SA: km → km Moltiplicazione a sinistra per di A per X;
SA: x1 … xm = Ax1 + … + xmAm =: AX
ovvero: L: V ⟶ W
FBWW ⟶ V L ⟶ W FBW↓ ⨟ ↓ SA:⨟ km
FBW o L o FBV = SA dove A è la matrice associata ad L
nella base BV in partenza e BW in arrivo
AL = SA(ei) = FBW o L o FBV-1(ei) = FBW(L(e(i))
SA : km ⟶ km e SB: km ⟶ k e
A ∈ Mat m×m(k) B ∈ Mat e×m(k)
SB o SA: km SA km SB k e
SB o SA = Sc dove C ∈ Mat e×m(k) ⟹ C = BA
Siano L1: V2 ⟶ V3 L2: V3 ⟶ V2 Funzioni lineari.
L3 = L2 o L2 : V1 L2 V2 L3 V3
Date β1 ⊂ V1 β2 ⊂ V2 β3 ⊂ V3
V1 V2 L1 V3 La matrice associata a L1 o L2
FB2↓ km ⊝ km⨟ k e
SA: sb La matrice associata ad un’applicazione lineare è utile per
trovare una base del Ker L ⟶ di Im L:
ker L ⟶ V L ⧅ Im L ker(e) = FBV-1(ker L)
ker L ⊂ km SA ⧀ km ⧁ Im A Im(e) = FBW-1(Im A)
Rango (A)
Rango (A) = numero massimo di colonne lin. indipendenti
Matrici associate a isomorfismi lineari: le matrici invertibili
L: V → W ←→ L è un isomorfismo lineare ←→ L è iniettivo e suriettivo
L lineare: ker L = {0v}; Im L = W
L lineare: β = {v1, ..., vm} base di V e L(B) base di W
L lineare: dim V = dim W ker L = {0v}
L lineare: dim V = dim W Im L = W
In questo caso L è lineare ed è l'inversa e si
denota con L⁻¹
Matrici di cambiamento di base
V spazio vettoriale. Siano β1= {v1, ..., vm} e β2= {w1, ..., wm}
basi di V.
IdV
V → V
β1 ↓ ↑ β2
kᵐ B kᵐ
BƐ Mat(m×m)(K) rappresenta IdV nella base
β1 in partenza e β2 in arrivo si chiama
la matrice di cambiamento di base dalla
base β2 alla base β1.
B = Fᵦ₂ ○ IdV ○ Fᵦ₁⁻¹ (ei) = Fᵦ₂ (πi)
Prop:
Sia BƐ Mat(m)(K) una matrice di cambiamento di base,
Allora sb è invertibile.
⇒ Vale il viceversa.
dim :
⇒ V = V
Fᵦ₁ ↓ ↑ Fᵦ₂
kᵐ B kᵐ
ker (SB) = ker IdV: {0v}
⇒ dim ker SB=0
⇒ SB è invertibile
⇒ SB : kᵐ → kᵐ è invertibile esiste SB⁻¹: kᵐ → kᵐ
tale che SB ○ SB⁻¹ = Idkᵐ
kᵐ Idkᵐ kᵐ
Sᵦ⁻¹ ↓ ↑ Sᵦ
kᵐ x0 - y0 ∈ ⟨υ2, υ3⟩
Se x ∩ Δ = P0 => P0 = x0 - t1υ2 = y0 + t2υ2 + t2υ3
Basi Ortogonali
b: VxV → k una funzione bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale finitamente generato V
Una base di V si dice ortogonale se
b(ni,nj)=0 ∀ i ≠ j
Due vettori ni,nj ∈ V si dicono ortogonali se b(ni,nj)=0
Nucleo di una forma bilineare simmetrica
b: VxV → k forma bilineare e simmetrica su V
ker b = { v ∈ V | b(n,v) =0 ∀ n ∈ V } = { vettori ortogonali a tutti i vettori, rispetto a b }
ker b ⊂ V sottospazio vettoriale
ker ba = ker A (se A= AT) dim ker b= nullità della forma bilineare b
Teorema di Sylvester (della Segnatura)
b: VxV → R forma bilineare simmetrica
β= {n1,...,nm} base ortogonale di (V,b)
b(ni,ni):= ni2
- β+={n1,...,np}={ni ∈ β | b(ni,ni)>0 } |β+|=p
- β-={np+1,...,np+q}={ni ∈ β | b(ni,ni)
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