Appunti completi di Microeconomia

PREFERENZE

Un agente di fronte ad un insieme di alternative possibili sceglie sempre quella che preferisce, quindi, per

studiare le scelte, dobbiamo saper analizzare le preferenze degli agenti economici.

Confrontando due diversi panieri di consumo (X, Y), si dice:

Preferenza stretta se X è inequivocabilmente preferito a Y (X>Y)

Preferenza debole se Y non è preferito a X (X≥Y)

Indifferenza se il consumatore è ugualmente soddisfatto da X o da Y (X∼Y)

ASSIOMA DI COMPLETEZZA: per ogni due panieri X e Y è sempre possibile sostenere che Y≥X o X≥Y

ASSIOMA DI RIFLESSIVITA': ogni paniere è desiderabile almeno tanto quanto se stesso X≥X

ASSIOMA DI TRANSITIVITA': se X è desiderabile almeno tanto quanto Y, e Y è desiderabile almeno tanto

quanto Z, allora X≥Z

Si prenda un paniere di riferimento X'. L’insieme di tutti i panieri ugualmente preferiti a X' formano la

curva d'indifferenza che contiene X', cioè l’insieme di tutti i panieri Y∼X'. Poichè una “curva”

d'indifferenza non è sempre una curva un nome più corretto può essere quello di insieme d'indifferenza.

NB: Le curve di indifferenza non si possono intersecare!

Quando una maggior quantità di un bene è sempre apprezzata, quel bene è detto: bene. Se ogni bene del

paniere è un bene le curve d'indifferenza hanno pendenza negativa. Quando un consumatore preferisce

una minor quantità di un bene, quel bene è detto: male (es: aglio nel sugo).

Due beni sono perfetti sostituti se il consumatore è disposto a sostituire un bene con l’altro ad un saggio

costante (es: 1:1, 1 penna blu con 1 nera). Se si considerano i beni 1 e 2 come equivalenti, solo la quantità

complessiva dei due beni nel paniere determina l’ordinamento delle preferenze.

Se un consumatore consuma sempre i beni 1

e 2 in proporzione fissa (es: scarpa destra e

sinistra), quei beni sono perfetti

complementi e solo il numero di “coppie”

dei due beni determina il ranking dei panieri

Un paniere strettamente preferito a

qualsiasi altro è detto un punto di

sazietà o punto di bliss Si hanno preferenze regolari o “wellbehaved” se

sono al contempo monotone (maggiori quantità di

un bene sono sempre preferite: no sazietà e ogni

bene è un bene) e convesse (la media è preferita

almeno debolmente agli estremi: la retta che

unisce i due estremi della curva appartiene

completamente all’insieme stesso).

Il saggio marginale di sostituzione è la quantità di bene a cui si è disposti a rinunciare per ottenere un'

unità aggiuntiva di un altro bene mantenendo costante l'utilità (la soddisfazione), è possibile misurarla

attraverso l’inclinazione della curva d'indifferenza = - (ΔX2/ΔX1)

MRS perfetti sostituti = -1

MRS perfetti complementi = 0 oppure infinito

MRS preferenze “regolari” < 0

MRS fra un bene e un male > 0

VINCOLO DI BILANCIO

La scelta di un consumatore è vincolata dal suo budget, tempo e altri limiti sulle risorse. Un consumatore

può permettersi un paniere (x1, … , xn) ai prezzi (p1, … , pn) quando (p1x1 + … + pnxn) ≤ m (dove m è il

reddito disponibile del consumatore). I panieri che si possono giust’appena acquistare formano il vincolo

di bilancio { (x1,…,xn) | x1 ≥ 0, …, xn ≥ 0 e p1x1 + … + pnxn = m }. L’ insieme di bilancio del consumatore

è l’insieme di tutti i panieri acquistabili e il vincolo di bilancio è il suo bordo superiore.

Il vincolo e l’insieme di bilancio dipendono da prezzi e reddito.

VARIAZIONE REDDITO:

Quando il reddito aumenta, nessuna scelta originale

è persa e si aggiungono scelte nuove, quindi un

reddito più alto può solo migliorare la situazione di

un consumatore, mentre un calo potrebbe

peggiorarla.

VARIAZIONE PREZZO:

Ridurre il prezzo di un bene fa ruotare verso l’alto il

vincolo di bilancio. Nessuna possibilità vecchia è

persa e nuove scelte si aggiungono, quindi ridurre un

prezzo può solo migliorare la situazione di un

consumatore. L’aumento di un prezzo ruota il

vincolo verso l’interno, riduce la scelta e può

peggiorare la situazione di un consumatore.

ESEMPIO:

Una tassa ad valorem sulle vendite con aliquota t

aumenta tutti i prezzi da p a (1+t) p.

Se la tassa si applica su tutti i beni il vincolo cambia

⇒

da [p1x1 + p2x2 = m] a [(1+t)p1x1 + (1+t)p2x2 = m]

[p1x1 + p2x2 = m/(1+t)]

Se i prezzi sono costanti il vincolo è una retta (retta = pendenza costante), altrimenti è una curva.

ESEMPIO:

Supponiamo che p2 sia costante a $1 ma che p1=$2

per 0 ≤ x1 ≤ 20 e p1=$1 per x1>20. Allora la

pendenza del vincolo è:

-2, per 0 ≤ x1 ≤ 20

-1, per x1 > 20

Le scelte sono solitamente soggette a più di un vincolo, un paniere è disponibile solo se soddisfa tutti i

vincoli: Quindi l’insieme di scelta è dato

dall’intersezione di tutti i vincoli:

UTILITÀ

Le relazioni di preferenza che soddisfano gli assiomi di complezza, riflessività, transitività e sono continue

possono essere rappresentate da una funzione di utilità continua. Per continuità intendiamo che piccoli

cambiamenti nel paniere causano solo piccoli cambiamenti nel livello di preferenza. Una funzione di

utilità U(x) rappresenta una relazione di preferenza se e solo se:

x’ > x’’ U(x’) > U(x’’)

↔

x’ < x’’ U(x’) < U(x’’)

↔

∼

x’ x’’ U(x’) = U(x’’)

↔

NB: L’utilità ha un significato esclusivamente ordinale (es: se U(x) = 6 e U(y) = 2, il paniere x è

strettamente preferito al paniere y, ma x non è preferito il triplo di y). Una curva di indifferenza contiene

⇒

panieri ugualmente preferiti (uguali preferenze stesso livello di utilità, quindi tutti i panieri che si

trovano su una curva di indifferenza danno lo stesso livello di soddisfazione).

Le funzioni di utilità si possono rappresentare in vari modi:

Confrontando più panieri si ha una più ampia collezione di curve di indifferenza e una migliore descrizione

delle preferenze del consumatore.

NB: Non c’è un’unica funzione di utilità che rappresenti una data descrizione delle preferenze.

⇒ ∼ ⇒

Es: U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4; (2,3) > (4,1) (2,2) Con utilità 4 abbiamo le funzioni U(4,1) e

U(2,2)

Se U è una funzione di utilità che rappresenta una relazione di preferenza e f è una funzione sempre

crescente, allora anche V = f(U) è una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze.

PARTICOLARI FUNZIONI DI UTILITÀ:

Caso di ‘perfetti sostituti’ con V(x1,x2) = x1 + x2:

Caso di ‘perfetti complementi’ con W(x1,x2) = min{x1,x2}: Caso di ‘preferenze quasi lineari’ con

U(x1,x2) = f(x1) + x2 (è lineare solo in x2)

Caso di funzione ‘Cobb-Douglas’ (ossia qualsiasi funzione di

utilità del tipo U(x1,x2) = x1ax2b con a e b > 0):

L’utilità marginale di un bene è il saggio di variazione dell’utilità associato ad una variazione molto

piccola della quantità consumata di quel bene: MUi = ΔU/Δxi ≡

L’equazione generale di una curva di indifferenza è U(x1,x2) k, costante. Il differenziale di

questa identità dà: (ΔU/Δx1)dx1 + (ΔU/Δx2)dx2 = 0

che si può riscrivere come: (ΔU/Δx2)dx2 = - (ΔU/Δx1)dx1

che diventa: dx2/dx1 = (ΔU/Δx1)/(ΔU/Δx2) = - x2/x1 (che è il MRS)

L’MRS per le funzioni di utilità quasi lineari è = -f(x1)

NB: non dipende da x2 e quindi la pendenza delle curve di

indifferenza per una funzione di utilità quasi-lineare è

costante lungo ogni curva sulla quale x1 è invariato e infatti

queste curve di indifferenza appaiono come traslazioni

verticali l’una dell’altra.

Applicando una trasformazione monotonica ad una funzione di utilità che rappresenta una relazione di

preferenza si crea un’altra funzione di utilità che rappresenta la stessa relazione di preferenza (Es:

⇒ ⇒

U(x1,x2) = x1x2 MRS = -x2/x1. U (x1,x2) = x1 x2 MRS è ancora = -x2/x1).

2 2 2

Quindi il MRS non cambia in seguito ad una trasfomazione monotonica positiva.

DOMANDA

Studiamo come le domande di x1*(p1,p2,y) e x2*(p1,p2,y) cambiano al variare dei prezzi p1, p2 o del

reddito y:

Come cambia x1*(p1,p2,y) al variare di p1, tenendo p2 e y costanti?

Supponiamo che solo p1 aumenti, da p1’ a p1’’ e poi a p1’’’

La curva prezzo-consumo è la rappresentazione sul piano della variazione delle scelte di consumo in

risposta alle variazioni di prezzo di un bene. La curva consente di analizzare l’effetto di una variazione di

prezzo di un bene sulla quantità acquistata da parte dei consumatori.

Curva prezzo-consumo nel caso di

preferenze Cobb-Douglas

U(x1,x2) = x1a x2b

Curva prezzo-consumo nel caso di

perfetti complementi

U(x1,x2) = min{x1,x2}

Curva prezzo-consumo nel caso di

perfetti sostituti?

U(x1,x2) = x1 + x2

Di solito ci chiediamo “Dato il prezzo del bene 1 quant’è la quantità domandata?” Ma ci si potrebbe porre

la domanda inversa “A quale prezzo del bene 1 verrebbe richiesta una data quantità del bene 1?”

Considerare le quantità domandate come date e chiedersi quale deve essere il prezzo significa derivare la

funzione di domanda inversa di un bene. Si ha -MRS = P1/P2.

Quindi P1 = -MRS P2

Quando x1 è basso il consumatore è più disponibile

a pagare (= rinunciare a una grande quantità di

altri beni per acquistare una quantità addizionale

del bene 1).

Come cambia il valore di x1*(p1,p2,y) al variare di y, tenendo sia p1 che p2 costanti?

La curva reddito-consumo è una rappresentazione

sul piano delle scelte del consumatore al variare

del reddito. La scelta ottimale è determinata dalla

tangenza tra la curva d’indifferenza e il suo vincolo

di bilancio.

La curva di Engel è la rappresentazione grafica della domanda di un bene in funzione delle variazioni del

reddito.

La funzione di domanda per preferenze Cobb-Douglas è:

La funzione di domanda per perfetti sostituti è:

La funzione di domanda per perfetti complementi è:

Le curve di Engel sono linee rette solo se le preferenze sono omotetiche. Le preferenze sono omotetiche

⇔

se e solo se: (x1,x2) < (y1,y2) (kx1,kx2) < (ky1,ky2) per ogni k > 0.

Quindi se il reddito varia di un fattore k il paniere domandato varia nella stessa misura (es: le preferenze

quasi-lineari non sono omotetiche).

Un bene la cui quantità domandata aumenta con il reddito è detto normale, quindi un bene normale ha

una curva di Engel con inclinazione positiva (bene 2). Un bene del quale la quantità domandata diminuisce

all’aumentare del reddito è detto bene inferiore, quindi un bene inferiore ha una curva di Engel con

inclinazione negativa (bene 1).

Un bene è ordinario se la

quantità domandata di quel bene

aumenta sempre al diminuire del

suo prezzo:

Se, per qualche valore del prezzo di un

bene, la quantità domandata di quel bene

aumenta all’aumentare del prezzo, quel

bene è detto bene Giffen:

Infine, se un aumento di p2:

– aumenta la domanda per il bene 1, il bene 1 è un sostituto del bene 2.

– riduce la domanda per il bene 1, il bene 1 è un complemento del bene 2.

DOMANDA AGGREGATA

Si pensi ad un’economia che contiene n consumatori, indicizzati con i = 1, ... ,n. La funzione di domanda

del bene j da parte del consumatore i è: xj (p1,p2,m). Se i consumatori considerano i prezzi come dati, la

domanda di mercato del bene j è:

Se i consumatori sono tutti uguali si ottiene (dove M = nm):

La curva di domanda di mercato è la “somma

orizzontale” delle curve di domanda individuali

(somma delle quantità, y):

L’elasticità misura la sensibilità/reattività di una variabile rispetto ad un’altra. L’elasticità della variabile

X rispetto alla variabile Y è εx,y = %∆x/%∆y. L’elasticità viene impiegata per misurare la sensibilità di:

1. Quantità domandata di un bene i rispetto al suo prezzo (elasticità domanda al proprio prezzo)

2. Domanda del bene i rispetto al prezzo del bene j

3. Domanda per il bene i rispetto al reddito (elasticità della domanda al reddito)

4. Quantità fornita del bene i rispetto al prezzo del bene i (elasticità dell’offerta al proprio prezzo)

5. Quantità fornita del bene i rispetto al salario (elasticità dell’offerta rispetto al prezzo del lavoro)

Per misurare la sensibilità della quantità domandata al prezzo non usiamo la pendenza della curva di

domanda poiché la “sensibilità” dipenderebbe dall’unità di misura (arbitraria) della quantità domandata.

L’elasticita è un rapporto fra percentuali e quindi prescinde dall’unità di misura adottata, l’elasticità

puntuale al prezzo si misura: ∆q/q x p/∆p

Se -1 < ε ≤ 0, una variazione del prezzo ha poca influenza sulle quantità vendute.

Se ε = 0, una variazione di prezzo non influisce sulle quantità vendute.

,

Se ε = -∞ un aumento di prezzo non permette di vendere nessuna unità, mentre una riduzione aumenta

esponenzialmente le vendite. Più il valore dell’elasticità è minore di -1, maggiore è l’influenza sulle

quantità vendute a seguito di una variazione di prezzo.

Es: ε = -1 riduzione prezzo 10%, aumento vendite 10%, ε = -3 riduzione 10%, aumento vendite (10x3) 30%

Se l’aumento del prezzo di un bene causa una diminuzione sufficientemente piccola nella quantità

domandata, il ricavo dei venditori aumenta. Quindi una domanda inelastica comporta un aumento dei

ricavi all’aumentare dei prezzi. Se invece all’aumentare del prezzo la quantità domandata diminuisce

considerevolmente, il ricavo del venditore diminuisce. Quindi una domanda elastica al proprio prezzo

comporta una diminuzione dei ricavi all’aumentare dei prezzi.

Ricavi = prezzo x quantità

Elasticità e ricavi: ∆R/∆p= q[1+ ε]

Domanda inelastica al prezzo: − 1 < ε ≤ 0 l’aumento del prezzo aumenta il ricavo.

Elasticità al prezzo unitaria: ε = −1 l’aumento del prezzo non cambia il ricavo.

Domanda elastica al prezzo:ε < −1 l’aumento del prezzo diminuisce il ricavo.

Il ricavo marginale è il saggio al quale varia il ricavo al cambiare del numero di unità vendute:

MR(q)= ∆R(q)/∆q MR(q)=p(q)[1+1/ε]

Dove p(q) denota la funzione di domanda inversa del venditore, cioè il prezzo al quale il venditore può

vendere q unità. Questa formula spiega che il saggio al quale il ricavo varia con il numero di unità vendute

dipende dall’elasticità al prezzo della domanda.

Se ε = -1 MR(q) = 0. Vendere una unità aggiuntiva non modifica il ricavo.

Se -1 < ε ≤ 0 MR(q) < 0. Vendere un’ulteriore unità riduce il ricavo.

Se ε < −1 MR(q) > 0. Vendere un’ulteriore unità aumenta il ricavo.

L’elasticità rispetto al reddito è: ε > 0 per i beni normali, ε < 0 per i beni inferiori, ε > 1 per i beni di

lusso, in media ε = 1

EQUAZIONE DI SLUTSKY

Cosa succede ad un bene quando il suo prezzo cala?

1. Effetto sostituzione: il bene diventa relativamente meno costoso, quindi i consumatori lo

sostituiscono a beni relativamente più costosi

2. Effetto reddito: il budget del consumatore gli consente di acquistare più beni di prima, come se il

reddito fosse aumentato, con conseguente modifica sulle quantità domandate

Slutsky scoprì che i cambiamenti di domanda in seguito a cambiamenti del prezzo sono sempre la somma

di un puro effetto di sostituzione e di un effetto di reddito. Slutsky asserì che se, al nuovo prezzo:

⇒

1. Occorre meno reddito per comprare il paniere iniziale il “reddito reale” è aumentato

⇒

2. Occorre più reddito per comprare il paniere iniziale il “reddito reale” è diminuito

Slutsky isolò la variazione della domanda dovuta solamente al cambiamento nel prezzo relativo

chiedendosi “Qual è la variazione della domanda quando il reddito del consumatore viene cambiato in

maniera tale che, ai nuovi prezzi, si possa comprare proprio il paniere iniziale?”

⇒

La maggior parte dei beni sono normali (+ reddito + domanda). Gli effetti reddito e sostituzione si

rafforzano a vicenda quando il prezzo di un bene normale varia:

Poiché sia l’effetto sostituzione che quello reddito

aumentano la domanda di un bene quando il suo

prezzo cala, la curva di domanda di un bene normale è

inclinata verso il basso.

⇒

Alcuni beni sono inferiori (+ reddito - domanda). Gli effetti sostituzione e reddito vanno in direzione

opposta quando il prezzo di un bene inferiore varia:

In casi rari, per alcuni beni fortemente inferiori, l’effetto reddito potrebbe essere più forte dell’effetto

sostituzione, causando un aumento della quantità domandata all’aumentare del prezzo (beni Giffen):

La scomposizione di Slutsky dell’effetto di un cambiamento del prezzo in puro e