Appunti completi del corso "Meccanica delle vibrazioni"

Sistemi a n GdL - Approccio Modale

VSe invece non supponiamo che C0 = 0 avremo:

Si deve risolvere sia l'equazione rossa, che l'equazione blu, e con la sovrapposizione degli effetti ci si ricava x L

In genere le matrici [m], [r], [k] sono piene, il che significa che i GdL sono tra di loro accoppiati.

L'approccio matriciale però fa perdere il senso fisico.

Allora l'idea è di passare da 1 sistema a n GdL, a n sistemi a 1 GdL: In questo caso le matrici saranno diagonali, perché i sistemi sono indipendenti l'uno dall'altro.

Se questa trave vibra lungo i piani x e y, ci sono delle componenti extradiagonali del tensore d'inerzia.

Invece lungo le direzioni principali d'inerzia q1 e q2, i movimenti della trave sono disaccoppiati.

Quindi tornando al nostro esempio, noi abbiamo preso le coordinate x1 e x2, che sono le più comode per scrivere l'equazione di moto, perché sono quelle che permettono con più facilità di

definire i legami cinematici. Utilizzando invece le coordinate q1 e q2 si ottengono delle matrici diagonali, quindi esse sono le "coordinate principali", ovvero quelle coordinate libere che permettono di definire il sistema attraverso delle equazioni disaccoppiate. Moto Libero non Smorzato Nel caso di moto non smorzato in coordinate x avevamo trovato: Quello che vogliamo fare adesso è passare dalle coordinate x, alle coordinate q, per avere un sistema con le matrici diagonali. Di fatto è come se volessimo ruotare il sistema di riferimento passando a quello principale. Operiamo quindi un cambio di variabile: matrice dei modi di vibrare dove: vettore delle nuove coordinate Facciamo il cambio di variabile sulle forme di energia: matrice modale Applicando Lagrange si avrà: Nel nostro esempio le matrici risultano essere: L'equazione di moto quindi è diventata: Le due equazioni sono disaccoppiate: Ognuna di queste equazioni corrisponde ad un sistema a 1 GdL conqueste pulsazioni proprie. Chiaramente sono le stesse di quelle ottenute con l'approccio matriciale, perché dipendono dalle caratteristiche del sistema. Invece i modi di vibrare sono figli delle coordinate, quindi saranno diversi, però rimangono sempre 2 in fase e 2 in controfase. Quindi abbiamo riscritto il sistema a 2 GdL come la somma di due sistemi a 1 GdL. Dimostriamolo adesso per n GdL: Per dimostrare che le matrici [m] e [k] siano diagonali bisogna dimostrare che i modi di vibrare sono tra loro ortogonali: Degli n modi di vibrare, prendiamone due, ovvero prendiamo le righe e le colonne r e s, che corrispondono alle pulsazioni proprie ωr e ωs: Allora possiamo scrivere che: Siccome tutte queste quantità sono degli scalari, si possono trasporre. Trasponendo la prima si ottiene: siccome è simmetrica Quindi otteniamo che: Ma questa cosa è uguale a zero se uno dei due membri della moltiplicazione è nullo. termini extradiagonali

termine diagonale

Questo ci dice che i modi di vibrare sono tra di loro ortogonali in senso lato (perché c'è di mezzo una matrice).

Questa è una proprietà dei modi di vibrare, che vale solo nel caso di sistemi privi di smorzamento (perché i modi di vibrare sono reali).

Nei sistemi meccanici però lo smorzamento è basso, quindi si possono confondere le pulsazioni proprie e i modi di vibrare del sistema smorzato con quelle del sistema non smorzato.

Dimostriamo adesso che le matrici [m] e [k] sono diagonali:

Inserendo ciò che abbiamo trovato prima:

sese lo stesso si può fare per

Quindi abbiamo dimostrato che le matrici sono effettivamente diagonali.

I termini diagonali dipendono da come è definito il modo di vibrare, perché noi non abbiamo gli spostamenti assoluti del modo, perché il modo è normalizzato a uno spostamento unitario del primo GdL, quindi dipendono da come si è normalizzato il modo

di scrivere le equazioni di moto in modo disaccoppiato. Quindi, dobbiamo utilizzare una nuova base di modi di vibrare, chiamata base di modi di vibrare smorzati. La nuova base di modi di vibrare smorzati è data da: dove i termini λi sono le pulsazioni proprie smorzate del sistema. Le equazioni di moto nel caso di moto forzato in coordinate principali diventano: dove Fi(t) è la forzante applicata al sistema. Per risolvere il sistema, dobbiamo trovare le soluzioni delle equazioni differenziali omogenee associate: dove Ci sono costanti arbitrarie da determinare. La soluzione generale delle equazioni differenziali omogenee è data da: dove Ai e Bi sono costanti arbitrarie. Per trovare la soluzione particolare delle equazioni differenziali non omogenee, possiamo utilizzare il metodo degli operatori di risoluzione. La soluzione generale delle equazioni differenziali non omogenee è data da: dove Gi(t) è la risposta libera del sistema e Hi(t) è la risposta forzata del sistema. La risposta libera del sistema è data da: dove Di sono costanti arbitrarie. La risposta forzata del sistema è data da: dove Gi(t) è la risposta impulsiva del sistema e Fi(t) è la forzante applicata al sistema. La risposta impulsiva del sistema è data da: dove Hi(t) è la risposta forzata del sistema e Gi(t) è la risposta libera del sistema. In conclusione, nel caso di moto forzato in coordinate principali, le equazioni di moto diventano più complesse a causa dello smorzamento. Tuttavia, utilizzando il metodo degli operatori di risoluzione, possiamo trovare la soluzione generale del sistema.

trasformazione delle coordinate, quindi le matrici non sono più diagonali. I sistemi meccanici però hanno uno smorzamento piccolo rispetto allo smorzamento critico: qualche %

Ma anche con h = 20%, si può comune dire che ω ~ ω0. Quindi, le frequenze proprie prima, e i modi di vibrare poi, che si sono calcolati nel caso senza smorzamento continuano a valere. Quindi la trasformazione di coordinate per le matrici [m] e [k] può essere fatta anche nel caso del sistema smorzato. Ma si può fare anche per la matrice [r], cioè è diagonale?

Si, ma solo se [r] è una combinazione lineare di [m] e [k]: e di solito questo succede, basti pensare che di solito [r] e [k] sono uguali, quindi è chiaro che c'è un legame. Anzi, dato che sappiamo che deve venire diagonale, se non lo è la diagonalizziamo lo stesso, buttando via i termini extradiagonali. Quindi anche la matrice [r] diventa diagonale. Questa cosa è molto utile.

Lagrangiana non nulla, quindi si devono considerare tutte le equazioni del sistema.lagrangiana nulla: In questo sistema, i modi di vibrare pari hanno componente lagrangiana nulla. Perché per esempio nel secondo modo, le due metà sopra e sotto si annullano. Andiamo adesso a scrivere la funzione di trasferimento armonica: soluzione di tentativo: I modi di vibrare successivi hanno rigidezza maggiore, quindi la risposta statica è inferiore. L'altezza che si raggiunge dipende dallo smorzamento. Ω Se la forzante ha vicino a una ωi di un certo modo di vibrare, lo spostamento del sistema è figlio praticamente solo del modo vicino, cioè quello che viene amplificato, e al massimo di quelli vicino, mentre tutti gli altri possono essere ignorati, perché o sono in zona quasi statica, o in zona sismografica. Quindi si possono buttare via ancora più modi, in genere le frequenza massima che si tiene, ovvero quella dell'ultimo modo che ancora si considera, è il doppio della pulsazione massima della forzante che ciaspettiamo di avere:
Tuned Mass Dumper (TMD) - 2 GdL
Assorbitore Dinamico non Smorzato
Il problema è che il sistema con la massa m1 potrebbe muoversi molto e andare in risonanza.
Per questo andiamo ad accoppiare un altro sistema vibrante con massa m2.
eq. moto 1° GdL
eq. moto 2° GdL
Il sistema è accoppiato dalla molla 2, lo si può vedere dalla matrice.
Questo significa che le due pulsazioni proprie ω1 e ω2 si spostano, diventano diverse da quelle che erano prima.
Il problema era che la massa m1 si muoveva tanto per effetto della forza, perché la Ω era molto vicina alla ω1.
Aggiungendo un assorbitore dinamico non smorzato che ha la stessa frequenza propria del primo (ω2 = ω1), quindi passando da un sistema a 1 GdL a un sistema a 2 GdL, lo spostamento in corrispondenza di Ω, cioè la pulsazione del sistema, va esattamente a zero.
Quindi per Ω la massa m1 è completamente in equilibrio, cioè le forze.che gli arrivano per effetto del movimento della massa m2, sono esattamente uguali ed in controfase rispetto alla forza esterna, quindi la massa m1 è completamente ferma. Però chiaramente se la forzante si sposta un po' da Ω, il sistema ritorna in risonanza. Inoltre per garantire che m1 rimanga fermo, la massa m2 si muove tanto, quindi la molla 2 andrà sostituita spesso. TMD di questo tipo sono usati per macchine rotanti, che girano sempre agli stessi rpm, quindi che hanno una forza costante. Se però variano alcuni parametri: K1f = ω2/ω1, cioè di quanto si allargano le frequenze quando si aggiunge il TMD, spostamento statico del sistema primario μ. Mostra come si aprono le frequenze proprie al variare di μ e f. Absorbitore Dinamico Smorzato Il principio di funzionamento è diverso. Nel caso precedente istante per istante l'equilibrio dinamico era nullo, e la massa m1 stava ferma perché non era forzata. In questo casonvece lo smorzatore dissipa energia dal sistema che si ha quando le masse si muovono tanto. Aggiungendo il secondo GdL questa volta si hanno ancora delle amplificazioni dinamiche, ma inferiori, ea Ω la risposta del sistema non va a 0, ma si muove. I due GdL sono accoppiati non solo attraverso la rigidezza K2, ma anche attraverso lo smorzamento R2. Il sistema è tanto più efficiente quanto più è in grado di dissipare energia. Fino al 10% la risposta migliora. Al 50% il sistema è talmente smorzato che le due masse si muovono insieme, e la FdT cresce molto, non ha più un asintoto, ma comunque la risposta è molto grande. Quindi è come se si tornasse alla situazione senza TMD. Quindi non bisogna mettere uno smorzatore il più grosso possibile, ma bisogna mettere quello giusto per non far muovere la massa 1. L'obiettivo è di avere una curva il