Appunti Aerodinamica Supersonica

Relazione tra M e :2 2a u γ + 1 2∗+ = a− −γ 1 2 2(γ 1)2uDivido entrambi i membri per :2 2a γ + 11 u 1 2∗( ( )+ ) = a2 2− −u γ 1 2 u 2(γ 1)1 12 2( ) (γ + 1)( )1M M+ =− −γ 1 2 2(γ 1)2(γ + 1)M2∗ =M 2−2 + (γ 1)M2.4 quando un usso è comprimibile?Quando un usso deve essere considerato comprimibile? Non esiste una rispostaspecica a questa domanda; per ussi subsonici, si tratta del grado di accura-ρtezza desiderato se trattiamo come costante o variabile, mentre per ussosupersonico gli aspetti qualitativi del usso sono così diversi che la densità deveessere considerata come variabile.La regola generale è che: un usso può essere ragionevolmente assunto come in-comprimibile quando M <0,3, mentre dovrebbe essere considerato comprimibilequando M> 0.3. Non c'è nulla di magico in questo valore 0,3, ma

Gli scopi pratici il usso può essere considerato incomprimibile. Tuttavia, per M> 0,32, la variazione ρ in è maggiore del 5%, e il suo cambiamento diventa ancora più pronunciato come M aumenta. Di conseguenza, molti aerodinamici hanno adottato la regola generale che la variazione di densità dovrebbe essere considerata per i numeri Mach sopra 0,3; cioè, può essere trattato come un usso comprimibile.

Per usso incomprimibile: ρ/ρ₀ = 0.95 = 1.0450, cioè abbiamo perso un 5%.

Per usso comprimibile: ρ/ρ₀ = 0.95 = 1.0450, cioè abbiamo perso un 5%.

2.5 calcolo delle proprietà per onde d'urto normali

Richiamiamo le equazioni base per le onde d'urto normali:

Equazione continuità: ρ₁u₁ = ρ₂u₂

Equazione quantità di moto: p₁ + ρ₁u₁² = p₂ + ρ₂u₂²

Equazione energia: ½ρ₁u₁² + h₁ = ½ρ₂u₂² + h₂

dell'energia: 1 22 2• h = c T2 p 2• p = ρ RT2 2 2Le ultime due equazioni valgono per gas caloricamente perfetti.Dividiamo l'equazione del momento per l'equazione di continuità:p p 21 + u = + u1 2ρ u ρ u1 1 2 216pp 21 − −+ u + u = u u1 2 2 1ρ u ρ u1 1 2 2q γpa =Richiamando l'equazione :ρ2 2a a1 2− −= u u2 1γu γu1 2Nella regione 1 abbiamo: −γ 1γ + 1 2∗ 22 −a ua = 11 2 2Nella regione 2: −γ 1γ + 1 2∗2 2−a = a u2 22 22 2∗ ∗− −a γ 1 γ + 1 a γ 1γ + 1 − − −→ u + u = u u1 2 2 12 γu 2γ 2 γu 2γ1 2−u uDividendo tutto per :2 1 −γ 1γ + 1 2∗ =1a +2γu u 2γ1 2a∗Risolta per , otteniamo:2a∗ = u u RELAZION E DI P RAN DT L1 2 2∗aDividiamo la relazione di Prandtl per :u u1 2

=12a*Sostituendo con il numero di Mach : 1* * *→1 = M M M =1 2 2 *M 12(γ+1)M2 2* *M M =Sostituiamo con l'equazione: . Otteniamo:22+(γ-1)Mγ-1 21+ M 12 2M =2 γ-12 -γM1 2Quest'equazione è il primo risultato importante per un'onda d'urto normale.ML'equazione aerma che il numero di Mach dietro l'onda è una funzione solo2M = 1 M = 1del numero di Mach dell'onda M1. Inoltre, se , allora : è il caso1 2di un'onda d'urto normale innitamente debole, denita come un'onda di Mach.M > 1 M < 1Inoltre, se , allora ; cioè il numero di Mach dietro l'onda d'urto1 2 Mnormale è subsonico. Dato che aumenta oltre 1, l'onda d'urto diventa più1Mforte e diventa progressivamente inferiore a 1.2 → ∞M MTuttavia, nel limite , si avvicina ad un valore minimo nito1 2M = 0.378)( 2 17

ρ 2 ,Cerchiamo ora di ottenere i rapporti delle proprietà termodinamiche ρ 1p T2 2e su un'onda d'urto normale. Sostituendo l'equazione di continutitàp T1 1 2∗Mnell'equazione : 2ρ u (γ + 1)M2 1 1= = 2ρ u −2 + (γ 1)M1 2 1

Per ottenere il rapporto tra le pressioni, consideriamo l'equazione della quantitàdi moto: u 22 2 2− − − −p p = ρ u )ρ u = ρ u (u u ) = ρ u (12 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 u 1p

Dividendo tutto per , alla ne ottengo:1 2γp2 2 −=1+ (M 1)1p γ +11 p ρT = ( )( )2 12

Per ottenere il rapporto tra le temperature: T p ρ1 1 2 2−T 2γ 2 + (γ 1)M2 12 −= [1 + (M 1)]1 2T γ +1 (γ + 1)M1 1

CASI LIMITE: → lim M = 0.3782→∞M1 ρ γ +12→ =6lim = −ρ γ 1→∞M 11 p2→ ∞lim =p→∞M 11 T2→ ∞lim =T→∞M 11

Vediamo come varia l'entropia.

pT₂ - R ln(s/s₀) = c ln(2) + 1/(p₁ - p₂) [2(p₂/p₁)^γ - 1] [(M₁)² - 1]

L'entropia è solo funzione di M:

∆s = s₂ - s₁ = f(M₂) - f(M₁)

Se nell'equazione: ∆s > 0, allora M₂ > M₁;

Se nell'equazione: ∆s < 0, allora M₂ < M₁;

Se nell'equazione: ∆s = 0, allora M₂ = M₁.

Non è possibile, l'entropia è sempre positiva. Quindi, le onde d'urto normali si creano solo in flusso supersonico.

Pertanto, all'interno dell'onda d'urto stessa, si verificano grandi gradienti di velocità e temperatura; cioè, i meccanismi di attrito e conduzione termica sono forti. Questi sono meccanismi dissipativi e irreversibili che aumentano sempre l'entropia.

L'aumento di entropia previsto dall'equazione per un supersonico è:

Opportunamente fornito dalla natura sotto forma di attrito e conduzione termica all'interno dell'onda d'urto stessa186.jpg

Cosa succede alle condizioni totali attraverso un'onda d'urto? Per rispondere a questa domanda, consideriamo la figura a sinistra, che illustra la denizione delle condizioni totali avanti e dietro lo shock.

Nella regione 1 prima dello shock, un elemento uido ha le condizioni eettive di M, p, T, s, e . Ora immagina di portare questo elemento uido in una condizione in cui rimane isoentropico, creando lo stato "immaginario" prima dello shock. Nello stato , l'elemento uido a riposo avrebbe una pressione e temperatura , rispettivamente la pressione totale e la temperatura totale 0,1 0,1 1 a snella regione 1. L'entropia nello stato sarebbe ancora perché l'elemento uido è portato a riposare isoentropicamente ( ). Consideriamo ora la 1a 1regione 2 dietro l'onda di shock e considero nuovamente

un elemento fluido con le condizioni attuali di pressione, temperatura e velocità. E di nuovo immaginiamo di portare questo elemento fluido in cui rimane a riposo isoentropico, creando lo stato "immaginario" dietro lo shock. Nello stato, l'elemento fluido a riposo avrebbe pressione e temperatura, rispettivamente la pressione totale e la temperatura totale nella regione 2. L'entropia nello stato sarebbe ancora s, perché l'elemento fluido è portato a riposare isentropicamente.

Tavrebbe pressione e temperatura, rispettivamente la pressione totale e la temperatura totale nella regione 2. L'entropia nello stato sarebbe ancora s, perché l'elemento fluido è portato a riposare isentropicamente.

Poiché il flusso che attraversa un'onda d'urto è adiabatico, abbiamo dimostrato precedentemente che la temperatura totale rimane costante:

T = T

Arriviamo alla soluzione:

p = e^(s - s) * R

Figura 6: Flusso supersonico oltre il corner A3 Onde d'urto oblique ed onde di espansione

In generale,

Un'onda d'urto formerà un angolo obliquo rispetto al flusso a monte, prendendo il nome di "onda d'urto obliqua". Un'onda d'urto normale è semplicemente un caso specifico dell'onda obliqua.