Appunti completi Geometria analitica e algebra lineare

COSTRUTI AL'ALGEBRA

TESTO: "TEORIA E ALGEBRA" di LUCIO A. APOLA

DATA: ESAME 14-02-72

INTOGET: Tutti gli elementi che ragionano la proprietà appartenete forma piedi un insieme.

Numerico: {1, 2, 3, ...}

• Z: numeri noti
• Q: razionali {m/n, m, n ∈ Z, m ≠ 0}
• R: reels
• C: complex {a + jb}

Per due insiemi A e B possimo differire nella pendenza:

A ∪ B: unione di insiemi

• A ∪ B: {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩ B: intersezione tra insiemi

• A ∩ B: {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Insiemi disgiunti: intera insieme invertita ∅

A × B: trompa cartesiana

• A × B: {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ad esempio N × Z: {(m, n) ∈ N ∧ Z ∈ Z}

In questo: (2, 3) ∈ N × Z

In questo: (-2, 3) ∉ N × Z

A·A=A²={(x,y) ∈A}

R={(x,y)|x,y ∈R}

Operazioni: qualsiasi essa presi sia due elementi nei restituisce uno solo elemento

Operazioni sommate:

• f:× →
• (, )→→ ∈

Operazione generale: ∗

• A×A →A
• (,) |→ ∗ in generale ∗ ≠ ∗, quindi bisogna:

molto importante: Se invece ∗ = ∗ l'operazione II detta COMMUTATIVA

Operazione a 3 aspetti:

• [∗(∗)]≠[ ∗]∗ l'operazione è associativa oppure è diversa

Elemento neutro:

• e ∈A si dice elemento neutro se ∀∈A, ∗ = ∗ =
• Se il GRUPPO ha un elemento neutro allora è un MONOIDE;

Esistenza del simmetrico:

• ∀∈ ∃∈: ∗= ∗=
• Se questo vale VII il simmetrico quindi il gruppo possiede:

L'elemento neutro detto di simmetrico

|V - W| = |N - M|

Vettori non paralleli

prodotto del parallelogramma.

Componiamo il 2º termine dei vettorifreccia:

(V, +) le strutture algebriche

vettore sommavettoriale

È ASSOCIATIVA

Esiste il VETTORE NULLA (elemento neutro)

Si può definire il vettore opposto (-v), stesso elemento, stessa direzione, modulo opposto

La commutatività

QUINDI (V, +) È UN GRUPPO ABELIANO

(vx wy − vy wx) k = |v x w| n

| v x w | = √ (vx wy − vy wx)²

v x w = (vy wz − vz wy) i − (vx wz − vz wx)

k + (vx wy − vy wx) j

= (vy wz − vz wy) i + [− (vx wz − vz wx)] j + (vx wy − vy wx) k

= i j k

v = vx vy vz

w = vx wy wz

Example: v = 2 j + 3 k u = 4 i − k | v x w | = √ (3 − 4) − k

| v | = √ 5

| w | = √ 13

v x w = 2.4 + (− 3.4 - 0 - k) = 2 i + 3k

v x w = − i + 2 j + 3 k

shaded area

sin α = R/|w| → R = |w|sin α

|v x w| = |v| |w| sinα √n |v| |w| sin α = a

Lezione 4 29-10-21

DIPENDENZA VETTORIALE

Si considera intuibilmente dipendente dai vett.

ESEMPIO

{(1,1,0) - (1,3,0) (1,0,1)}

-12(3.0)1(3.0)1 = 0

quindi v₂ (2-3v₂,1)

LINEARE DIPENDENZA

abclerjainve +X=0

ESEMPIO

(V-V₁) = (V₂+V₁)

(-3,-2,-2) +2V +2V₃ -V

PER PARTICOLA

U=V+00

x di un piano

2) Se il sistema di generatori minimali _Y, allora se P lo decomponiamo con vettori di un sottospazio:

A + B è vettore di B ..... s'appoggerà altrui 3...{B} dipendente da P.

Vieta appoggia su:

• A ∈ Y N {A}N=P
• B ∉N

Sia Y ell. Finite B genera N, 39 Finfinite A=N

• V = B₁xB₂+t - t P(con N)

Vi sono:

• V P(αxα+α+..bnk(β+M)..)B+x(2Φ_Ne) - t P

punti.:

• Quando V ₂²x + b₂t N...(P_Km+P_m..)Nn

Es. complete le equazioni erano i coefficienti del ugrark N e vincibi

N₃:β x2 t.... - t(β t N)

Supp. che B [il nome V era in essa cacoia poterat: 3^L ∀ D

Dimostrazione O

Rp. E oltre quote

RA= E non sistem. indipendente massimo P.(cos X diretto. E. una base più formato quanto.. l θ V

[Λv∈E] d ik︀ ..j ν₁V₂ + ....+ n.. y

Importa il vettore generato di dx ..:

O¹ = V - ∀dΛv i, v₂,_Pun y

∑ quindi una combinazione intatte lavore di vettori del sistema e porffiché è face possibile definire un intanto. Letti poi sescuo il tema indipendente.

Rpi. E il sistema E. un riporformi massive p e'…

2) Rep B è un vettore indipendente) maximum tra ()km rex

TQ {U}[V, 1]≠a y,i ux di dependent, di questo, di essi V di non, tutti nulli:∇₁^Td ν₂V ₂ + …. + b^xn. = 0

Può essere che sia omnilinea Auit Y di quanti dim A, B₁, ..., B_p dip Y?

V di W per 1 = k alfè

A = 0 per questo A, = m tru qui ved Y, th dico und W.

Vedi così propel god di. S = V₁ ∩ V₂ e aflinge che S ⊆ z k (y₁, y₂, y₃, ..., y_n) e un domini di precissen-

e le vettk und con, n - 1 n sono fondamentalte indepentei e posse aflaffluire si rondo?

afimando 3.

B₁..., B_n ⊆ Sm (y₁, y₂, y₃) ne th ompacpatzi stick vettot y, ma titre?

No pah l, quim in vettori (apechi pelta pr p hac Nam).

Non rotto scrivera agent di questo es un sistema di gemederi

se m, n, z usiro non lentirà int 4. Ma queste uivei che sono ulmov depend che sa,

erexame assi d W₁, W₂ e y.

Se dipendente.

Q.

TEOREMA DI EQUIVALENZA DELLE BASI.

Se V uno spazio vetttoriala finimamenta generates, buoni O_a (y₁, ..., y_n), O_b (w₁, ..., w_m)

divia and V.

Allora m = m.

Dimostrazione.

B esito B₁, B₂, ... ohni base r il farma di Sstaat.

m so che o.

Ne bahn sco, Ba non pero echre piu lettere sb ba, sempre ed p. Puama che al Sistemi, quandi

m f p m.

Ne hejes jom p ba, ch.

m = m.

Q.

M + N

Somma Diretta (M ⊕ W)

Due sottospazi si dicono in somma diretta se ∀ v ∈ V v = u + w con u ∈ M e w ∈ W con v = u + w

Dimostrazione v, M e W sono in somma diretta se e solo se M ∩ W = {0}.

Caratterizzazione della Somma Diretta

Siano N e W due sottospazi di V.

1. Hp M ⊕ W. In M ∩ W = {0}.
2. Se v ∈ M e W allora:

v = v = o = o = o ∈ M ∩ W

risassumendo V = 0 M e W non avere multipla rappresentazione, perciò della somma diretta.

2. Hp M ∩ W = {0} Pq M ⊕ W.

Sia v ∈ M + W ∃ u ∈ V ha due rappresentazioni

v = M₁ + W₁ v = M₂ + W₂

v = (M₁ - M₂) = (W₂ - W₁)

Sottraendo membro a membro

v - v₀ = o = (M₁ - M₂) + (W₂ - W₁)

o = M₁ - M₂ = W₂ - W₁

W₁ - W₂ = v ⇒ W₁ = W₂ M₁ - M₂ = o → M₁ = M₂

Per cui v ha una sola rappresentazione.