Appunti completi Econometria

ECONOMETRIA – Matteo Manera

1) Problema economico

Esempio di microeconomia : misurazione dell’elasticità della domanda di un bene al proprio prezzo

Domande concrete, reali che richiedono risposte reali.

dove è la quantità, è il prezzo (grafico curva di domanda inversa)

= () → à = − ∗

,

Valutiamo i due casi estremi:

Ipotizziamo una curva di domanda verticale, quantità fissa di un bene, elasticità = 0, curva perfettamente rigida

Cambia al produttore, al consumatore non cambia, ha la stessa quantità. Quantificare l’elasticità di domanda può

indicarci la tipologia di mercato.

potere di mercato a favore dei produttori



Ipotizziamo ora una curva di domanda perfettamente orizzontale, fisso il prezzo, elasticità → ∞

concorrenza perfetta



2) Tradurre in un modello economico

Sintetizzo il problema economico in un modello, il più semplice possibile,

con b negativo per rendere il modello economico compatibile con il problema economico

= + < 0

Variabile dipendente

Variabile esplicativa

Costanti o parametri intercetta, coefficiente angolare della retta



,

conoscere e misurare l’elasticità significa conoscere il coefficiente

′ = − ∗ = − ∗ < 0

,

Per il calcolo di :

Non è solo funzione di , devo tenere in considerazione anche dei prezzi degli altri beni, del reddito

3) Modello statistico

dove rappresenta l’errore/disturbo (è una variabile casuale)

= + +

Fonti di errore :

- Variabili omesse

- Forma funzionale

- Errori di misura nelle variabili

4) Dati

- Serie storiche : dove tempo

, = 1, … ,

- Cross sezionali : dove individui

, = 1, … ,

- Panel : ,

5) Stima parametri : stimatori appropriati

6) Affidabilità delle stime : inferenza statistica , prova delle ipotesi , intervalli di confidenza

7) Previsioni

Dato il modello statistico rispetto al tempo :

= 1, … , = + +

Denomino con le stime dei parametri e ottenute usando le osservazioni su e

,

Prevedo il valore di tramite

= +

MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE CLASSICO

1) dove tempo

= + + ⋯ + + = 1, … ,

Variabili : dove non è osservato

, , … , ,

Costanti/parametri : non noti

, , … ,

: impatto che una piccola variazione di esercita su = effetto marginale di su

∀ = =

2) Ipotesi : var dipendente coeff angolari errore

= ∀

= + +

intercetta var esplicative (regressori, covariate)

1 …

…

… …

= +

3)  … … … …

= = = =

… … …

( ∙ 1) ( ∙ 1) ( ∙ )

( ∙ 1) ( ∙ ) ( ∙ 1) ( ∙ 1) ( ∙ 1) 1 …

IPOTESI CLASSICHE

() =

 non sistematicità degli errori  )

( = ∀

( ∙ 1) ( ∙ 1)

(′) =

 matrice di varianze e covarianze , dove è uno scalare/parametro non noto

( ∙ ) … ( ) ( ) … ( ) 0 … 0

0 … 0

… … … … ( ) … …

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=

)

= ( = … … … …

… … … … … … … … 0 0 …

… … … … … … ( )

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Varianza di omoschedasticità degli errori



= ∀

Covarianza incorrelazione degli errori



)

( = ∀ ≠

 X (matrice non stocastica , fissa in campioni ripetuti

∙ )

 quindi le colonne di X sono linearmente indipendenti

( ) = <

STIMA DEI PARAMETRI : METODO DEI MINIMI QUADRATI

2 scalare matriciale dato

( (

→ (∙) = = − ) − ) = +

∑

=1

,…, (∙) (∙)

FOC (condizioni del primo ordine) : essendo allora FOC :

= 0 ( ∙ 1) = − ′ − = 0

′ ′

=

sistema lineare di equazioni in incognite () :

 ( ∙ 1) ( ∙ 1)

( (

) = )

−

′ ′ OLS ordinary least squares

=

( ∙ 1)

PROPRIETA’ OLS

1) NON DISTORSIONE



( ( ( ( ( (

= ) = ) + ) = ) + ) − = ) sample bias

per ipotesi classiche 1 e 3

(

− = [( ) ] = − = ) [] = 0

Quindi OLS non distorto

=

2) EFFICIENZA

Teorema di Gauss-Markov : OLS è stimatore più efficiente tra gli stimatori lineari e non distorti per .

Matrice di varianze e covarianze di −1 −1 −1 −1

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= − − ′ = ∙ = = 2° ℎ =

( ∙ )

( ( (

= ) ) = )

Se da questa matrice volessi ricavare la , devo cercare l’elemento posizionato in (,

( ) ) =

Dimostrazione Th Gauss-Markov : confronto tra ols e qualsiasi altro stimatore per che sia non distorto per

Sotto le hp classiche, OLS è BLUE

=

vs dove L è una qualsiasi matrice non stocastica

(

= ) ′

( (

∙ ) ∙ )( ∙ 1)

(

= = + ) = +

= [ + ] = + [] = 1° ℎ = ≠

Ipotesi : perché sia non distorto devo ipotizzare che non distorto per ipotesi



= =

sample bias



(

= = + ) = + = + = + − =

] ]

= ( − )( − )′ = [ = [ = 2°ℎ = ′

confronto tra

 (

= ) = ′

Senza perdita di generalità , con lo scopo unico di facilitare la comparazione, scrivo L come:

−

′ ′

= + dove D è una qualsiasi matrice non stocastica

( (

∙ ) ( ∙ ) ∙ )( ∙ ) ma per ipotesi (di non distorsione per )

[( (

= ) + ] = ) + = + =

quindi , e sono ortogonali

=

[( [( ( ( ( (

= ) + ] ) + ] = ) ) + ) + ) + =

(

= ) + ′ Matrice semidefinita positiva (perché?) matrice semidefinita positiva



(

= ) + ′ − =

Nel caso scalare :

( = 1) − ≥ 0

Lo stimatore OLS è più efficiente (ha varianza non superiore) rispetto a qualsiasi altro stimatore non distorto.

VALORI ACTUAL/OSSERVATI , VALORI FITTATI E RESIDUI

valori actual o osservati (fenomeno economico da spiegare)

= valori fittati (spiegazione del fenomeno offerta dal modello di regressione)

= valori residui (parte del fenomeno che il nostro modello non spiega)

=

In particolare dove è matrice di proiezione matrice quadrata ordine

(′)

= = = ∙ ,

operatore che applicato a produce i valori fittati della

regressione di su

mentre dove è annhilator matrix

(

= − = − = − ) = ∙

operatore che applicato a produce i residui della

regressione di su

Quindi ovvero i valori actual osservati si possono scomporre in una parte che è spiegata dal modello e

= +

un’altra parte che il modello non riesce a spiegare.

Proprietà di P e M

 Simmetria = → = ′

e

(′) (′)

= =

 Idempotenza = → = e

(′) (′) (

= = = − )( − ) = − − + = − =

 Ortogonalità = 0

( − ) = − = − = 0

Errori e residui non osservabili osservabili , osservabile, e osservabile

(

= = = ) ′

( ∙ 1) ( ∙ 1) dove

( ( (

= = + ) = + = = − ) = − ) = − =

quindi P, M e X sono ortogonali

Gli errori non sono i residui ma comunque sono imparentati.

il valore atteso dei residui è nullo come il valore atteso degli errori

= () = () = 1° ℎ = eteroschedasticità



′ = ( ′) = (′) = 2°ℎ = =

autocorrelazione



′

 ortogonalità tra residui e regressori (ciascun regressore)

= → = = = 0

( ∙ )( ∙ 1)( ∙ 1)

 se modello di regressione ha un’intercetta, allora la media campionaria dei residui è nulla

∑

= =

quindi significa che la sommatoria di ogni riga della matrice è 0 ∑

→ = 0 → → =0

′

=

 ortogonalità tra residui e valori fittati perché MP=0

→ = = = 0

(1 ∙ )( ∙ 1)(1 ∙ 1)

 se il modello di regressione ha un’intercetta, allora la media campionaria dei valori osservati è uguale

= alla media campionaria dei valori fittati ∑ ∑

∑ =∑ +∑

→ = + → = + ∀ → → =

STIMA DELLA FUNZIONE DEL CONSUMO : RELAZIONE CONSUMO – REDDITO

Dato il consumo e il reddito per ogni individuo ; e

= 1, … , ≡ ≡

IPOTESI

 dove k sono il numero delle variabili 

= = + +

 

= ∀ = + +

MODELLO STATISTICO : = + +

MODELLO ECONOMICO : = +

INTERPRETAZIONE DEI PARAMETRI e

propensione marginale al consumo

= =

variazione di prodotta da variazione di

=

EFFETTO MARGINALE di su

= (0 < < 1)

consumo di sussistenza (componente autonoma del consumo) ;

=

quando il reddito è 0 , il consumo è

Valgono poi tutte le ipotesi e considerazioni fatte precedentemente.

Con intercetta, i residui hanno media nulla e la media dei valori fittati e pari alla media dei valori osservati.

Osservazioni :

 Relazione (correlazione) positiva tra e

 Relazione tra e non necessariamente lineare

 Al crescere di , la variabilità di aumenta

STIMA DEI PARAMETRI

Per misurare/stimare i parametri non noti e in modo appropriato, ci serviamo della seguente regola:

ottenere i valori di e che minimizzano la somma degli errori al quadrato minimi quadrati ordinari



(∙) =0

2 dove Condizioni 1° ordine : sistema 2 equazioni in 2 incognite

= − −

∑

=1 (∙)

, =0

̅

∑( )( ) ̅

 

= = = −

∑( )

Retta di regressione , valori fittati : valori fittati o previsti

= +

Residui : = − = − ( + )

LABORATORIO 1

File STATA dataset.DTA

→

Per importare il dataset : o da “file” e poi “open..” oppure la funzione USE “C:\ … \ dataset.dta”

Contenuto delle variabili : LIST variabile se non specifico nessuna variabile lo fa vedere di tutte

ogni colonna è una variabile, e ogni riga un individuo

Principali statistiche descrittive sulle variabili : SUM o SUMMARIZE , detail

Distribuzione empirica di variabili dipendente ed esplicativa : HIST variabile, NORMAL title(titolo) xtitle() ytitle()

Coefficiente di correlazione lineare: CORR vary varx

Scatter plot consumo-reddito : SCATTER vary varx

Stima del modello di regressione lineare : REG vary varx

Valori fittati : PREDICT yhat

Retta di regressione : SCATTER vary yhat varx

Residui : PREDICT uhat, RESIDUALS

Se voglio fare la regressione solo per due individui (il 7 e 8) : REG vary varx IN 7/8

PREDICT uhat IN 7/8, RESIDUALS

DATASET CONSUMPTION

Variabili : consumption ( ) e income ( )

. ":\\\\\. "

. +-------------------+

| consum~n income |

|-------------------|

1. | 9.46 25.83 |

2. | 10.56 34.31 |

…………………………………………………

40. | 48.71 115.46 |

+-------------------+

.

Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max

-------------+--------------------------------------------------------

consumption | 40 23.5945 8.176025 9.46 48.71

income | 40 69.8 19.82269 25.83 115.46

(grafico istogramma + curva normale)

. , (grafico istogramma + curva normale)

. , (obs=40)

.

| consum~n income

-------------+------------------

consumption | 1.0000

income | 0.5631 1.0000

(grafico punti)

.

Ogni punto è un individuo (ci sono 40 punti)

 Possiamo dire che se calcolassimo il coefficiente di correlazione mi aspetterei che sia positivo e non troppo

piccolo, ne troppo grande, attorno a 0,5 (e infatti è cosi)

 Relazione tra e non necessariamente lineare

 Al crescere di , cresce la variabilità di

.

Source | SS df MS Number of obs = 40

-------------+------------------------------ F( 1, 38) = 17.64

Model | 826.635228 1 826.635228 Prob > F = 0.0002

Residual | 1780.4125 38 46.8529606 R-squared = 0.3171

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.2991

Total | 2607.04773 39 66.8473777 Root MSE = 6.8449

------------------------------------------------------------------------------

consumption | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

income | .2322533 .0552934 4.20 0.000 .1203176 .344189

_cons | 7.383217 4.008356 1.84 0.073 -.7312761 15.49771

------------------------------------------------------------------------------

consumo di sussistenza espresso in euro

= 7.4 se aumenta di 1 euro allora aumenterà di 23 centesimi

= 0,23

(option xb assumed; fitted values)

. (i puntini corrispondent