Appunti completi di Microeconomia

L’elasticità della domanda rispetto al prezzo è una misura quantitativa della sensibilità delle decisioni di

acquisto alle variazioni di prezzo di un prodotto. Poiché la curva di domanda è (a meno del caso di Giffen)

− 2

(, ) ∈ ℝ ∀(, ) ∈ ℝ

decrescente, vale necessariamente che .

+

Domanda elastica, rigida, elasticità unitaria (definizioni)

Sia la curva di domanda individuale di un consumatore per un certo bene, e si consideri un generico

2

∈ ℝ

punto . Dico che:

+

1. la domanda in è elastica, se in quel punto la quantità domandata varia più che

proporzionalmente rispetto al prezzo, cioè se vale che:

< −

= −∞.

In particolare, dico che la domanda in è perfettamente elastica se

2. l’elasticità in è unitaria, se in quel punto la quantità domandata varia proporzionalmente rispetto

al prezzo, cioè se vale che: = −

3. la domanda in è rigida (o anelastica), se in quel punto la quantità domandata varia meno che

proporzionalmente rispetto al prezzo, cioè se vale che:

> −

= .

In particolare, dico che la domanda in è perfettamente rigida (o anelastica) se

Interpretazione geometrica dell’elasticità

= − ∙ ,

Si consideri la curva di domanda lineare espressa in forma inversa. L’elasticità è calcolata

= − ∙ −

come segue: . Si nota nell’equazione un termine costante, , che è il reciproco della pendenza

(, )

della retta che rappresenta la curva; e il termine , che varia a seconda del paniere scelto.

= , =

Inoltre, si osserva che la curva è perfettamente elastica per perfettamente rigida per , e che

=

l’elasticità è unitaria nel punto medio fra i due, cioè per .

Elasticità e spesa totale

() ≔ () ∙

Detta la curva di domanda individuale di un consumatore per un certo bene, sia la

, ()).

spesa totale del consumatore (dati

= − ∙ .

Sia in particolare una curva di domanda lineare del tipo Varrà allora:

() = ∙ − ∙

per cui si osserva che: ),

[,

1. la spesa totale varia come la quantità domandata nell’intervallo cioè se la domanda è

elastica.

2. la spesa totale è massima per la quantità , cioè se l’elasticità è unitaria.

( , ],

3. la spesa totale varia come il prezzo nell’intervallo cioè se la domanda è rigida.

Elasticità incrociata (definizione)

,

Siano due beni qualsiasi. Dico elasticità incrociata della domanda del bene rispetto al prezzo del

, ∆

bene ed indico con , la variazione percentuale della quantità domandata di bene rispetto

%

∆ .

ad una variazione percentuale del prezzo del bene

% ∆

≔ ∙

∆

∈ ℝ,

Al contrario dell’elasticità ordinaria, per l’elasticità incrociata vale ovvero può essere sia

positiva che negativa. In particolare:

, < ,

1. dico che sono beni complementari se cioè se l’incremento di prezzo dell’uno fa

diminuire la quantità domandata dell’altro.

, > ,

2. dico che sono beni sostitutivi se cioè se l’incremento di prezzo dell’uno fa aumentare

la quantità domandata dell’altro.

Si noti che nel caso di una funzione di utilità di tipo Cobb – Douglas o di tipo perfetti complementi

l’elasticità incrociata è nulla: si ha cioè indipendenza fra le variazioni di prezzo e quantità domandata dei

due beni.

Teoria della scelta in condizioni di incertezza

La teoria della scelta in condizioni di incertezza studia come avvenga la scelta dell’individuo quando cade

l’ipotesi dell’informazione perfetta.

Scelta in condizioni di incertezza

Una scelta in condizioni di incertezza può essere modellizzata come un gioco d’azzardo, o come una

lotteria.

Lotteria (definizione) : → ℝ, , … ,

Dico lotteria, ed indico con la variabile aleatoria che assume i valori monetari

, … ,

rispettivamente con probabilità .

⋮ ⋮

≔{

Valore atteso (definizione)

(),

Essendo una lotteria, dico valore atteso della lotteria, ed indico con la media ponderata dei valori

, … , , … ,

con i pesi .

() ≔ ∑ ∙

=

Dico che la lotteria è equa se il suo costo equivale al suo valore atteso.

Rischio (definizione)

(), .

Essendo una lotteria, dico rischio della lotteria, ed indico con la varianza della variabile

() ≔ ∑[ − ()] ∙

=

Modello dell’utilità attesa

Il modello di von Neumann – Morgenstern formalizza la teoria della scelta in condizioni di incertezza

(),

attraverso la definizione di una funzione di utilità crescente che associ ad ogni valore la

( )

rispettiva utilità per il decisore.

: → ℝ,

Nel modello dell’utilità attesa, dico allora lotteria, ed indico con la variabile aleatoria che assume

),

( … , ( ) , … ,

i valori di utilità rispettivamente con probabilità .

( )

⋮ ⋮

≔{ ( )

Utilità attesa (definizione)

+ +

: ℝ → ℝ (),

Sia la funzione di utilità che associa ad e sia la lotteria come sopra definita. Dico

),

, (), ( … , ( )

utilità attesa della lotteria ed indico con la media ponderata dei valori con i

, … ,

pesi , ovvero il valore atteso delle utilità associate a ciascuno dei possibili risultati della lotteria.

)

() ≔ ∑ ( ∙

=

Poiché l’utilità attesa è calcolabile per ogni lotteria, esiste un ordine delle preferenze del decisore

, … ,

relativamente alle infinite lotterie , basato sull’ipotesi secondo cui, fra queste, egli preferisce la

1

) ), )).

|( = (( … , (

lotteria

Certo equivalente (definizione)

, , () () .

Siano come sopra definiti, e sia l’utilità attesa della lotteria Dico certo equivalente

, (),

della lotteria ed indico con il valore monetario certo che eroga per il decisore la medesima

()

utilità della utilità attesa della lotteria. )

() ≔ |( = ()

() − ()

La differenza è detta premio per il rischio, ed è una misura di quanto un soggetto sia

disposto a pagare per liberarsi dell’incertezza della scelta.

Propensione e avversione al rischio

, … ,

Siano delle lotterie definite come segue:

≔ { … ≔ {

< ⋯ < < < ⋯ < ( , ) = (, ) ∀ ∈ [, ], ≔ ( ),

tali che , ma con dove

per cui si verificano le seguenti condizioni: )

( = ∀ ∈ [, ]

{ )

( > ( ) <

Decisore propenso al rischio (definizione) ()

Dico decisore propenso al rischio un decisore la cui funzione di utilità sia convessa. Se il decisore è

propenso al rischio, vale che: )

() < ( < ⋯ < ( )

per cui, per razionalità, il decisore preferisce la lotteria con varianza massima.

Decisore avverso al rischio (definizione) ()

Dico decisore avverso al rischio un decisore la cui funzione di utilità sia concava. Se il decisore è

avverso al rischio, vale che: ) )

( < ⋯ < ( < ()

per cui, per razionalità, il decisore preferisce la lotteria con varianza minima.

Decisore neutro al rischio (definizione) ()

Dico decisore neutro al rischio un decisore la cui funzione di utilità sia lineare. Per il decisore neutro

, … ,

al rischio, la preferenza fra le lotterie è del tutto indifferente.

1

Assicurazione sul rischio

Se più decisori sono sottoposti a rischi fra di loro indipendenti, è possibile raggiungere un risultato preferito

da tutti, agendo collettivamente.

Aggregazione dei rischi

L’aggregazione dei rischi (o risk pooling) è la strategia, in genere incoraggiata dalle istituzioni e dagli

apparati pubblici, che prevede la creazione di fondi monetari per la condivisione dei rischi indipendenti di

più individui.

La condivisione dei rischi è possibile grazie alla legge dei grandi numeri, secondo cui la probabilità che un

evento accada tende alla frequenza empirica con cui tale evento è rilevato, se la dimensione del

campione di rilevamento tende all’infinito.

Grazie alla legge dei grandi numeri, il rischio, non quantificabile per un singolo individuo, diventa

facilmente stimabile statisticamente per un campione di opportune dimensioni: è determinato, dunque,

anche il costo necessario a riparare il danno causato dal rischio avveratosi, e dunque l’entità del fondo

comune per la condivisione del rischio.

L’aggregazione dei rischi è il principio alla base del