Appunti completi del corso "Meccanica delle vibrazioni"

Ripasso su come scrivere le equazioni di moto di un sistema a 1 gdl

Passaggi iniziali

1) Fissare il sistema di riferimento.

2) Contare e scegliere i gradi di libertà (GdL).

3) Scrivere le equazioni di moto in coordinate fisiche e in coordinate libere, considerando la cinematica (cioè imponendo i vincoli).

Esempio

Approccio dell'equilibrio dinamico (d'Alembert)

Anche se di solito si sceglie: l'equazione di equilibrio che permette di calcolare l'equazione di moto pura è l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto di contatto del disco.

Coordinate fisiche

Cinematica:

Coordinata libera:

Approccio energetico (Lagrange)

Momento d'inerzia baricentrico.

Coordinate fisiche

(Teorema di König: energia cinetica di un corpo rigido che rototrasla)

Energia cinetica: Energia potenziale: perché in questo caso il baricentro non cambia la sua quota.

Funzione dissipativa:

Lavoro virtuale: spostamento virtuale del punto di applicazione della forza.

Legami cinematici:

Coordinata libera:

Equazione di Lagrange:

Oscillatore armonico a 1 GdL

Questo è il modello di una qualsiasi trave con una massa all'estremità, dove:

• La rigidezza k della molla è la rigidezza flessionale della trave.
• Lo smorzatore è la dissipazione dovuta al moto della massa.

Facendo l'equilibrio alla traslazione orizzontale

Equazione di moto: legge di moto.

L'integrale generale definisce la risposta del sistema in transitorio. Il transitorio è la risposta del sistema per effetto delle sue caratteristiche proprie: m, k, r.

L'integrale generale è la soluzione dell'equazione omogenea associata, che descrive il moto libero. L'integrale particolare definisce la risposta del sistema a regime. La soluzione a regime è figlia della forza applicata al sistema.

Moto libero

Andiamo a calcolare l'integrale generale: non smorzato, la soluzione è del tipo: questa equazione deve valere per qualsiasi tempo t.

Soluzione banale: il sistema non si muove. Pulsazione propria del sistema non smorzato: queste due soluzioni sono immaginarie pure.

Equazione di moto

Lo spostamento è reale, quindi i due vettori sono complessi coniugati, con modulo costante e controrotanti con la stessa velocità angolare. In questo modo la loro somma è sempre sull'asse reale.

Imponiamo le condizioni iniziali: un'altra possibile rappresentazione delle soluzioni si ricava applicando Eulero.

Infine c'è un altro modo di scrivere le soluzioni: in questo caso invece che due vettori controrotanti, ne rappresentiamo solo uno di modulo x che al tempo t=0 ha la fase ϕ:

In ogni caso per tutte le scritture, il diagramma della soluzione è: frequenza propria.

Smorzato

Sostituendo la pulsazione propria del sistema non smorzato: la soluzione sarà del tipo: soluzione banale: il sistema non si muove.

Ma come sono le due soluzioni: immaginarie, reali o complesse? Bisogna studiare il Δ, e dato che ω₀ è una proprietà del sistema, Δ dipende da r, quindi da quanto è smorzato il sistema: (non dipende dallo smorzatore, smorzamento critico ma è una proprietà del sistema) quanto il sistema è smorzato rispetto alla condizione di smorzamento critico.

Andiamo a riscrivere λ₁ e λ₂ in termini adimensionali, cioè in funzione di questo rapporto: soluzioni reali negative.

Quindi le due soluzioni dipendono da h, in particolare se: soluzioni reali negative coincidenti, soluzioni complesse, somma di due funzioni esponenziali negative si avvicina senza oscillare asintoticamente allo 0, passando al massimo una volta per l'asse dei tempi, a seconda della velocità iniziale.

Rispetto alla precedente, ciò che cambia è che a pari condizioni iniziali, tra tutte le soluzioni, questa è quella che raggiunge la posizione di equilibrio statico il più velocemente possibile. Pulsazione propria del sistema smorzato ~ per un sistema meccanico però ω = ω₀ perché h è molto piccolo. Moto libero non smorzato oppure:

Elemento elasto-viscoso

Gli smorzatori non hanno un valore fisso, ma lavorano in un certo range.

Cella di carico attuatore idraulico. Per caratterizzare uno smorzatore si impone all'attuatore idraulico una certa legge di moto, e tramite la cella di carico si misura la forza, mentre lo spostamento dello stelo è misurato direttamente dall'attuatore idraulico. Quindi si conosce sia spostamento che forza.

Forza spostamento - se sono in fase c'è solo la molla - se sono in quadratura (sfasati di 90°) c'è solo lo smorzatore. Se sono in quadratura: il comportamento è puramente viscoso. Ciclo di isteresi. L'area inscritta all'interno del ciclo di isteresi è l'energia dissipata dallo smorzatore, e da questa ci si può calcolare la r dello smorzatore. Se sono in fase: il comportamento è puramente elastico. Molla hardening: al crescere dello spostamento diventa più dura, lineare.

Molla softening: al crescere dello spostamento diventa meno dura. Se sono qualsiasi: il comportamento è elasto-viscoso. La pendenza è il ciclo di isteresi si sovrappone all'elemento elastico. Se invece che essere lineare c'è una molla softening la tangente locale a questa linea è sempre.

Smorzatore ad attrito coulombiano

Abbiamo detto che l'energia dissipata è l'area inscritta, ossia l'integrale della forza per lo spostamento: forza data dallo smorzatore e da questa si ricava quanto vale.

Moto forzato

La forzante F(t) può essere:

• Costante
• Periodica (armonica)
• Aperiodica
• Casuale

Costante: Applicando una forzante costante si cambia la posizione di equilibrio. Il transitorio è governato dallo smorzamento.

Aperiodica: Attraverso lo sviluppo in serie di Fourier si può scrivere una forza esplicita del tempo periodica o aperiodica come una somma di sinusoidi. Quindi è di interesse studiare la forzante periodica.

Casuale (onde, vento, sisma): Questi fenomeni sono sì casuali, ma descrivibili dal punto di vista statistico. Quindi si può individuare uno spettro, che sarà comunque somma di funzioni sinusoidali. Dato che il sistema è lineare si può studiare singolarmente ogni componente sinusoidale e poi sommarle per sovrapposizione degli effetti.

Equazione di moto forzato

L'integrale generale come abbiamo visto è la risposta alle condizioni iniziali e che descrive il moto libero. Ma dato che il sistema è smorzato, per t che tende a infinito, l'integrale generale tende a 0.

Andiamo quindi a studiare l'integrale particolare: forzante: risposta equazione: soluzione: è complesso. In questo caso la soluzione non è parametrica rispetto ad un parametro ω₀, perché il valore del parametro è fissato dal fatto che il sistema vibra con la stessa pulsazione della forzante.

Funzione di trasferimento

Cerchiamo adesso una funzione di trasferimento adimensionale: "spostamento statico", cioè l'effetto che si ha se si applica la forza senza dinamica. Funzione di trasferimento adimensionalizzata è un numero complesso.

Modulo

Fase: zona di risposta quasistatica / sistema rigido (x/xstat ~ 1, è come se si applica la forza staticamente) zona di risonanza / amplificazione dinamica (la pulsazione della forzante e la pulsazione propria del sistema sono molto simili, quindi si ha un'amplificazione) zona di risposta sismografica / sistema isolato (la forzante è applicata così velocemente che il sistema la filtra).

Quando h=0 (smorzamento nullo) la funzione di trasferimento ha parte immaginaria nulla, quindi è sempre un numero reale, ecco perché la fase è sempre solo 0 (cioè è in fase) o -π (cioè è in controfase). La fase tra forzante e spostamento è nulla. E siccome la fase è un ritardo temporale, se la fase è nulla le due curve sono sovrapposte. Dato che la fase è -π/2, il sistema si muove in ritardo, sfasato di 90°. Dato che la fase è -π, lo spostamento è esattamente in controfase.

Rappresentazione fasoriale

(Forza esterna) forza d'inerzia forza viscosa (smorzamento) forza elastica questa è la condizione di equilibrio dinamico. Le tre componenti cinematiche nel piano delle fasi sono: forzante velocità posizione accelerazione.

La velocità è in quadratura rispetto alla posizione, cioè è in anticipo di π/2. L'accelerazione è in opposizione rispetto alla posizione, cioè in anticipo di π, e in quadratura rispetto alla velocità.

Studiamo i tre casi nel piano delle fasi e vediamo come si sommano i tre vettori:

Quindi in condizioni quasi statiche è la forza elastica, quindi la molla, che tiene a bada la forzante esterna. L'elemento che risponde alle forze statiche è la molla. Per questo se si applica una forza costante, la molla si precarica. È lo spostamento la quantità cinematica che governa la risposta. La forza elastica e la forza d'inerzia sono esattamente uguali e contrarie.

Quindi in condizioni di risonanza è lo smorzatore a tenere a bada la forzante esterna. Se non c'è lo smorzatore, non c'è nulla che contrasta la forzante, quindi l'ampiezza va ad infinito. È solo lo smorzatore, con il termine h, che determina l'ampiezza in condizioni di risonanza. È la velocità la quantità cinematica che governa la risposta.

In condizioni sismografiche ciò che tiene a bada la forza esterna è la forza d'inerzia, cioè la massa. È l'accelerazione la quantità cinematica che governa la risposta.

Scrittura equazioni di moto coordinata libera

Consideriamo un sistema meccanico a 1 solo GdL: la cui derivata prima e seconda sono rispettivamente velocità e accelerazione.

Vogliamo utilizzare un "approccio sistematico" per la scrittura delle equazioni di moto tramite Lagrange. Vediamo i vari termini (per il momento consideriamo il caso senza smorzatore):

Energia cinetica (1 corpo rigido), energia cinetica generica.

Energia potenziale (nk numero molle, np numero corpi rigidi che cambiano quota durante il moto), energia potenziale generica.

Lavoro virtuale (nF numero di forze), lavoro virtuale generico, spostamento virtuale del punto di applicazione della j-esima forza.

Scriviamo l'equazione di Lagrange: termini inerziali che compaiono nell'equazione di moto, che in generale non sono lineari. Quindi invece che fare le derivate delle equazioni di Lagrange, basta fare le 4 derivate evidenziate.

Esempio

In generale la molla può essere precaricata, cioè può avere una quantità di precarico dovuta alla posizione di equilibrio statico.

Se c'è un precarico, cioè nella posizione di equilibrio la molla non è scarica, l'energia potenziale elastica si scrive così: termine costante, termine dinamico (parte di carico che si ha all'equilibrio) (Δl della molla dovuto al movimento).

Derivando secondo Lagrange: k*Δl è la forza della molla, che lavora per l'allungamento è la componente lagrangiana della forza elastica della molla, cioè la forza elastica per lo spostamento virtuale (il legame cinematico) del punto di applicazione, cioè il lavoro virtuale.

Equazione di moto: In questo caso però non è precaricata:

Passi da seguire

• Sistema di riferimento
• Contare GdL
• Scegliere la coordinata libera

E in modo sistematico scriviamo: Adesso bisogna esprimere le quantità cinematiche in funzione della coordinata libera, cioè dobbiamo risolvere la cinematica del sistema:

Sostituendo: la massa generalizzata m* (o momento d'inerzia generalizzato J*) non dipende dalla posizione. L'equazione risulta:

Consideriamo adesso un pendolo orizzontale: In questo caso c'è il precarico della molla:

L'energia cinetica è uguale a prima, perché non dipende dalla posizione:

Vediamo gli altri termini: Per calcolare i contributi elastici dentro l'equazione di Lagrange bisogna scrivere:

L'equazione di moto risulta essere: Questa non è un'equazione di moto pura, ma si ha un'altra incognita, perché il precarico della molla compare nell'equazione di moto. Per calcolare il precarico lo isoliamo:

Dato che è il precarico statico, nella condizione di equilibrio statico θ = 0, quindi:

Inoltre la posizione di equilibrio corrisponde a:

In altri termini ciò che abbiamo fatto è dire che la posizione di equilibrio è un punto di stazionarietà dell'energia potenziale:

Inserendo il valore trovato nell'equazione si ottiene: Quindi i termini dovuti alla forza peso e al precarico si elidono a vicenda per qualsiasi posizione l'asta assume. Questo perché le due forze hanno un braccio che varia con la stessa funzione trigonometrica.

Il precarico della molla lo si poteva calcolare anche con l'equilibrio: Equilibrio intorno alla cerniera:

Scrittura equazioni di moto linearizzate

Equazione di moto non lineare: A noi però interessa il moto in piccolo del sistema intorno alla sua posizione di equilibrio, quindi non ci serve studiare il sistema completo non lineare, ci basta il sistema linearizzato nell'intorno della posizione di equilibrio.

Posizione di equilibrio: Per linearizzare si fa lo sviluppo di Taylor dei termini non lineari e si impone la condizione di equilibrio:

L'equazione di moto linearizzata nell'intorno di θ = 0 diventa:

J torsionale, k torsionale.

C'è un modo per scrivere direttamente la forma linearizzata, senza passare dalla scrittura della cinematica non lineare? Sì.

Partiamo dall'energia cinetica: nel caso del pendolo l'energia cinetica era una forma quadratica, e per questo quando si applicava Lagrange si ottenevano termini lineari. Questa però è un'osservazione, andiamo a verificarla: termini inerziali: in genere non sono lineari.

Quindi ci chiediamo: se l'energia cinetica ha una forma quadratica, se gli applichiamo Lagrange otteniamo: