Appunti completi geometria

Moltiplicazione a sinistra per di A

SA: k^m → k^m moltiplicazione a sinistra per di A per X: SA_(x1) = kSA^†... x x^mA^m =: AX

Matrice associata e trasformazioni lineari

Ovvero: ℒ: V → W

F_βV ↓ V ℒ → W F_βW

k^m SA → k^mF_βW o ℒ o F_βV^-1 = SA dove A è la matrice associata po dnella base βV in partenza e βW in arrivo ⇒ Aⁱ = SA(e_i) = F_βW o ℒ o F_βV^-1(e_i) = F_βW(ℒ(e_i))

SA e SB: trasformazioni e matrici

SA: k^m → k^m e SB: k^m → k

A ∈ Mat m×m(k) B ∈ Vt e m×n(k)

SB o SA: k^m SA → k^m SB → k e

SB o SA = SC dove C ∈ Mat e×m(ke) ⇒ C = BA

Funzioni lineari

Siano ℒ₁: V₂ → V₃ ℒ₂: V₃ → V₂ funzioni lineari. ℒ₃ = ℒ₂ o ℒ₂ V₁ ℒ₂ → V₂ ℒ₁ → V₃

Basi e matrici associate

Date β₁ c V₁, β₂ c V₂, β₃ c V₃V₁ V₂ ℒ₁ V₃F_β2 ↓ F_β3 ↓k^m k^mSB → SA → k

La matrice associata a ℒ₁ o ℒ₂ nella base β₁ in partenza e β₃ in arrivo è C = AB

Applicazione lineare e basi

La matrice associata ad un’applicazione lineare è utile per trovare una base del Ker ℒ e di Im ℒ:

Ker ℒ V ℒ V ℒ Im ℒ F_βW Ker ℒ c k^m SA → k^m Im A

Im (ℒ) = F_βW^-1(Im A)

Altre trasformazioni

Sa: k^m → k^m moltiplicazione a sinistra per di A per x;_SA (_x1^{km A} + ... x^AmA^m) = Ax

Ovvero: Ł: V ─⟶ W F_BV ↓   F_BW k^m ⟶ k^m

F_BW ∘ Ł ∘ F_BV^-1 = SA dove A è la matrice associata ad Ł nella base β_V in partenza e β_W in arrivo → A_i = SA (e_i) = F_BW ∘ Ł ∘ F_BV^-1(e_i) = F_BW (Ł(e_i))

Composizione di funzioni lineari

Sa: k^m ⟶ k^m e Sb: k^m ⟶ k^e

A ∈ Mat mxm (k) B ∈ Mat exm (k)

Sb ∘ Sa: k^m ⟶ k^m k^m ⟶ Sb ⟶ k^e

Sb ∘ SA = SC dove C ∈ Mat_exm(k) → C = BA

Funzioni lineari e matrici

Siano Ł₁: V₂ ⟶ V₃   Ł₂: V₃ ⟶ V₂ funzioni lineari.

Ł₃ = Ł₂ ∘ Ł₂   V₁ ⟶ _Ł2   V₂ ⟶ ^Ł₁   V₃

Matrice di cambiamento di base

Date β₁ ⊆ V₁, β₂ ⊆ V₂, β₃ ⊆ V₃

V₁ V₂ Ł₁ V₃F_β2       F_β3k^m      →       k^e

S_B S_A La matrice associata a Ł₁ ∘ Ł₂ nella base β₁ in partenza e β₃ in arrivo è C = AB

Isomorfismi lineari e matrici

La matrice associata ad un'applicazione lineare è utile per trovare una base del ker Ł e di Im Ł:

ker Ł ⟶ V ⟶ k^m → Im Ł    →   F_BW

ker Ł ⊂ k^m → S_A →   →  F_BW^-1 (Im A)

Proprietà delle matrici

RANGO (A) = NUMERO MASSIMO DI COLONNE LIN. INDIPENDENTI

MATRICI ASSOCIATE A ISOMORFISMI LINEARI: LE MATRICI INVERTIBILI

α: V → W è UN ISOMORFISMO LINEARE ↔ α è INIETTIVO E SURGETTIVO

α LINEARE, ker α = {0_V} ⇒ Im α = W

Basi di V e W

α LINEARE, β = {v₁, ..., v_m} BASE DI V ↔ E(B) BASE DI W

α LINEARE, dim V = dim W ker α = {0_V}

α LINEARE, dim V = dim W Im α = W

IN QUESTO CASO α è LINEARE ED è L'INVERSA E SI DENOTA CON α^-1.

Matrice di cambiamento di base

V SPAZIO VETTORIALE. SIANO β₁ = {v₁, ..., v_m} E β₂ = {w₁, ..., w_m} BASI DI V.

V      IdV     V

β₁ |------------| β₂     k^m

B |     k^m BE RAPPRESENTA IdV NELLA BASE β₁ IN PARTENZA E β₂ IN ARRIVO SI CHIAMA LA MATRICE DI CAMBIAMENTO DI BASE