Appunti completi corso Elettrotecnica

R R R R

+ +

1 2 1 2

Un generatore ideale di corrente con due resistenze in parallelo è un PARTITORE DI

TENSIONE. La corrente si divide in maniera proporzionale alla conduttanza.

G G

1 2

i i

=i =i

1 2

G G

+G +G

1 2 1 2

I generatori ideali possono essere collegati tra loro:

− Generatori di tensione in serie: la tensione equivalente è la somma delle tensioni.

È indipendente dalla corrente.

− Generatori di corrente in parallelo: la corrente equivalente è la somma delle

correnti. È indipendente dalla tensione.

Altre combinazioni sono impossibili con componenti ideali.

αβ

Alcuni componenti ideali importanti sono i GENERATORI CONTROLLATI o COMANDATI

o DIPENDENTI o PILOTATI:

− i=Gv

Generatore di corrente controllati in tensione

− i=αi

Generatore di corrente controllati in corrente

− v= Ri

Generatore di tensione controllati in corrente

− v= βv

Generatore di tensione controllati in tensione

Il loro output dipende dal loro input. Il valore di uscita dipende da una resistenza

(TRANSRESISTENZA), da una conduttanza (TRANSCONDUTTANZA) o da valori

costanti (AMPLIFICATORI o ATTENUATORE).

I generatori controllati, a differenza di quelli indipendenti, possono erogare potenza. Per

questo si chiamano ELEMENTI ATTIVI.

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE: in un circuito resistivo lineare, qualunque tensione e

corrente è il risultato della somma degli effetti di ogni generatore indipendente preso uno

alla volta. “Spegnere” un generatore significa inserire un corto circuito per uno di tensione

e un circuito aperto per uno di corrente.

TEOREMA DI THEVENIN: un circuito resistivo lineare, accessibile da due terminali, è

equivalente ad un generatore di tensione in serie ad un resistore. La tensione del

generatore è la tensione ai capi dei terminali quando essi sono aperti, la resistenza è la

resistenza equivalente con i generatori indipendenti spenti.

TEOREMA DI NORTON: un circuito resistivo lineare, accessibile da due terminali, è

equivalente ad un generatore di corrente in parallelo ad un resistore. La corrente del

generatore è la corrente ai capi dei terminali quando essi sono connessi in corto circuito,

la resistenza è la resistenza equivalente con i generatori indipendenti spenti.

− Per calcolare la tensione di Thevenin, devi trovare la tensione esistente tra i

morsetti A e B in circuito aperto con A il polo positivo e B il polo negativo. La

tensione si trova applicando i metodi noti (analisi nodale o principio di

sovrapposizione) e si ottiene facendo A - B: è quindi consigliabile usare B come

riferimento, che varrà così zero.

− La corrente di Norton si ottiene mettendo A e B in corto circuito e calcolando la

corrente che passa tra di essi: la corrente è positiva se va da A a B.

− Per trovare la resistenza equivalente bisogna spegnere i generatori indipendenti

(inserendo un circuito aperto per le correnti e un corto circuito per le tensioni) e

immaginare di inserire un generatore di corrente da 1 A nei morsetti con la corrente

che va da B ad A: trova la tensione esistente tra i due morsetti e applicando la

legge di Ohm trovi la resistenza equivalente. I generatori controllati invece non si

toccano!

L'ANALISI NODALE è fondamentale! Ti permette di risolvere tutti i circuiti in corrente

continua. Sembra difficile ma in realtà è facile... infatti l'ho capita! :P

Abbiamo tre casi possibili che man mano rimandano al caso generale:

− Circuiti resistivi con generatori indipendenti di corrente

− Circuiti resistivi con generatori indipendenti di tensione

− Circuiti resistivi con generatori controllati

I passi da fare per il primo caso (quello senza intoppi strani) sono i seguenti:

− Mappare il circuito, individuando le incognite da cercare e un nodo di riferimento,

che come tale avrà un potenziale pari a zero.

− Scrivere in un sistema le equazioni di Kirchhoff alle correnti di tutti i nodi tranne

quello di riferimento.

− Applicando la legge di Ohm, trasformare tutte le correnti in termini di tensioni.

− Risolvere il sistema (con sostituzione o con Cramer).

Nel secondo caso abbiamo dei generatori di tensione che come tali imprimono una

differenza di potenziale che in alcuni punti del circuito è già nota e dobbiamo tenerne

conto. Bisogna però distinguere due tipi di generatori: quelli collegati al nodo di

riferimento e quelli non collegati al nodo di riferimento.

Il primo caso è semplice: possiamo praticamente ignorarli nei calcoli, sapendo già che in

un nodo danno un potenziale noto.

Nel secondo caso invece dobbiamo considerare il generatore come un SUPER NODO,

che ingloba il generatore e i due nodi a cui esso è collegato. Noi non conosciamo ancora

la tensione nei due nodi estremanti, però sappiamo qual è la differenza di potenziale che

c'è fra essi e sarà un vincolo da inserire nel sistema che andremo a risolvere. Su questo

super nodo applichiamo poi l'equazione di Kirchhoff alle correnti. Pensandoci bene, il nodo

di riferimento migliore in questi casi è sempre quello a cui sono connessi più generatori

contemporaneamente, perché ci permettono di evitare numerosi calcoli.

L'ultimo caso è praticamente uguale ai precedenti: l'unica differenza è che bisogna tener

conto dei vincoli all'interno del sistema e delle equazioni.

Note apparentemente stupide:

− Se scegli che la corrente è positiva se entrante e negativa se uscente o viceversa,

sii coerente sempre con la scelta!

− Il potenziale da calcolare è agli estremi di due punti (i nodi sostanzialmente), non

dentro i resistori :P

I DOPPI BIPOLI sono bipoli connessi con quattro terminali tali che, presi due a due, la

corrente entrante è uguale alla corrente uscente. Se per esempio chiamiamo i , i , i e i le

1 2 3 4

correnti che passano nei terminali, un doppio bipolo è tale se i = -i e i = -i . Le coppie di

1 3 2 4

terminali che soddisfano questa caratteristica sono dette PORTE: i doppi bipoli sono per

questo anche chiamati RETI DUE PORTE. Siccome la tensione e la corrente di ogni porta

è uguale in entrambi i terminali, d'ora in poi identificheremo con i , i , v , v le correnti e le

1 2 1 2

tensioni delle porte.

La loro equazione caratteristica deve considerare due valori di tensioni e corrente, cioè i

due valori presenti nelle porte. Per questo l'equazione caratteristica è composta da matrici,

e dovremo divertirci a calcolarle! Abbiamo due possibili caratteristiche:

− V R I

CONTROLLATA IN CORRENTE: =

− I V

CONTROLLATA IN TENSIONE: =G

In questo contesto I e V sono i vettori colonna delle correnti e delle tensioni, mentre R e G

sono matrici di ordine 2 delle resistenze e delle conduttanze. I vettori colonna contengono i

valori V , V , I , I che sono termini noti. Le matrici contengono i valori R , R , R , R ,

1 2 1 2 11 12 21 22

G , G , G , G che sono i valori che dovremo andare a calcolare.

11 12 21 22

Iniziamo con la rappresentazione controllata in corrente, in cui lo scopo è cercare la

matrice delle resistenze. Spegniamo i generatori indipendenti eventualmente presenti nel

bipolo e connettiamo i terminali della porta 1 con un generatore di corrente I e lasciamo la

1

porta 2 in circuito aperto: R è la resistenza che determina la tensione V nella porta 1,

11 1

mentre R è la resistenza che determina la tensione V nella porta 2. Ora connettiamo i

21 2

terminali della porta 2 con un generatore di corrente I e lasciamo la porta 1 in circuito

2

aperto: R è la resistenza che determina la tensione V nella porta 1, mentre R è la

12 1 22

resistenza che determina la tensione V nella porta 2.

2

Adesso analizziamo la rappresentazione controllata in tensione, in cui lo scopo è cercare

la matrice delle conduttanze. Spegniamo i generatori indipendenti eventualmente

presenti nel bipolo e connettiamo i terminali della porta 1 con un generatore di tensione V 1

e lasciamo la porta 2 in corto circuito: G è la conduttanza che determina la corrente I

11 1

nella porta 1, mentre G è la conduttanza che determina la corrente I nella porta 2. Ora

21 2

connettiamo i terminali della porta 2 con un generatore di tensione V e lasciamo la porta 1

2

in corto circuito: G è la conduttanza che determina la corrente I nella porta 1, mentre G

12 1 22

è la conduttanza che determina la corrente I nella porta 2.

2

Si noti che, come nei bipoli semplici la conduttanza è l'inverso della resistenza, anche nei

doppi bipoli la matrice delle conduttanze non è altro che l'inversa della matrice delle

resistenze, quindi conoscendo una matrice si può ricavare l'altra. Questo significa però

anche che ci sono dei casi in cui una delle due matrici non è ricavabile!

Nel caso in cui il bipolo contenga al suo interno generatori indipendenti, dovremo

aggiungere nell'equazione caratteristica anche i TERMINI NOTI, cioè i contributi dei

generatori interni ai valori di tensione e corrente. Basta calcolare la tensione (corrente) alle

porte entrambe aperte (cortocircuitate) e bona.

L'AMPLIFICATORE OPERAZIONALE è un aggeggio strano che fa magie altrettanto

strane. È un doppio bipolo con due terminali di ingresso e due di uscita. I terminali di

ingresso sono chiamati INVERTENTE (segno meno) e NON INVERTENTE (segno più). I

terminali di uscita sono collegati uno al resto del circuito e l'altro a terra.

Nell'amplificatore operazionale ideale i terminali di ingresso non sono percorsi da corrente

e la differenza di potenziale tra i due terminali è nulla: questo fenomeno viene descritto

come CORTO CIRCUITO VIRTUALE e CIRCUITO APERTO VIRTUALE.

Le configurazioni notevoli sono queste:

− INSEGUITORE: il generatore di tensione è collegato al terminale non invertente,

mentre il terminale invertente è cortocircuitato con l'uscita dell'OpAmp. La tensione

risultante è uguale a quella del generatore di tensione ed è indipendente dalla

presenza di eventuali resistori nel percorso.

− AMPLIFICATORE INVERTENTE: il generatore di tensione è collegato al terminale

invertente, mentre tra il terminale non invertente e l'uscita è presente un resistore.

La tensione risultante ha polarità opposta a quella del generatore ed è

proporzionale al valore della resistenza.

− AMPLIFICATORE SOMMATORE: più generatori di tensione sono collegati al

terminale invertente, mentre tra il terminale non invertente e l'uscita c'è un resistore.

La tensione risultante è di polarità opposta ed eq