Appunti Analisi complessa

DEFINIZIONE E PROPRIETÀ DI FUNZIONI ELEMENTARI IN CAMPO COMPLESSO

(D = DOMINIO; B = INSIEME DI CONTINUITÀ; A = APERTO DI OLOROFRIA)

• ESORONENZIALE

  f(z) = e^z = e^xrez{cos[Imz] + i(sen[Imz])}

  = e^z = e^x(cosy + seny)

  D ∈ CB ∈ CA ∈ C ( piano complesso privato della semiretta reale negativa

• Proprietà: d/dz log(z) = 1/z
• Potenza principale: f(z) = z^α = e^{α log(z)}, α ∈ CD = C\{k = 0}B = A = C\{x < 0}
• Proprietà: z^α z^β = z^α+βd/dz z^α = αz^α-1
• Casi particolari:
  • α = n ∈ N, D = B = A = C
  • α = -n ∈ N, D = B = A = C*
  • α ∈ Q, D = B = C\{0}, A = C*
  • α ∉ Q, D = B = C\{0}, A = C**

Funzioni trigonometriche

f(z) = senz = e^iz - e^-iz

f(z) = cosz = e^iz + e^-iz/2

sen²z + cos²z = 1

D = B = A = C

Funzioni intere 2π-periodichesen(z) = -senh(z)_id/dz senz = coszd/dz cosz = -senz

Funzioni iperboliche

f(z) = senh(z) = e^z - e^-z/2

f(z) = cosh(z) = e^z + e^-z/2

cos²h(z) - sen²h(z) = 1

D = B = A = C

Funzioni intere 2π-periodiche

d/dz sen h(z) = cosh(z)

d/dz cosh(z) = senh(z)

sen h(1z) = 1sen z

cosh(1z) = 1cos z

Condizioni di Cauchy-Riemann

f(z) = u(x,y) + i v(x,y)

f è olomorfa in A se e solo se:

∂u/∂x(x,y) = ∂v/∂y(x,y)

∂u/∂y(x,y) = - ∂v/∂x(x,y)

Integrali curvilinei in campo complesso (I parte)

∫_Γ f(z)dz = ∫_a^b f_p (x(T),y(T)) (x'(T) + i y'(T)) dT

r(T) = x(T) + i y(T) , T ∈ [a,b]

Teorema integrale di Cauchy

Se Γ è il bordo di un dominio A e sempre ci metta connesso in cui f(z) è olomorfa, allora

∫_Γ f(z)dz = 0

Primitiva

f(z) è una primitiva di F(z) se F'(z) = f(z)

Se Γ è omotopa a γ (stessa base) e filmamento decompose Cauchy e f è olomorfa. In tal caso si ha:

∫_γ f(z)dz = F(B) - F(стa)

oppure ∫_Γ^B f(z)dz = ∫_А^β F(H) Z'(H)dT

Circonferenza in C di centro Zo e raggio R

Γ = {z ∈ C : |z-zo| = R}

z = zo +R(cosθ + i senθ), θ ∈ [0,2π]

Formule di Cauchy

1ª formula: f^(p)(zo) = 1/2π i ∮ (f(z)/z-zo) dz

2ª formula: f^(p)(zo) n!/2π i ∮ (f(z)/(z-zo)^p+1) dz

Teorema di Morera

Se f(z) è una funzione continua in un dominio A e per ogni curva (chiusa) contenuta in A allora f(z) è olomorfa in A

Serie di potenze in C (di Taylor)

Σ_n=0^∞ c_n(z-z₀)ⁿ converge se |z-z₀|<Rdiverge se |z-z₀|>Rcentro? se |z-z₀|=R

R(z) analitica se è sviluppabile in serie di Taylor:R(z)= Σ_n=0^∞ c_n(z-z₀)ⁿ, |z-z₀|<R dove:c_n= ^B(n)(z₀)⁄_n!= ¹⁄_2πi∫^{γ R(ζ)}⁄_{(ζ-z0)ⁿ⁺¹} dζ

R(z) indiretta se asintotica in |z-z₀|<R

Sviluppi di Maclaurin in (z₀=0) di funzioni elementari

• -¹⁄_1-z=Σ_n=0^∞ zⁿ, |z|<1
• e^z=Σ_n=0^{∞ zn}⁄_n!, ∀z∈C
• log(1+z)=Σ_n=0^{∞ (-1)nzn}⁄_n, |z|<1
• sen z=Σ_n=0^∞ (-1)^{n z2n+1}⁄_(2n+1)!, ∀z∈C
• cos z=Σ_n=0^{∞ (-1)nz2n}⁄_(2n)!, ∀z∈C
• senh z=Σ_n=0^{∞ z2n+1}⁄_(2n+1)!, ∀z∈C
• cosh z=Σ_n=0^{∞ z2n}⁄_(2n)!, ∀z∈C

Singolarità

• Isolate
• Non Isolate

R(z) analitica in A; z₀ è singolarità isolata per R(z) se z₀∈A, ma ∂z₀: B= {z| |z-z₀|<r}es.: R(z)= ^∂[z] porque z⇾zerf di P_n(z) (Im(z)=0) sono singolarità isolate di:^P_n(z)⁄_pο(z)

Eliminabile:

se lim_z→z0 R(z)=l ∈C

Polo di ordine n:

lim_z→z0 (z-z₀)ⁿ R(z)≠0

Essenziale: è non eliminabile, nè un polo (se lim_z→z0 R(z)=0 non esiste)

Residui

Se R(z) analitica in A, z₀ singolarità isolatares (R,z₀)=¹⁄_2πi∫^γ R(ζ)dζγ qualunque circuito contenente la sola z₀ come singolarità

se z₀ è eliminabile ⇒ res (R,z₀)=0

se z₀ è un polo semplice ⇒ res (R,z₀)=lim_z→z0 [(z-z₀)R(z)]

se z₀ è polo doppio => Res (f, z₀) = Riim z₀ { (z - z₀)²f(z) }

se z₀ è polo di ordine n => Res (f, z₀) = (n - 1)! Riim z₀ { f^{(n - 1)}(z) + ... }

Sviluppo in Serie di Laurent

f(z) analitica in CR₁R₂(z₀) oppure:a_n(z-z₀)ⁿ:

f(z) =∑_{n = -∞}^∞c_n(z-z₀)ⁿ

=... + (c_-2(z-z₀) +c_-1(z-z₀)^-1 +co + c₁(z-z₀) +c₂(z-z₀)² +...

Parte Singolare Parte Regolare

oss.: c_-1 =&frac{1}{2πi}∫_γ f(z)dz = Res (f,z₀)

=> noto lo sviluppo in serie di Laurent i coefficienti che molestano. ie t/unità &frac{1}{z-z₀}

Se z₀ eliminabile => ∑ c_n = ... f(z) => f(z) = ∑_{n >= 0} c_n(z-z₀)

z₀ è un polo di ordine k => ∃ c_-n = ... n > k

f(z) = c_-k / (z - z₀)^k + c_-k+1/(z-z₀)

z₀ è una singolarità essenziale e la parte singolare contiene infinititermini (con coefficienti non nulli)

Prima formula integrale di Cauchy

: → ℂ, olografica in semplicemente connesso

(₀) = (1/2) ∮ (()/(-₀))

= ∂ ∀ ₀ =

∮ (()/₀) (/(-₀)) = 2 (₀)

Esempio

∮ (/(²+1))

: |-| = 1 verso antiorario

∮ (1/((²+1)(-))) = ∮ ((+)/(-)) = 2 () = 2 (-1/) = -

Teorema dei Residui

Sia : → ℂ olografica in ∖ {₀, ₁, …, ₖ} essendo ᵢ singolarità di contenente in , allora:

∮ () = 2 Σ ₖ Res ((),ₖ), ∂

Lemma del Grande Cerchio

Se () continua in = { Im ≥ 0 } e se lim () = 0 ||→+∞

lim ∫ () = dove la semicirconferenza di centro '0'origine

ed ioggio , contenuto in

= ˡ ᴵᵀ

Applicazione agli Integrali Improvati in ℝ

∫ (() = lim ∫ () = 2 Σ Res ((),ₖ), Im ₖ > 0

dove e dell'azione di e del segmento - < < e lim → ±∞ () = 0

Lemme di Jordan

Sia () continua in = { Im ≥ 0 } e vole che lim () = 0

allora lim ∫ () = 0 dove e la semicirconferenza di centro

l'origine e raggio , contenuto in .

Approssimazione al calcolo di integrali impropri in R

1. ∫_-∞^+∞ sen x f(x) dx = ∑_k=1^∞ Im [e^iz R(x)] dx = Im [π∑_k=1^∞ Z_k)], Im z_k > 0

2. ∫_-∞⁰ cos x f(x) dx = Im ∫_-R^+∞ ei^2πR(x) dx = Re [π∑_k=1^∞ cos(ei 2π Z_k], Im z_k > 0

dove γ è l'unione di Re e il segmento -R ≤ x ≤ R e lim R(x) = 0 x → ±∞

Integrali di funzioni razionali di seno e coseno su un periodo

∫₀^2π R(sen x, cos x) dx = ∫_γ R(

z⁻¹, z⁻¹/z²) dz/z

z = e^ix

Quando è effettuato ea sostituzione z = e^ix, x ∈ [0, 2π] e γ è il cerchio di centro e origine e raggio 1

TRASFORMATA DI LAPLACE

DEF: ^L[ℛ](s) = F(s) = ∫₀^∞ f(T) e^-sT

DEF: f ∈ ℛ (T) --> T ∈ ℝ e f convergente → β (T) un esponenziale

PROPRIETA' LINEARITA': ^L[c₁ℛ₁ + c₂ℛ₂] = c₁ ^L[ℛ₁](s) + c₂ ^L [ℛ₂](s)

σ [ℛ₁ + ℛ₂] = max (σ[ℛ₁], σ[ℛ₂])

DERIVABILITA'

Traslazione retoriche: f(m) = f(T-m) → ^L[ℛ(T – T₀)] = e^-sT₀ ℛ^-1[T](s)

TRASLAZIONE CONVERGENZA

^L[e^aT ℛ(T)](s) = ^L[ℛ(s-a)]

TRASF. DELLA DERIVATA: ^L[f⁽ⁿ⁾](s)=[s ⁿ ℛ (T) - s^n-1 ℛ (T)...- ℛ^(n-1)(0)]

^L[ℒ(T)] = ∫_a^s f(T)e^-sT dT

ANTITRAFOTRUATA

L^-1-[F](T) = ∑ Res (e^st f(s), s_j) su punti di F(s)

1. a_b esiste E(s) possiede delle seguenti proprieta’;
2. F(s) si annulla per t=0 → F⁽ⁿ⁾;
3. Complementare: Esper.

TAVOLA TRASFORMATE FUNZIONI ELEMENTARI

• 1 → ^L F(T) = F(s) = 0
• e^aT → ^L[σ
• e^aTcos(wT) σ[ℛ] = s₂²+[ω2]
• sen h^(wt) | ω > 0

LIMITATEZZA

f è L-TRASFORMABILE

• lim
• Re(s) -> +∞
• L[R](s) = 0

ES: HEAVISIDE

f(t) = {1 t ≥ 0, 0 altrimenti}

DILATAZIONE

c > 0

=> L[R(ct)]s = 1/c L[R](s/c)