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NUMERO DI CONDIZIONAMENTO: numero sempre maggiore di uno dato dal prodotto tra le

norme di A e A^(-1). Esso è sempre maggiore o uguale del rapporto tra errore relativo sui risultati e

quello sui dati. Non vi è nessuna relazione tra ordine del sistema e numero di condizionamento o

tra determinante e numero di condizionamento.

METODI DIRETTI:

• Metodo di Cramer: metodo inefficiente per il troppo numero di operazioni richieste

• Metodo di sostituzione in avanti o all'indietro: esso risulta utile se si hanno matrici

triangolari ed ha un costo computazionale di n^2/2 operazioni

• Metodo di Fattorizzazione: trasformare il sistema in uno equivalente esprimendo la matrice

dei coefficienti A come il prodotto tra due matrici triangolari, una superiore ed una inferiore.

• Metodo di Eliminazione di Gauss: il sistema viene risolto eliminando via via le variabili dalle

equazione e riducendosi ad un sistema con matrice dei coefficienti triangolare. Per effettuare

questa operazione possono essere sommate le equazioni, oppure scambiate di ordine,

oppure moltiplicate per uno scalare. L'algoritmo si interrompe se un coefficiente sulla

diagonale è 0. quando i valori sulla diagonale sono piccoli, ci l'algoritmo può essere instabile.

Per evitare l'instabilità si applica o il pivoting totale (si sceglie come valore da modificare

quello più grande tra quelli da trasformare) oppure il pivoting parziali (si sceglie come

elemento pivot quello massimo in una colonna).

• Fattorizzazione di Choleski: se la matrice A è simmetrica e definita positiva, allora si applica

una fattorizzazione di A costruendo una matrice diagonale D in modo tale che A= L * D^1/2 *

D^1/2 * R. ponendo R=U' e S=L*D^1/2; A risulta uguale a S*S'. Esso è un algoritmo stabile

che richiede N^3/6 operazioni, ma viene usato soprattutto per verificare se A è definita

positiva.

METODI ITERATIVI: si vuole costruire una successione che converga alla soluzione e che sia

facilmente costruibile. Vengono usati principalmente per sistemi di grandi dimensione con matrici A

sparse. Dal sistema lineare si decompone A in P-N. X(k+1)=P^-1 N X(k) + P^-1*b = BX(k) + g

• Se B è convergente allora il metodo iterativo converge

• Converge per |p|<1, dove p viene definito raggio spettrale ed è il più grande tra gli

autovalori di B.

• Costruendo tre matrici: D diagonale, E opposto di una triangolare inferiore e F opposto di

una triangolare superiore, derivano due metodi iterativi:

Metodo di Jacobi: dove la matrice P è uguale alla matrice D diagonale

o Metodo di Gauss-Seidel: dove la matrice P è uguale alla matrice diagonale D meno

o

la matrice triangolare inferiore.

• GS converge se e solo se converge J

• Non si può dire che GS converga piu velocemente di J però asintoticamente

sono necessarie la metà delle operazioni.

• Entrambi convergono se la matrice A è diagonale dominante; se è

simmetrica e definita positiva GS converge

POLINOMIO INTERPOLANTE DI LAGRANGE: polinomio di grado n definito dalle basi di

Lagrange…

INTERPOLAZIONE: caso particolare di approssimazione in cui il grado del polinomio è uguale al

numero dei punti meno 1. si possono avere problemi di oscillazione aumentando il grado del

polinomio e per evitarli si passa alle funzioni polinomiali a tratti o splines.

SPLINES: sono funzioni interpolanti di grado basso, in cui l'intervalli viene diviso in tanti

sottointervalli. Se gli estremi coincidono con punti di interpolazione si dicono splines interpolanti nei

nodi.il grado di libertà delle spline è dato da (m+1)*n - (m*(n-1)) = m+n, dove m è il grado della

spline e n il numero di nodi. Le Bspline sono funzioni spline particolari usate nelle applicazioni

industriali tutte positive, a supporto compatto e che formano una partizione nell'unità. Con le

condizioni di interpolazione i gradi di libertà si riducono a m-1.

Tre tipi di spline:


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lorisso

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti schematici di tutti gli argomenti trattati durante il corso di analisi numerica della professoressa Sampoli. Comprende tutte le definizioni degli argomenti trattati durante il corso che può essere riassunto in:
analisi degli errori; precisione finita; stabilita' e condizionamento; risoluzione numerica di sistemi lineari quadrati; metodi diretti ed iterativi;
metodi numerici per equazioni non lineari; interpolazione ed approssimazione di funzioni; metodi numerici per il calcolo di integrali: formule di quadratura.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica e dell'informazione
SSD:
Università: Siena - Unisi
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher lorisso di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi numerica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Siena - Unisi o del prof Sampoli Maria Lucia.

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