Appunti:Corso di Sistemi dinamici

Programma del corso Sistemi Dinamici per Ingegneria Informatica ed Elettronica per l'Automazione e TLC

Anno Accademico: 2012/2013

Docente: Prof. Luigi Gilelmo

Assistente: Gambino Giovanni

Introduzione ai sistemi dinamici

Il concetto di sistema, ingressi e uscite, rappresentazioni a blocchi. Incertezze di modello e disturbi. Retroazione negativa e retroazione positiva.

Equazioni ingresso-uscita, soluzione esplicita, ruolo delle condizioni iniziali, funzioni di trasferimento. Invarianza della f.d.t., rappresentazione con stato, f.d.t. di sistemi in cascata. Guadagno statico.

Modelli di semplici sistemi meccanici. Legge di moto rotatorio. Modelli di sistemi elettromagnetici, termici, idraulici. Curva di crescita logistica.

Linearizzazione di un sistema non lineare intorno ad un punto di equilibrio. Sviluppo in serie di Taylor. Sistema linearizzato in forma matriciale: matrice jacobiana.

Analisi mediante trasformazione di Laplace

Trasformata di Laplace: definizione, calcolo di trasformate di gradino, rampa, esponenziale complesso, seno e coseno. Linearità della trasformata. Trasformata dell'integrale e della derivata. Decomposizione in fratti semplici: caso di poli reali e distinti, e di poli complessi e coniugati, di poli con molteplicità maggiore di 1.

Analisi con la trasformata di Laplace dell'equazione lineare del primo ordine e del secondo ordine. Risposta forzata e risposta libera.

Modi costanti, esponenziali convergenti e divergenti, pseudo-periodici convergenti e divergenti e relazione con poli nel piano complesso.

Analisi delle risposte indiciali. Risposta indiciale di una f.d.t. del 1° ordine. Costante di tempo, tempo di assestamento, tempo all'emivalore. Risposta indiciale di un sistema del 1° ordine con zero, di un sistema del 2° ordine con poli reali e distinti di un sistema del 2° ordine con poli reali e uno zero.

Sistemi a fase non minima. Ordine relativo e prontezza di risposta.

Poli complessi e coniugati: pulsazione naturale, fattore di smorzamento. Risposta indiciale relativa: tempo e percentuale di sovraelongazione.

Sistemi propri, strettamente propri e impropri.

Risposta al gradino di un sistema del 2° ordine con poli complessi e uno zero. Trasformata di Laplace di funzione razionale. Analisi della risposta di un sistema i-u generico: risposta libera + forzata. Segnale

impulsivo e sue proprietà. Risposta impulsiva e f.d.t. Eccitazione dei modi naturali. F.d.t. di sistemi interconnessi.

Risposta a regime e transitoria, libera e forzata di sistemi in forma di stato.

Definizioni di stabilità asintotica e marginale, instabilità debole e instabilità. Criteri di stabilità sui poli e sugli autovalori. Stabilità ed attrattività dei punti di equilibrio. Polinomi Hurwitz. Necessità dei coefficienti dello stesso segno. Sufficienza per 1^o e 2^o ordine. Criterio di Routh. Stabilità e interconnessione.

Proprietà di linearità e stazionarietà di Laplace applicate per la risposta ad un segnale composto.

Analisi in frequenza

Introduzione alla serie di Fourier. Segnali periodici, serie, proprietà. Scala logaritmica delle frequenze. Forme esponenziali della serie di Fourier. Trasformata di Fourier, proprietà, trasformata notevoli. Teoremi dell’energia e loro significato.

Risposta di sistemi lineari a.s. a ingressi sinusoidali. Risposta armonica e f.d.t. Scomposizione della risposta e segnali periodici nella somma delle risposte. Caratterizzazione in frequenza dei sistemi, frequenze di taglio. Decibel. Diagrammi di Bode del termine costante. Diagrammi del termine monomio, binomio, trinomio. Procedura di tracciamento dei diagrammi di Bode di un sistema di ordine qualunque.

Sistemi ad eventi discreti

Esempi di automi: magazzino, macchina con due e tre stati, macchina che può lavorare due pezzi. Automi con ingressi ed uscite: macchina di Moore, macchina di Melay. Eventi sincronizzati. Automa composizione concorrente: definizione, una macchina ed un magazzino di capacità due.

Reti di Petri Posto/Transizione: marcatura e sistema di rete, abilitazione e scatto, equazioni di stato e proprietà dinamiche elementari. Modellazione con le reti di Petri, esempi di modellazione: Processo emittente-ricevente, elaborazione di flussi di dati, processo lettori-scrittori, processi produttivi, incrocio semaforizzato.

Analisi mediante grafo di copertura, grafo di raggiungibilità.

Controllo delle reti di Petri mediante monitor. GMEC, GMEC multiple, posti monitor, monitor e sistema a ciclo chiuso. Controllo di una rete di Petri relativa ad un processo produttivo: traduzione delle specifiche e sintesi della rete a ciclo chiuso.

MATLAB^®/Simulink

Utilizzo di Matlab/Simulink per la simulazione di sistemi lineari e non lineari e la rappresentazione grafica dei risultati nel tempo e nella frequenza.

Bibliografia consigliata

Testi di riferimento:

• Bolzern, Scattolini e Schiavoni. Fondamenti di Controlli Automatici. McGraw-Hill
• Franklin, Powell e Emami-Naeini. Controllo a retroazione di sistemi dinamici. Vol.1. EDISES

Proviamo a calcolare la velocità per t generico.

v(t) =

• t ≤ 5   ¹⁰⁄_3.5 t
• t > 5   ⁵⁰⁄_3.5

tra 0 e 5 il moto è uniformemente accelerato.

Supponiamo che la forza in ingresso cresca linearmente con il tempo.

α(t)

u(t) =

• 2t   0 < t ≤ 5
• -10   5 < t ≤ 10
• 0   t > 0

un ingresso e la velocità. Il fattore di proporzionalità si chiama guadagno statico.

Il guadagno statico altro non è che la funzione di trasferimento calcolata per s=0.

L ^dy/_dt = u

sL/y = u

y = 1/_sL u

Che formalmente è identica a quella del sistema meccanico.

u = Ry + L ^dy/_dt

y = 1/_Ls + R u

Che è identica a quella del circuito in anello. Per risolvere il sistema deve essere nota la condizione iniziale.

Si vede che per ū ≠ 0 il sistema non ha punti di equilibrio.

Facciamo il caso di ū = 0 la soluzione è:

y(t) = y(0)

Il sistema permane nella sua condizione iniziale quindi si hanno infiniti punti d'equilibrio. I sistemi lineari o hanno 1 punto d'equilibrio o infiniti o nessuno. Per i sistemi non lineari sarà diverso.

Vediamo il circuito RLC.

Calcoliamo la funzione di trasferimento attraverso le leggi di Kirchoff.

Troviamo la derivata maggiore e calcoliamo

in funzione delle altre:

_Θ = - β/mL Θ - g/L sen Θ + 1/mL v cos Θ

E da questo audiamo a fare lo schema di

lord Kelvin

Riscaviamo ora l’equazione del pendolo:

mL_Θ + β^Θ + mg sen Θ = v cos Θ

Questo è una rappresentazione inorvo-mieta (..) del’ altra rappresentazione e quella con le variabili di stato che sono fatte questo è l' esteso del sistema le variabili di stato mi indicavo con

• x:
• _x1 = Θ
• _x2 = ^Θ

Nel blocco funziona vado ad inserire num G e delle:

RAPPRESENTAZIONE CON STATO

Nella rappresentazione io leggo sempre la y in funzione di x. Vi è uno stato che varia nel tempo è quello che distingue un sistema dinamico da quello statico. Un sistema statico non ha uno stato. Per lo stato introduco altre quantità che indico con x, lo stato è un vettore con tanti vettori quante è l'ordine del sistema.

L'osservazione dello stato è la teoria per cui si ricava lo stato del sistema note le misure in uscita.

Il controllo linea influenza l'ingresso affinché si abbia lo stato desiderato.

Prendiamo il sistema del cortodino:

• m v ̈ = 0 → Rappresentazione i-o
• m x ̈ = 0 V = X → Rappresentazione con stato