Formulario di Aerodinamica (2D, 3D, supersonica)

grad (div _V) = 0 (in 2D)

rot (grad _A) = 0

div (grad _φ) = ∇²φ

Pr = _{Cp μ} / _K Re = _{V∞ L} / _ν

St = _f / _V

φ: grandezza caratteristica corpo

f: frequenza vortici

legame tra le derivate:

dÂ/dt = ∂Â/∂t + V·grad _{termine convettivo}

vorticità:

ω⃗ = rot V⃗ = ▽ × V = (∂v/∂x - ∂u/∂y) k̂

deformazione:

gzadV

energia cinetica:

q = V̅^2 / 2

sforzo di taglio:

τᵧₓ = μ ∂u/∂y

n° di Prandtl:

Pr = Cₚ μ / K

La conducibilità termica e la viscosità hanno la stessa dipendenza dalla temperatura nei gas: questo rapporto è costante

velocità del suono:

a² = (∂P/∂ρ) | _is-cost = γRT

conservaz. della massa:

div V⃗ = 0

conservaz. q. di moto:

∫_V(t) ρ dV⃗ / dt = F̅s

∫_S(t) F̅ⱼ dS = ∫_S(t) τ̅ = H̅ dS = ∫_V(t) div τ̅ dV

ρ dV⃗ / dt = div T̅

cons dell'energia:

d/dt ∫_V(t) (ρ (e_t + V̅² / 2)) dV = Wₚ + Wₛ + Ḣ

eq. costitutive (Newton-Stokes) (fluidi incomprimibili):

τᵢⱼ = -P δᵢⱼ + μ (∂uⱼ/∂xᵢ + ∂uᵢ/∂xⱼ)

div T̅ = -grad P + μ ▽² V⃗

condiz. al contorno:

• V_∞ = V_corpo
• V⃗_{w (rez)} = 0
• (V⃗_{w (rez)} | V⃗ w = 0 se inviscido)
• T_w = T_w

NS incomprimibile:

div V⃗ = 0

ρ dV⃗/dt = -1/ρ grad P + V ▽² V⃗

+ cond. al cont.

+ cond. imme.

Drag

• resistenza d’attrito (laminare)
  • Blasius: ∂P/∂x=0 (lastra piana)
  • δ₅(x)=5 /√R_ex δ*(x)=1.328x/√R_ex
  • θ(x)=0.664 /√R_ex
  • R_ex=U_∞·x/ν
  • attrito local > τ=μ∂/∂yw
  • attrito totale (integrato su L) f=dx
  • C_f=τ/1/2ρ_∞U_∞2 C_f=1.328 /√R_eL
• resistenza d’attrito (turbulenta)
  • δ₁₅(x)=0.37 /√R_ex δ*(x)=0.046x/√R_ex
  • C_g=0.036 /√R_ex C_f=0.059 /√R_ex
• resistenza in funzione di α C_d=C_d0+C_dαα+K(α-α_i)2 Cdα=C_d0+C_dαα+Kα2-(2Kαα_i)+2α2=A+epsilon(CAS)+σCα2

  resistenza provata

Piano di Teqfte

e(x,t)=∫∞|V|2dy=e_o

E(t)=∫∞e(x,t)dx

ΔE=e₀ΔX=−∫e_uΔX=L^{ex u}

⇒ d=−e_o

• resistenza di un cilindro
  • C_d=d/12ρ_∞U_∞^{2 R_eφ=U_∞·φ/ν}
• φ: diametro
• e_c=U_p
• e_β: vertice at p_s
• V_s: velocità at p_s

Equazioni Fondamentali

1. Conservaz. della massa

   _∂^∂t∫∫_V ρ dV + ∫∫_S ρ _v dS = 0

2. Bilancio q. di moto

   _∂^∂t∫∫_V ρ _v dV + ∫∫_S ρ _v (_v dS) ^V̅ = ∫∫_S ρ ϕ̂ dS + ∫∫_V ρ ρ̅ dV + ^F̅_viscose

3. Eq. Energia

   _∂^∂t∫∫_V (e + ^V²₂) dV + ∫∫_S ρ (e + ^V²₂) ^V̅ dS = ∫∫_S qϕ̂ dS + q̇ - ∫∫_S ρ ϕ̅V̅ dS + ∫∫_V (β̅ V) dV + Ẇ

4. Eq. di stato

   P_e = ρ RT

5. Eq. energia interna

   e = C_VT

modello INCOMPRIMIBILE

eq. di Eulero: dp + ρ V̅ dV = 0

→ integro → P₂ - P₁ + ρ (^V₂²₂ - ^V₁²₂) = 0

⇒ Bernoulli incomprimibile

P₀ = P + ρ ^V²₂

modello COMPRIMIBILE

d_h = δq - γδP = -ρV̅ dV

→ d_h + V̅ dV = 0

→ h₂ - h₁ = ^V₁²₂ - ^V₂²₂

^h_o = h + ^V²₂

^e_ρ + P ^V²₂

⇒ Bernoulli comprimibile

h = C_PT_o ⇒ h = C_PT + ^V²₂