Appunti Aerodinamica Supersonica

AERODINAMICA SUPERSONICA

ussi comprimibili e non viscosi

25 gennaio 2018

Indice

1 Aspetti preliminari 1

1.1 ripasso termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 legge dei gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Energia interna ed Entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Primo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Secondo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 relazioni isoentropiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Denizione di comprimibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Equazioni fondamentali del moto del uido . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 equazione di bilancio della quantità di moto . . . . . . . . 4

1.3.3 Equazione dell'energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Equazioni per ussi comprimibili e non viscosi . . . . . . . . . . . 5

1.5 Denizione delle condizioni di ristagno (o totali) . . . . . . . . . 6

1.6 onde d'urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Onde d'urto normali 9

2.1 Equazioni per onde d'urto normali . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 velocità del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 forma speciale dell'equazione dell'energia . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 quando un usso è comprimibile? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 calcolo delle proprietà per onde d'urto normali . . . . . . . . . . 16

3 Onde d'urto oblique ed onde di espansione 20

3.1 relazioni per onde d'urto oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

− −

θ β M ach

3.2 Equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 usso supersonico su cunei e coni . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 rifrazione e riessione di onda d'urto . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Espansione nita di Prandtl-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

shock-expansion theory

3.6 : applicazione ai proli supersonici . . . . 32

3.7 coecienti di portanza e resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

4 Flussi comprimibili e subsonici: Teoria linearizzata 34

4.1 Equazione del potenziale della velocità . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Linearizzazione del potenziale della velocità . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Correzioni per ussi comprimibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Correzione di Prandtl-Glauert . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2 Correzione di Karman-Tsien e di Laitone . . . . . . . . . 37

4.4 Numero di Mach critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Drag divergence Mach Numer

4.5 : il muro del suono . . . . . . . . . 40

4.6 La regola delle Aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.7 Proli alari supercritici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Teoria linearizzata per ussi supersonici 44

5.1 coeciente di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Applicazione ai proli alari supersonici . . . . . . . . . . . . . . 45

2

1 Aspetti preliminari

1.1 ripasso termodinamico

1.1.1 legge dei gas perfetti

Un gas è un complesso di particelle (molecole, atomi, ioni, elettroni, ecc) che si

muovono di un moto randomico. A causa della strutturica elettronica di queste

particelle, un campo di forze pervade lo spazio circostante. Il campo di forza

dovuto a una particella si estende e interagisce con la particella vicino, e vice-

forze intermolecolari

versa; queste forze che vengono a crearsi sono chiamate .

Tuttavia, se le particelle del gas sono abbastanza distanti, l'inuenza della forza

intermolecolare è piccola e può essere trascurata. Un gas in cui le forze inter-

gas perfetto

molecolari sono trascurabili, prende il nome di .

p, ro, T

Per un gas perfetto, dipendono dall'equazione:

p = ρRT

costante specica del gas

dove R è la , che assume valori dierenti valori in

base a dierenti gas. costante

In condizioni standard, per l'aria, R=287 J/(kg*K). Mentre, Ro è la

universale del gas , che vale: Ro = 8.314 J/(mol*K). Si può anche scrivere come:

pν = RT

dove nu è il volume specico: ν = 1/ρ

1.1.2 Energia interna ed Entalpia

Consideriamo una singola molecola di un gas, questa si muove nello spazio in

modo casuale, scontrandosi occasionalmente con una molecola vicina. A causa

della sua velocità, la molecola genera energia cinetica.

Inoltre, ogni molecola ha un movimento di traslazione (atomi collegati lungo

vari assi) e un movimento rotatorio nello spazio. L'energia cinetica di questa

rotazione contribuisce all'energia complessiva della molecola. L'energia totale è

data dalla somma delle energie traslazionali, rotazionali, vibrazionali ed elettro-

niche.

Consideriamo un volume nito di gas contenente un gran numero di moleco-

energia

le. La somma delle energie di tutte le molecole del gas è denita come

interna e

del gas, denominata come :

h = e + pnu

entalpia specica

h

dove è l' .

e h

Per un gas perfetto, e sono solo funzione della temperatura:

e=e(T), h = h(T).

In forma dierenziale, le equazioni diventano:

de = c dT

v

dh = c dT

p

c c

Per un gas specico, e , sono legati dall'equazione:

p v −

c c = R

p v

c

dividendo l'equazione per , otteniamo:

p −

1 (c /c ) = (R/c )

v p p

denendo: γ = c /c

p v

, −

1 1/γ = R/c

p

⇒ −

c = γR/(γ 1)

p

⇒ −

c = R/(γ 1)

v

1.1.3 Primo principio della termodinamica

primo principio della termodinamica

Il è un risultato empirico, confermato

anche dall'esperienza: δq + δw = de

e

In questa equazione, solo è una variabile di stato, ovvero dipende solo dalle

condizioni iniziali e nali del sistema.

de

Per una data ci sono una innità di modi dierenti per andare a lavorare sul

sistema. Noi ci concentriamo principalmente su tre di questi:

1. Processo adiabatico: non ci sono scambi di calore tra il sistema e l'esterno

−pdν

δw =

−

δq pdν = de

2. Processo reversibile: non ci sono processi dissipativi (eetti viscosi, conduci-

bilità termica, diusione di massa)

3. Processo isoentropico: processi sia reversibili sia adiabatici

In forma entalpica, il primo principio della termodinamica diventa:

−

de = δq δw = δq + pdν

ma: h = e + pν

→ dh = de + d(pν) = de + νdp + pdν

−

de = dh νdp + pdν

− − −

δq pdν = dh νdp pdν

⇒ dh = δq + νdp calore specico

Con un processo a volume costante, deniamo c, , come

C = δq/dt

→ δq = de + pdν

⇒

de = δq = c dT de = c dT

v v

Invece, con un processo a pressione costante:

−

δq = dh νdp = dh

dh = c dT

p

2

1.1.4 Secondo principio della termodinamica

Deniamo l'entropia s, come:

ds = δq /T [J/K]

rev

Inseriamo l'entropia nel I principio della termodinamica:

−

δq pdν = de

−

T ds pdν = de

T ds = de + pdν

−

T ds = dh νdp

Per i gas perfetti otteniamo: dT + p(dν/T )

ds = c

v T −

ds = c (dT /T ) (νdp/T )

p

Richiamando l'equazione dei gas perfetti, otteniamo l'equazione:

T p

Z Z

dT dp

2 2

− −

c

s s = R

p

2 1 T p

T p

1 1

T p

2 2

⇒ − −

s s = c ln( ) Rln( )

2 1 p T p

1 1

ν

T 2

2

⇒ − ) + Rln( )

s s = c ln(

2 1 v T ν

1 1

1.1.5 relazioni isoentropiche

ds = 0 T p

2 2

− −

s s = c ln( ) Rln( )

2 1 p T p

1 1

p T p

c p T T

cp γ

2

2 p 2 2 2 2 )

(

)

(

→ →

→

ln( ln(

) = ) = ( ) = ( ) γ−1

R

p R T p T p T

1 1 1 1 1 1

T ν

2 2

−

s s = c ln( ) + Rln( )

2 1 v T ν

1 1

ν c ν T ρ T

cv 1

2 v 2 2 2

2

−( )

→ −( → →

ln( ) = )lnT T = ( ) = ( ) γ−1

R

2 1

ν R ν T ρ T

1 1 1 1 1

T ρ p

γ

2 2 2

γ

⇒ ( ) = ( ) =

γ−1

T ρ p

1 1 1

3

1.2 Denizione di comprimibilità

Deniamo:

• Fattore di comprimibilità (denizione generica):

1 dν

−

= ν dp

• Fattore di comprimibilità isotermo (T = cost):

1 dν

−

=

T ν dp T =cost ν

• ∂q =0 = 0

Fattore di comprimibilità isoentropico ( , ):

ρ

dν

1

−

=

s ν dp s

1.3 Equazioni fondamentali del moto del uido

1.3.1 Equazione di continuità Z

d d

m = ρ dν = 0

dt dt ν(t)

In forma integrale ottengo: Z Z

d ∂

m = ρ dν + ρ~v d~s = 0

dt ∂t ν S

Mentre, in forma dierenziale: ∂ρ ∇ρ~v

+ = 0

∂t

Dρ + ρ∇~v = 0

Dt

1.3.2 equazione di bilancio della quantità di moto

dQ d

= m~v = R [N ]

~

F

dt dt ext

In forma integrale:

Z Z Z Z

∂ ~

−

ρ~v dν + ρ(~v d~s

)~v = p d~s + ρ f dν + F viscose

∂t ν S S ν

In forma dierenziale: 4

• derivate parziali

∂ρu ∂p

∇(ρu~v −

+ ) = + ρf + (F )

x x viscose

∂t ∂x

∂p

∂ρv ∇(ρv~v −

+ ) = + ρf + (F )

y y viscose

∂t ∂y

∂ρw ∂p

∇(ρw~v −

+ ) = + ρf + (F )

z z viscose

∂t ∂z

• derivate sostanziali Du ∂p

−

ρ = + ρf + (F )

x x viscose

Dt ∂x

Dv ∂p

−

ρ = + ρf + (F )

y y viscose

Dt ∂y

∂p

Dw −

= + ρf + (F )

ρ z z viscose

Dt ∂z

1.3.3 Equazione dell'energia −

de = ∂q ∂w J

dE = Q + W [ ] = [W ]

dt S

Dove:

Q̇

- := rateo di calore dall'esterno/interno sul volume di controllo

Ẇ

- := rateo di lavoro dall'esterno/interno sul volume di controllo

dE

- := rateo di variazione dell'energia totale

dt

- Forma integrale:

2 2

Z Z Z Z Z

∂ v v ~

−

(e+ )dν+ (ρ~v d~s

)(e+ ) = q̇ρdν+ Q̇ (pd~s

)~v + ρ f dν~v +

Ẇ

viscoso viscose

∂t 2 2

ν S ν S ν

- Forma dierenziale (derivate parziali)

2 2

∂ v v ~

∇[ρ(e − ∇(p~v

[ρ(e + )] + + )]~v = ρq̇ ) + ρ( f~

v ) + Q̇ + Ẇ

viscoso viscoso

∂t 2 2

- Forma dierenziale (derivate sostanziali)

2

v

D(e + ) ~

2 − ∇(p~v

ρ = ρq̇ ) + ρ(

f~

v ) + Q̇ + Ẇ

viscoso viscoso

Dt

1.4 Equazioni per ussi comprimibili e non viscosi

si basano sull'ipotesi di uidi non viscosi > spariscono tutti i termini viscosi

dalle equazioni

1. dp + ρ∇~v = 0

dt 5

2. ∂u ∂p

−ρ −

= + ρf

x

∂t ∂x

∂v ∂p

−ρ −

= + ρf y

∂t ∂y

∂p

∂w −

−ρ = + ρf

z

∂t ∂z

3. 2

v

d(e + )

2 − ∇(p~v

ρ = ρq̇ )

dt

4. p = ρRT

5. e = c T

v

1.5 Denizione delle condizioni di ristagno (o totali)

Per usso incomprimibile, abbiamo:

→

ρ

- = cost T,e = cost

- Flusso stazionario

- Non viscoso

- Trascuriamo le forze di volume

Equazione di Eulero: dp + ρV dV = 0

dove V è il modulo medio della velocità.

p v

Z Z

2 2

dp + ρ v dv = 0

p v

1 1 2

2 v

v 1

2 −

− )=0

p p + ρ(

2 1 2 2

2 2

v v

1 2

p + ρ = p + ρ

1 2

2 2

2

v

p + ρ = cost = p

o

2

Per usso comprimibile:

→

ρ

- = var T,e = var

- Non viscoso

- Trascuriamo forze di volume

- Flusso adiabatico −

∂q = 0 = ∂h νdp

6

−

dh νdp = 0

dh + νρV dV = 0

h v

Z Z

2 2

dh + vdv = 0

h v

1 1

2 2

v v

2 1

− −

h h + =0

2 1 2 2

2 2 2

v v v

2 1 →

h + = h + h + = cost = h

2 1 0

2 2 2

h

dove è l'ENTALPIA TOTALE (o di ristagno)

0 2

v = cost = c T

c T + p 0

p 2 2

v = cost

e + νp + 2

1.6 onde d'urto

Flussi supersonici:

ρ

- = var

- Equazione energia

- Onda d'urto

- Flusso a monte non risente del usso a valle ( nchè non incontra l'onda d'ur-

to) Ritornando a regimi dierenti, si può notare come il usso subsonico com-

primibile sia qualitativamente (ma non quantitativamente) lo stesso che nel caso

incomprimibile. Un usso subsonico con un modello lineare semplicato, dove

il usso è lontano dal corpo, è avvertito dalla presenza del corpo e inizia a re-

golarsi di conseguenza. Mentre, per un usso supersonico è diverso: il usso è

dominato dalle onde d'urto, e il usso sopra il corpo non risente la presenza di

quest'ultimo nchè non incontra il leading-edge dell'onda d'urto. Infatti, qual-

siasi usso con una regione supersonica è soggetto a delle onde d'urto.

Un'onda d'urto è una regione estremamente sottile, tipicamente dell'ordine di

−5

10 cm

, attraverso la quale le proprietà del uido possono cambiare drastica-

mente: ci sarà un incremento di pressione, densità, temperatura ed entropia,

ed un abbassamento del valore di numero di Mach, velocità e pressione totale,

mentre l'entalpia rimane sempre la stessa.

Solitamente, l'onda d'urto, ha un angolo di attacco obliquo, ma comunque ci

sono molti casi in cui l'onda d'urto è normale al usso.

7

1.jpg

Figura 1: Paragone tra usso (a) non adiabatico, (b) adiabatico, (c) non

isoentropico, (d) isoentropico 8

2.jpg Figura 2: Esempi di applicazione delle onde d'urto normali

2 Onde d'urto normali

Un'onda d'urto che è normale al usso a monte risulta essere un caso particola-

re. Nella gura possiamo notare due esempi di onde d'urto normali presenti in

natura: nell'immagine a sinistra è mostrato un usso supersonico su un corpo

smussato, mentre a destra è rappresentato un un usso supersonico all'interno

di un ugello.

Figura a sinistra: è presente una forte onda d'urto ad arco davanti al corpo.

Sebbene l'onda sia curvata, la regione di shock più vicina al naso è normale al

usso. Inoltre, la linea di corrente che passa attraverso questa porzione norma-

le all'arco di shock, in seguito colpisce il naso del corpo e controlla i valori di

pressione e temperatura di ristagno al naso.

Figura a destra: è presente un usso supersonico all'interno di un ugello, dove

la pressione iniziale è abbastanza alta a causa dell'onda d'urto normale che

sta nell'ugello. Le condizioni sotto le quali questa onda si vericherà e la

determinazione delle proprietà del usso, sono due cose importanti da scoprire.

2.1 Equazioni per onde d'urto normali

Considerando lo schema in gura, notiamo che la regione 1 ha un usso uniforme

a monte dell'onda d'urto e la regione 2 ha un usso uniforme a valle dell'onda

d'urto, ma diverso.

Nella regione 1 troviamo:

p

- La pressione 1

ρ

- La densità 1 T

- La temparatura 1 M

- Il numero di Mach 1

u

- La velocità 1 p

- La pressione totale 0,1

h

- L'entalpia totale 0,1 T

- La temperatura totale 0,1

s

- L'entropia 1 9

3.jpg Figura 3: Schema di un'onda d'urto normale

p ρ T M u

Mentre nella regione 2, le stesse variabili sono denominate: , , , , ,

2 2 2 1 2

p h T s

, , , .

0,1 0,1 0,1 2 abcd

Consideriamo il controllo di volume rettangolare dato dalle linee tratteg-

giate in gura, come si può vedere l'onda d'urto è all'interno del volume di

ab

controllo. Il lato è il punto di vista della facciata sinistra del controllo di

cd

volume, questa facciata è perpendicolare al usso. Il lato è il punto di vista

della facciata destra del controllo di volume, anche questa facciata è perpendi-

colare al usso.

Applichiamo le equazioni di conservazione a questo controllo di volume, e nel

processo osserveremo quattro importanti aspetti sici dati dal usso:

∂

1. Il usso è stazionario, ovvero ∂t

q̇

2. Il usso è adiabadito: = 0

3. Non ci sono eetti viscosi sul volume di controllo. L'onda d'urto stessa è una

regione sottile di elevati gradienti di velocità e temperatura.

f

4. Non si sono forze di massa = 0.

• Equazione continuità: Z Z

∂ ρdν + ρ~v d~s = 0

∂t ν S

∂

→ =0

poichè il usso è stazionario: ∂t

⇒ −ρ u A + ρ u A = 0

1 1 2 2

ρ u = ρ u

1 1 2 2

• Equazione di bilancio quantità di moto:

Z Z

−

(ρ~v d~s

)~v = pd~s

S S