vettori

A(1, 2)

a = ^[1]_[2]

a: vettore corrispondente che "punta" il punto A.

Come vado da A a B? Con un vettore.

Es:

A(4,1)

B(0,2)

a = ^[4]_[1]

b = ^[0]_[2]

AB = b - a = ^[0]_[2] - ^[4]_[1] = ^[-4]_[1]
BA = a - b = ^[4]_[1] - ^[0]_[2] = ^[4]_[-1]

Es:

A(-1,0)

B(0,2)

AB = ^{[0 - (-1)]}_{[2 - 0]} = ^[1]_[2]
BA = ^{[-1 - 0]}_{[0 - 2]} = ^[-1]_[-2]

NB: punto di arrivo - punto di partenza

Moltiplicazione tra vettori

Prodotto scalare
- a ⋅ b = numero (scalare)

1. Prodotto scalare

a ⋅ b = numero (scalare)

δ = angolo compreso tra a e b

a ⋅ b = |a| |b| cos δ

a ⋅ b = modulo di a modulo di b cos δ

a ⋅ b è nullo quando:

a è nullo (|a| = 0)
b è nullo (|b| = 0)
cos δ = 0 → è nullo se i vettori sono ⊥

Esempio: a ⋅ a = |a| |a| cos δ = |a|² cos (0°) = |a|²

u = _[0³]

v = _[√₂²]

Determinare l'angolo compreso tra u e v.

u ⋅ v = 0 ⋅ 0 + (-2) ⋅ (-3) ⋅ (2) = -6

|u| = 3

|v| = √8 = 2√2

cosθ = -⁶/_3⋅2√2 = -¹/_√2 = -^√2/₂

θ = arccos(-^√2/₂) = ^3π/₄ (135°)

Angolo > π/2 (90°)

π/2 < θ < π

sinθ > 0

cosθ < 0

Prodotto scalare

a·b = |a| |b| cosθ(se a⊥b → a·b=0)

a·b = [ a_x ] [ b_x ] .........[ a_y ] [ b_y ] .........[ a_z ] [ b_z ]

a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

cosθ = (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) / (|a| |b|)

Es. u = [ 2 ] v = [ 2 ]......[ 1 ] [ 1 ]......[ 2 ] [-2 ]

Determinare l'angolo compreso θ tra u e vu · v = [ 2 ] [ 2 ]...............[ 1 ] [ 1 ]...............[ 2 ] [-2 ]= 2 + 0 - 2 = 0 → prodotto scalare nullo u ⊥ v

Quindi θ = π/2 (90°)

Trovare il valore di a tale per cui u ⊥ v

Bongo: u · v = 0 → u ⊥ v..........θ = π/2 = 90°

[ 1 ] [ 0 ] 1 · 0 + 2 · 1 + 2 · a = 0[ a ] [ 1 ][ 2 ] [ 1 ] → a = -2

Es. u = [ 1 ] v = [ 2 ]......[ a ] [ 1 ]......[ 2 ] [ n ]

a. Determinare l'angolo compreso θ tra u e vb. Determinare la proiezione di v sulla direzione di u (v_u)c. Determinare il vettore di modulo v_u con direzione e verso di u.........→ proiezione ortogonale

Verifica: cib0?

cib0: a alebra cil'è

-2₂
-

3₂
-

-6+2+4=0

es: ₄ ²

Determinare i valore di a tale per cui i prodotto vettoriale è nullo.

se a=2

² ₂ | 2 |

-> Sono in proporzione :) x b J

⁸₇ a x b | 0 |

poiché

μ=² ₁ 0

ν=² ₀

a. Determinare i versi û e î

û = ¹ ² = ¹

&iota_1;

- µ | 1²

- |

&iota_m;

&ui:¹²⁰=√⁵;

^¹ι

^:_usec>¹

2₀4

^:o;

^ʂμ;² ⁰ ⁱ ²;

^0_

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