Appunti completi di Microeconomia

Comportamenti individuali

La microeconomia è la scienza che studia come avvengono le scelte degli individui in condizioni di scarsità

(cioè di limitatezza, e non necessariamente assenza) di risorse.

Teoria della scelta

La teoria della scelta studia come avviene il processo decisionale di un soggetto economico, e quale fra un

gruppo di scelte sia razionalmente la migliore possibile.

Introduzione ≔ { , … , },

Si consideri un qualsiasi soggetto. Dico insieme di scelta, ed indico con l’insieme delle

scelte disponibili al soggetto.

Ipotesi fondamentali

Nello studio delle scelte, la microeconomia assume alcune ipotesi fondamentali sul comportamento

umano.

Ordinamento (definizione)

L’insieme è un insieme ordinato, ovvero esiste un ordinamento delle scelte. Un ordinamento è una

classificazione delle scelte, in virtù del vantaggio o dello svantaggio economico che queste producono sul

soggetto.

Informazione perfetta (definizione)

Il soggetto conosce tutte le informazioni relative ad ogni scelta, e dunque è in grado di classificare ogni

possibile scelta a lui disponibile secondo l’ordinamento.

Razionalità (definizione)

Fra tutte le scelte disponibili, il soggetto sceglie sempre la prima nell’ordinamento, ovvero quella

massimamente preferita.

Determinazione della scelta intenzionale

Sia l’insieme di scelta per un individuo.

Scelta intenzionale (definizione)

Dico scelta intenzionale (o scelta razionale) la scelta massimamente preferita dal soggetto in virtù

dell’ordinamento, al netto dei vincoli e delle informazioni disponibili sulla scelta.

Beneficio, costo, surplus

∈

Sia una qualsiasi scelta disponibile al soggetto.

Beneficio (definizione) () ∈ ℝ,

Dico beneficio della scelta, ed indico con il beneficio economico che il soggetto ricava dalla

scelta, valutato in termini monetari.

Costo (definizione) () ∈ ℝ,

Dico costo della scelta, ed indico con il costo economico che il soggetto sostiene per la scelta,

valutato in termini monetari.

Si noti che nella definizione di costo sono compresi:

1. i costi diretti, cioè quelli direttamente imputabili alla scelta.

2. i costi opportunità, cioè i benefici a cui il soggetto rinuncia in virtù della propria scelta.

mentre non rientrano nella definizione di costo i costi non recuperabili, cioè quelli non direttamente

imputabili alla scelta.

Surplus (definizione) () ∈ ℝ,

Dico surplus della scelta, ed indico con il valore ottenuto dalla differenza fra il beneficio ed il

costo della stessa scelta. () ≔ () − ()

Principio di convenienza (definizione)

Dico che è conveniente se i benefici della scelta sono superiori ai costi, ovvero se il surplus è positivo.

Scelta sulla quantità ∈ , ⊆ ℝ

Dico scelta sulla quantità una scelta dove è l’insieme di scelta. Se è una scelta sulla

(): → ℝ, (): → ℝ,

quantità, allora il beneficio, ed il costo, sono funzioni reali di variabile reale.

() ≔ () − (),

Il surplus della scelta è la funzione geometricamente rappresentata dalla distanza

fra il grafico della funzione di costo e quello della funzione di beneficio.

Beneficio marginale (definizione)

: → ℝ . ∈

Sia il beneficio della scelta Sia una scelta. Dico beneficio marginale in , ed indico con

0 0

( ),

il rapporto fra la variazione del beneficio al variare infinitesimale della quantità di scelta.

0 )

( + ) − (

)

( ≔ =

→

Costo marginale (definizione)

: → ℝ . ∈ ( ),

Sia il costo della scelta Sia una scelta. Dico costo marginale in , ed indico con

0 0 0

il rapporto fra la variazione del costo al variare infinitesimale della quantità di scelta.

)

( + ) − (

)

( ≔ =

→

Surplus (interpretazione geometrica)

Date le nozioni di costo e beneficio marginali, è possibile definire geometricamente il surplus fra le scelte

, (), () [, ].

come la differenza delle aree sottese alle funzioni nell’intervallo

∈ ,

Per cui, essendo vale che:

() ≔ ∫(() − ())

Determinazione della scelta intenzionale

⊂ ℝ (), ()

Sia l’insieme di scelta, e siano le funzioni di beneficio e di costo relative ad una scelta

∗ ∗ ∗

)

∈ ( = ( ).

quantitativa. Sia la scelta intenzionale quantitativa. Allora

∗

∈

Hp. è la scelta intenzionale ∗ ∗

)

( = ( )

Ts.

Dimostrazione. Il teorema è dimostrato semplicemente ricavando il massimo della funzione di surplus:

−

′ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

( ) ) ) )

= = = ( − ( = 0 ⇔ ( = ( ).

Il risultato esposto è di facile comprensione. ∗

, ∈ < <

Si considerino ad esempio due punti tali che ; e si tenga a mente che, per la loro

1 2 1 2

definizione, il beneficio ed il costo marginali rappresentano geometricamente la pendenza delle rette

tangenti alle funzioni di beneficio/costo nei punti scelti.

Si osserverà che: )

( > ( ),

1. nel punto , vale che dunque per incrementi infinitesimali di quantità, le

1 1 1

funzioni di beneficio e costo si allontanano, ed il surplus aumenta.

)

( < ( ),

2. nel punto , vale che dunque per incrementi infinitesimali di quantità, le

2 2 2

funzioni di beneficio e costo si avvicinano, ed il surplus diminuisce.

Risulta allora intuitivo concludere che, almeno da un punto di vista geometrico, il surplus debba essere

massimo laddove un incremento o un decremento infinitesimale della quantità scelta facciano avvicinare

fra loro le funzioni di costo e ricavo.

Ciò accade nel punto in cui le rette tangenti alle funzioni sono parallele, ovvero, come dimostrato, nel

() = ().

punto in cui

Teoria del consumatore

La teoria del consumatore rappresenta un’applicazione della teoria della scelta al caso particolare del

consumatore, cioè del soggetto che svolge attività di consumo per trarre soddisfazione dal godimento dei

beni di cui può disporre.

La teoria del consumatore è elaborata grazie agli studi congiunti di H. H. Gossen, L. Walras, F. Y. Edgeworth

e V. Pareto.

Vincolo di bilancio .

Per ipotesi, al consumatore è offerta la scelta relativa al consumo fra due soli beni, detti e

+

, ∈ ℝ ,

In particolare, siano le quantità dei rispettivi beni che il consumatore sceglie di consumare;

si faccia attenzione: tali quantità sono espresse in termini di flusso di consumo (ovvero, in termini di unità

consumate per unità di tempo).

Paniere (definizione)

+

, ∈ ℝ , ,

Dette le quantità di beni che il consumatore sceglie di consumare, dico paniere dei beni

(, )

una qualsiasi coppia ordinata di quantità dei suddetti beni. In particolare, indicato con il paniere, si

ha: ≔ (, )

∈ ℝ

per cui , ed è rappresentabile geometricamente come un punto su un piano cartesiano, dove è

l’asse delle ascisse, e l’asse delle ordinate.

Vincolo di bilancio

+

∈ ℝ

Sia il reddito del soggetto consumatore.

Insieme di bilancio (definizione)

, , , ,

Se sono i prezzi unitari dei beni dico insieme di bilancio, ed indico con l’insieme dei panieri

definito come segue:

≔ {(, ) ∈ ℝ | ∙ + ∙ ≤ }

+

cioè l’insieme dei panieri per cui la spesa totale è inferiore o pari al reddito. ,

L’insieme di bilancio rappresenta l’insieme delle combinazioni di quantità di beni di cui il consumatore

si può permettere l’acquisto: si dice dunque che esso rappresenta il vincolo di bilancio per il consumatore.

Retta di bilancio (definizione) .

Dico retta di bilancio l’insieme dei panieri il cui costo è pari al reddito Tale retta delimita parte della

frontiera dell’insieme di bilancio, ed è definita dalla seguente equazione:

=− +

−

Nella retta di bilancio, la pendenza rappresenta il saggio al quale è possibile sostituire il bene con il

bene senza alterare la spesa totale. ,

In altre parole, la pendenza rappresenta il costo opportunità di un’unità addizionale di bene cioè il

numero di unità di bene che devono essere sacrificate per poter acquistare un’unità aggiuntiva di bene

a prezzo di mercato.

Inoltre, si noti che:

,

1. l’intercetta con l’asse ovvero , rappresenta la quantità massima di bene acquistabile sotto il

vincolo di bilancio.

,

2. l’intercetta con l’asse ovvero , rappresenta la quantità massima di bene acquistabile sotto il

vincolo di bilancio.

Al variare dei prezzi di mercato, la retta di bilancio ruota attorno agli intercetta, modificando la propria

pendenza (e almeno uno dei due intercetta); al variare del reddito, la retta di bilancio trasla verso l’alto o

verso il basso, modificando i propri intercetta, ma lasciando invariata la pendenza.

Preferenze del consumatore

Ordinamento di preferenze (definizione)

Dico ordinamento di preferenze lo schema che consente al consumatore di classificare i diversi panieri di

, , ∈

beni in base alla loro desiderabilità, ovvero in ordine di preferenza. In particolare, siano due

panieri ammissibili sotto il vincolo di bilancio. Allora l’ordine di preferenze impone che fra e possano

, ≻ ; ,

esistere solo tre tipi di relazioni: se è preferito a scrivo che se è preferito ad scrivo che

≺ ; ~.

se la preferenza per o per è indifferente, scrivo che

Proprietà dell’ordinamento

L’ordinamento di preferenze presenta cinque proprietà fondamentali, elencate di seguito.

1. Completezza.

L’ordinamento di preferenze consente al consumatore di classificare ogni possibile combinazione di

(, )

quantità di beni. Ciò equivale a dire che nessun paniere è sottratto all’ordinamento.

2. Transitività.

, , ∈ , , .

Siano tre panieri qualsiasi. Se è preferito a e è preferito a allora è preferito a

Analogamente con l’indifferenza.

≻ ~

{ ⟹≻ { ⟹ ~

≻ ~

3. Non sazietà.

(

≔ , ), ≔ ( , ) > ;

Siano due panieri qualsiasi. Se , allora è preferito a e analogamente

,

con le quantità . In altre parole, a parità di ogni altra condizione, è preferito il paniere con una

quantità maggiore di beni. >

{ ⟹ ≻

=

4. Convessità.

≔ ∩ , ≔ ∩ , ,

Sia un segmento di panieri tale che ovvero sono i due estremi del segmento.

( )

≔ , ∈ , ; ≻ ≻

Sia ora un generico paniere del segmento diverso da allora vale che e

∀ , . In altre parole, le combinazioni intermedie di beni sono preferibili a quelle estreme.

≔∩ ≻

∈ \{, }

{ ⟹ {

≻

≔∩

5. Continuità.

,

Siano due panieri qualsiasi. Ogni relazione di preferenza fra e vale anche per panieri

, .

sufficientemente vicini ad

Curve di indifferenza

Curva di indifferenza (definizione)

, . , ,

Sia un qualsiasi paniere di beni Dico curva di indifferenza per il paniere ed indico con l’insieme

dei panieri la cui preferenza per da parte del consumatore è indifferente.

{( )

≔ , ∈ ℝ |~}

+

In generale, è possibile affermare che i panieri che si trovano al di sopra di una curva di indifferenza sono

preferiti ai panieri che appartengono alla curva stessa; analogamente, questi ultimi sono preferiti ai panieri

che si trovano al di sotto della curva di indifferenza. ⃗:

ℝ → ℝ

Analiticamente, la curva di indifferenza può essere definita come una curva parametrica di

,

parametro di cui l’insieme è il sostegno.

Mappa di indifferenza (definizione) , … ,

Dico mappa di indifferenza l’insieme delle infinite curve di indifferenza , fra loro disgiunte, che

consentono la completezza dell’ordinamento delle preferenze. ≔ { , … , }

In una mappa di indifferenza, le curve di indifferenza possono essere ordinate. Siano e

1

≔ { , … , }

due curve di indifferenza appartenenti alla medesima mappa; dico che è preferita a ,

1

≻ ≻ ∀, ∈ ℕ.

e scrivo che , se vale che

Preferenze ordinarie (definizione)

Dico che il consumatore presenta preferenze ordinarie quando la sua mappa di indifferenza gode delle

seguenti proprietà fondamentali:

1. Le curve di indifferenza coprono ogni paniere, o, in altre parole, non esiste paniere del piano che

non appartenga ad alcuna curva di indifferenza.

∀ ∈ ℝ ∃! | ∈

+

2. In virtù della proprietà di non sazietà dell’ordinamento, le curve di indifferenza hanno pendenza

negativa.

3. Le curve di indifferenza (comprese nella medesima mappa di indifferenza) non possono incrociarsi,

ovvero non esiste paniere che appartenga simultaneamente a più di una curva di indifferenza.

∀ , ∄ ∈ ℝ | = ∩

+

Tale proprietà è facilmente dimostrabile per assurdo: se infatti esistesse un paniere appartenente a

più di una curva di indifferenza, sarebbe semplice trovare due panieri tali che, al contempo, l’uno

sia preferito e indifferente rispetto all’altro; ciò è in contraddizione con la transitività.

4. In virtù della proprietà di convessità dell’ordinamento, la curvatura delle curve di indifferenza si

.

riduce all’aumentare della quantità () =

→+∞

Tale proprietà è detta di saturazione.

Saggio marginale di sostituzione

Dico saggio marginale di sostituzione, o marginal rate of substitution (), di una curva di indifferenza

,

per un paniere generico il valore assoluto della pendenza della retta tangente alla curva di indifferenza

.

nel punto ′ ( )

)

( ≔ | |=| |

′ ( )

⃗⃗⃗ ′ ′

′ ()

= ( , ).

dove In altre parole, il saggio marginale di sostituzione è il coefficiente angolare della retta

che, in un intorno opportuno, approssima l’andamento della curva di indifferenza. Dal punto di vista

economico, il saggio marginale di sostituzione rappresenta il saggio a cui il consumatore è disposto a

,

sostituire il bene con il bene senza modificare la sua soddisfazione totale.

In particolare, il saggio marginale di sostituzione gode di un’importante proprietà, che deriva dalla

saturazione delle curve di indifferenza. Vale infatti che:

() = () = +∞

+

→+∞ →

Maggiore è il quantitativo di bene a disposizione di un consumatore, minore è il saggio al quale è possibile

scambiare tale bene con altri beni, a parità di soddisfazione totale, e viceversa.

Scelta del paniere ottimo

, … , ,

Sia la mappa di indifferenza dei beni per il consumatore. Come osservato, esiste un

1 ≺ ≺ ⋯

ordinamento delle curve di indifferenza, per cui è possibile affermare che, ad esempio, per

opportune curve di indifferenza. Sia inoltre il reddito del consumatore.

∗

Detto il paniere ottimo, per definirlo consideriamo le sue due caratteristiche fondamentali: il paniere

∗ ∈ );

ottimo deve essere ammissibile secondo il vincolo di bilancio ( il paniere ottimo deve essere

∗ ≻ ∀ ∈ ).

preferito dal consumatore ad ogni altro paniere ammissibile secondo il vincolo di bilancio (

Il paniere ottimo deve dunque appartenere alla curva di indifferenza c