Appunti completi corso Elettrotecnica

Lo scopo di un sistema elettronico

Qual è lo scopo di un sistema elettronico? Deve acquisire informazioni, elaborarle e fornire risultati.

Cos'è l'elettricità?

Sperimentalmente si è visto che esiste un'azione meccanica (di attrazione o repulsione) tra corpi che non entrano in contatto e che questa azione cambiava in base al materiale usato. Esempio semplicissimo della penna strofinata sulla lana che attira i pezzi di carta: questa azione meccanica senza contatto è l'elettricità, che si manifesta diversamente in base al materiale utilizzato e dispone di polarità (alcuni materiali si attraggono, altri si respingono). Il fenomeno non si manifesta nemmeno in presenza di certi materiali: alcuni sono conduttori (permettono lo spostamento degli elettroni), altri sono isolanti (intrappolano gli elettroni e ostacolano il trasferimento della carica).

L'elettricità rappresenta lo stato elettrico. Il portatore dello stato elettrico è la carica: si trova negli atomi, dove la carica positiva sta nel nucleo e quella negativa negli elettroni. L'elettrone è una carica negativa in grado di spostarsi. Il flusso di carica è un flusso di elettroni. La maggior parte degli atomi però è stabile: le proprie caratteristiche atomiche rimangono stabili in condizioni normali. La carica mobile quindi si può spostare solo in caso di lavoro, altrimenti sta ferma.

A tenerla ferma è la carica uguale e opposta all'elettrone, che sta nell'atomo. La carica si può spostare, ma non la creiamo né la distruggiamo, per il principio di conservazione della carica. L'elettrone è una particella carica negativamente. È dotata di massa: la massa elettronica vale 9,11 * 10^-28g. Oltre alla massa ha anche una carica, la carica elementare q vale 1,6 * 10^-19C (coulomb, unità di misura della carica).

Il flusso di carica e la corrente elettrica

Sottrarre carica significa spostare la carica, creare un flusso. Il flusso dipende dalle cariche mobili presenti nel sistema. Se abbiamo una certa quantità di elettroni, questa quantità può essere spostata lungo una direzione. Per farlo dobbiamo compiere del lavoro elettrico, intervenire dall'esterno modificando le condizioni che tenevano ferme le cariche. Il flusso di cariche nel tempo si chiama corrente elettrica.

• La corrente elettrica è il flusso e la sua intensità è il rapporto tra la quantità di carica che passa nell'unità di tempo. La corrente quindi si misura in coulomb al secondo, cioè in A (ampere), dove 1 ampere = 1 coulomb/secondo.
• La tensione elettrica si misura in V (volt).
• La potenza elettrica si misura in W (watt) ed equivale a i * V.

Forze elettriche e legge di Coulomb

Quando c'è repulsione o attrazione? Ci sono di mezzo delle forze elettriche responsabili di questo. La forza fondamentale è descritta dalla legge di Coulomb che dice: prese due cariche q₁ e q₂ ad una distanza r, esse si trovano sotto una forza detta Forza di Coulomb che vale:

\[ F = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]

con ε che indica la costante dielettrica del materiale in cui si trovano le cariche. Essendo una forza, si misura in N (newton). Più le cariche sono vicine, più la forza si fa sentire. q₁ e q₂ sono due numeri reali, ma ci servono anche una direzione e un verso, cioè un vettore. È un'entità matematica con tre valori (modulo, direzione, verso) e si rappresenta con una freccia. Quella forza è proprio un vettore.

Campo elettrico

Poniamo ora una carica ferma Q e un'altra mobile q: come misuriamo la carica ferma? Abbiamo bisogno che la carica di prova q sia molto più piccola rispetto a Q, in modo da non compromettere il sistema e il risultato non sarà dipendente dalla carica di prova. La densità di forza è detta campo elettrico, ed è indicata dalla formula:

\[ E = \frac{F}{q} = \frac{Q}{4\pi\epsilon r^2} \]

Sapendo che la forza è in newton e la carica in coulomb, il campo elettrico si misura in N/C, ma anche in V/m (volt su metro). Avevamo detto che due cariche possono interagire fra loro in modo meccanico grazie alla forza elettrica (legge di Coulomb) e che una carica emette un campo elettrico (effetto elettrico in una regione di spazio). Perché le cariche si muovano, deve esserci dell'energia che le spinge e un circuito chiuso su cui muoversi composto da un materiale conduttore.

Corrente elettrica in un circuito

In questo circuito la carica deve essere raccolta e inserita (ricordati che la quantità di carica è costante e si conserva). Preso un conduttore e una sezione s del conduttore, esiste corrente elettrica se esiste un flusso di carica attraverso la sezione in un certo intervallo di tempo Δt.

Il flusso di carica è perciò indicato dal rapporto:

\[ I = \frac{\Delta q}{\Delta t} \]

Considerando un intervallo di tempo infinitesimo Δt → 0 avremo la corrente elettrica istantanea. Si misura in ampere (A) e 1 A equivale ad 1 coulomb al secondo. Alla corrente per convenzione si dà un verso che è opposto all'effettivo verso di spostamento degli elettroni. In pratica si considera il verso di percorrenza delle cariche positive: gli elettroni sono cariche negative, perciò si muovono nel verso opposto.

Potenziale e differenza di potenziale

Ogni carica possiede un potenziale proprio con w l'energia posseduta e q la quantità di carica:

\[ V = \frac{w}{q} \]

Se una carica si sposta da un punto a ad un punto b, il suo potenziale cambia così che:

\[ \Delta w = w_a - w_b \]

Possiamo perciò definire differenza di potenziale (o tensione) il valore:

\[ V_{ab} = \frac{\Delta w}{q} = w_a - w_b \]

Si misura in volt (V) e 1 V equivale alla variazione di 1 joule per coulomb. Nota che è indifferente il percorso e la traiettoria seguita dalla carica per passare da un punto all'altro: la differenza di potenziale dipende solo ed esclusivamente dalla posizione iniziale e finale (e nota anche che sono ben diversi i concetti di potenziale e differenza di potenziale). La tensione è proprio ciò che permette alla carica di spostarsi: è un'energia che la carica può usare come energia cinetica per il movimento.

Potenza elettrica

Un'altra misura importante è la potenza, cioè la quantità di energia perduta dall'elettrone nell'unità di tempo:

\[ P = \frac{\Delta w}{\Delta t} \]

Considerando un intervallo di tempo infinitesimo Δt → 0 abbiamo la potenza istantanea. Si misura in watt (W) e 1 watt rappresenta 1 joule assorbito in un secondo. Ma pensaci bene... La differenza di potenziale è joule/coulomb, la corrente è coulomb/secondo, se tu moltiplichi quelle unità di misura ottieni proprio joule/secondo! Quindi:

\[ P = I \cdot V \]

Se la potenza è positiva, significa che viene assorbita, mentre se è negativa, significa che viene erogata. La potenza inoltre si può esprimere in termini di funzione, perché è la derivata dell'energia in funzione del tempo. Di conseguenza l'energia totale assorbita da un sistema in un intervallo di tempo t₀ e t₁ sarà l'integrale:

\[ \int_{t_0}^{t_1} P(t) \, dt = \int_{t_0}^{t_1} I(t) \cdot V(t) \, dt \]

Circuiti elettrici e generatori

È finalmente arrivato il momento di fare il nostro primo circuito! Mettiamo un generatore, l'oggetto che mantiene il flusso nel sistema, e un utilizzatore, per esempio una lampadina. Il generatore ha lo scopo di dare energia potenziale alle cariche, che girano nel circuito ed entrano nell'utilizzatore, che usa questa energia. Presa una qualsiasi sezione di un circuito, l'energia che entra eguaglia quella che esce: l'energia ceduta dal generatore viene data alle cariche e ceduta nuovamente all'utilizzatore. Quanta energia entra, tanta ne esce per il principio di conservazione dell'energia.

• Convenzione degli utilizzatori: la corrente è positiva se entrante.
• Convenzione dei generatori: la corrente è positiva se uscente.

Indipendentemente dalla complessità del circuito, in ogni istante tutta l'energia erogata dai generatori deve essere assorbita dagli utilizzatori (principio di conservazione della potenza istantanea). La somma delle potenze generate dai generatori deve eguagliare la somma delle potenze usate dagli utilizzatori, quindi la sommatoria di tutto quanto dovrà essere zero! Se conosciamo i valori di tensione e corrente, possiamo ricavare tutto di un componente elettrico!

Il circuito elettrico è un generico circuito chiuso, in cui chiamiamo nodi le intersezioni dei fili, lati o rami le connessioni che portano da un nodo a un altro, maglia il percorso chiuso che porta da un nodo allo stesso nodo di partenza.

Leggi di Kirchhoff

Avevamo definito i concetti di nodo, ramo e maglia. Ora analizziamo i circuiti partendo dal presupposto che la tensione cambia solo all'interno dei componenti (ipotesi di parametri concentrati). Ciò significa che se su rami adiacenti non ci sono componenti, la tensione non cambia (nodi equipotenziali).

Prima legge di Kirchhoff (LKC)

Preso un qualsiasi nodo di un circuito, la somma di tutte le correnti entranti è uguale alla somma di tutte le correnti uscenti. In modo equivalente, la somma algebrica di tutte le correnti che attraversano un nodo è uguale a zero. È una conseguenza del principio di conservazione della carica.

Prima di effettuare i calcoli, si assegna ad ogni corrente un verso arbitrario. Se il risultato è negativo, allora la corrente effettiva scorre nel verso opposto a quello scelto.

Seconda legge di Kirchhoff (LKT)

Presa una qualsiasi maglia di un circuito, la somma algebrica di tutte le tensioni incontrate dalla carica nel suo percorso è uguale a zero. È la conseguenza del principio di conservazione dell'energia: una carica che parte da un punto e arriva nello stesso dovrà necessariamente avere una differenza di potenziale nulla.

Anche in questo caso, prima di fare i calcoli, si assegna ad ogni tensione una polarità arbitraria. Se il risultato è negativo, allora la polarità effettiva è opposta a quella scelta. Da queste due leggi deriva un'altra formula importante che è conseguenza del principio di conservazione dell'energia istantanea: la somma di tutte le potenze erogate è uguale alla somma di tutte le potenze assorbite. La loro somma algebrica dunque è zero.

Stabiliamo la convenzione che la potenza è erogata se la corrente scorre dal polo positivo al polo negativo, altrimenti è assorbita ed ha segno negativo. Queste leggi sono fondamentali per l'analisi dei circuiti, ma non sufficienti: abbiamo bisogno delle relazioni caratteristiche, che indicano le dipendenze tra tensione e corrente, ovvero il comportamento di ogni singolo componente di un circuito. Non avremo bisogno di un'equazione per ogni nodo N o per ogni lato L: per i nodi avremo N-1 equazioni, per i lati avremo L-N+1 equazioni.

Relazioni caratteristiche

Il legame tensione-corrente può essere di due tipi: legame di tipo algebrico o trascendente (funzioni di tipo trigonometrico, esponenziale, logaritmico).

I legami lineari si basano sull'equazione:

\[ av + bi + c = 0 \]

e sono perciò espressi da una retta. Se i parametri a, b, c non dipendono dal tempo, allora l'equazione è non-tempovariante (tensione e corrente dipendono dal tempo per i fatti loro, ma non ci interessa). Iniziamo a vedere i componenti con legame algebrico lineare non-tempovariante.

Resistore

È sostanzialmente un pezzo di conduttore elettrico, per esempio un filo di rame. Ha una lunghezza l, una sezione s e una resistività ρ, una caratteristica microscopica che frena gli elettroni (per impatti atomici vari). L'insieme di questi parametri dà un valore detto resistenza: oltre a dipendere dalla resistività del materiale, dipende dalla lunghezza (con essa aumenta il periodo di tempo in cui gli elettroni sono rallentati) e dalla sezione (più è grande più gli elettroni sono liberi di spostarsi). Questo valore si misura in Ω (ohm) ed equivale a:

\[ R = \frac{\rho \cdot l}{A} \]

dove ρ è la resistività in Ωm, l la lunghezza in m, A l'area trasversale della sezione in m². Esiste anche un'unità di misura chiamata conduttanza che è esattamente l'inverso della resistenza: si misura in S (siemens) e la indichiamo con la lettera G.

Grazie alla resistenza possiamo definire l'equazione dei resistori (legge di Ohm):

\[ V = I \cdot R \]

L'equazione è una retta di coefficiente angolare R e può essere espressa sia in termini di tensione sia in termini di corrente! Entrambe le unità di misura possono essere scelte come riferimento (ciò vuol dire anche che modificando uno dei due parametri, anche l'altro cambia). Possiamo ricavare due casi limite:

• Resistenza nulla (conduttanza infinita): un resistore di resistenza nulla è un corto circuito e la sua caratteristica è V = 0 per qualsiasi valore di corrente.
• Conduttanza nulla (resistenza infinita): un resistore di conduttanza nulla è un circuito aperto e la sua caratteristica è I = 0 per qualsiasi valore di tensione.

Generatore ideale di corrente

Prendendo come esempio l'equazione generale, la caratteristica del generatore ideale di corrente è:

\[ I + c = 0 \]

Ciò significa che la corrente ha un valore sempre costante per qualunque valore della tensione. Questo ovviamente è una situazione ideale, perché forza la stessa quantità di corrente qualunque sia la differenza di potenziale data. Questo tipo di generatore viene anche chiamato indipendente, forzante o impressivo.

Generatore ideale di tensione

In modo analogo al componente precedente, l'equazione del generatore ideale di tensione è:

\[ V + c = 0 \]

Qualunque sia la corrente data, questo generatore fornisce sempre la stessa quantità di tensione, che è costante. I generatori erogano potenza secondo la ben nota formula:

\[ P = I \cdot V \]

I resistori assorbono potenza, e siccome la loro caratteristica si può esprimere sia in termini di tensione che di corrente, anche la potenza può essere espressa da due equazioni del tutto equivalenti tra loro:

\[ P = I^2 \cdot R = \frac{V^2}{R} \]

Connessioni in serie e in parallelo

• Definiamo due o più resistori connessi in serie se tra loro scorre la stessa corrente. La resistenza equivalente è la somma delle resistenze.
• Definiamo due o più resistori connessi in parallelo se sono sottoposti alla stessa differenza di potenziale. La conduttanza equivalente è la somma delle conduttanze. In presenza di n resistori di uguale resistenza, la resistenza equivalente sarà:

\[ R_{eq} = \frac{R}{n} \]

Un generatore ideale di tensione con due resistenze in serie è un partitore di tensione. La tensione si divide in maniera proporzionale alla resistenza:

\[ V_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot V \]

\[ V_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot V \]