Riassunto esame Analisi Matematica 2, le equazioni differenziali, prof. Zamboni

Equazioni differenziali

Sia A ⊆ ℝ^m+n+1; E: A ➔ ℝ; definiamo equazione differenziale ordinaria di ordine m+n+2 il problema alla ricerca di y:(a,b) ➔ ℝ, con le seguenti proprietà:

1. Derivabile in (a,b)
2. (x, y(x), y'(x), ..., y⁽ⁿ⁾(x)) ∈ A ∀ x∈(a,b)
3. F(x, y(x), y'(x), ..., y⁽ⁿ⁾(x)) = 0 ∀ x∈(a,b)

N.B. Le soluzioni di una equazione differenziale sono sempre definite in intervalli!

Il risultato delle equazioni differenziali F(x, y, y', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0. Se si può esplicitare la derivata di ordine n-esimo, le chiamiamo in forma normale, cioè:

1. y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', ..., y^(n-1)) f:A = ℝ^m+n ➔ ℝ

Ciò vuol dire trovare y: (a,b) ➔ ℝ m volte derivabile x (y(x), y'(x), ..., y⁽ⁿ⁾(x)) ∈ A, tale che, f(x,y, y')=y⁽ⁿ⁾

Esempio

Σ x,y,y',y²,y³ = 0 ➔ in forma normale y' = -y²y/Σx, punto definizione con X ≠ 0 ➔ f(x,y) = - y²y / Σx definita in ℝ ²/{0,0}

Risorse le soluzioni di un'equazione differenziale sono definite in intervalli interi anche devono risorse cambiano gli intervalli [a,o] x ℝ (x poi i (a,o] x ℝ ma non nell'unione dei due intervalli! (Anche ci sono in diverse forme q sia diffus.

Equazioni differenziali

Sia A = ℝ^m+n+2, E: A → ℝ. Chiamiamo equazione differenziale ordinaria di ordine m+n+2 il problema alla frontiera di γ:(a,b)→ℝ, con le seguenti proprietà:

1. Derivabile in (a;b]
2. (x¹,y¹(x),y²(x), ..., yⁿ(x)) ∈ A ∀x ∈(a;b]
3. F(x, y¹(x), y²(x), ..., yⁿⁿ(x)) = 0 ∀x ∈(a;b]

N.B. Le soluzioni di una equazione differenziale vanno sempre definite in intervalli!

Il risultato dell'equazione differenziale F(x, y, y', ..., yⁿ) = 0. Se si può esplicitare la derivata di ordine m+n, la chiamiamo in forma normale, cioè:

y^m = f(x, y, y', ..., yⁿ) f : A = ℝ^m+1.

Si vuol dire trovare γ : (a;b) → ℝ m volte derivabile (x, y(x), y'(x), ... yⁿⁿⁿ(x)) ∈ A tal dei γ(x) = (x,y(x),y'(x),...

Esempio

Σxy' - y²y⁴ = 0 => in forma normale y' = y²y / Σyx, quindi definisco con x ≠ 0 => f(x,y) = Σ²y / Σxy definita in ℝ² \{0,y}

Siccome le soluzioni di un'equazione differenziale devono essere definite in intervalli, esistono due soluzioni: μν = cambiarne l'ing in nell'intervallo }´|_o,y⨯ ℝ durante i → o;; o; a0f x]⨯ ℝ Ma non nell'unione dei due intervalli! Ovviamente come un datore forse q. equazione differenziale!

Definizione

Sistema di n equazioni differenziali del primo ordine in n funzioni incognite in forma normale:

Dato \( A \subseteq \mathbb{R}^{n+1} \quad f: A \to \mathbb{R}^n \) unico e vettore di ... il problema di determinare \( \gamma : (a,b) \to \mathbb{R}^n \) tale che:

1. Sia derivabile 1 volta in (a,b) (e quindi tutte le sue componenti!)

Tale che \( \left( x, y_i(x) \right) - \left( x, y_1(x), \ldots, y_n(x) \right) \in A \) e \( \gamma '(x) = f(x, \gamma (x)) \) \( \forall \, x \in (a,b) \) la precedente relazione, scritta in forma estesa,

\( \begin{cases} y_1'(x) = f_1(y_2(x), \ldots, y_n(x)) \end{cases} \quad n \, eq. \, in \, n \, funzioni \, incognite \) \( y'_n(x) = f_n(y_1, y_2(x), \ldots, y_{n-1}(x)) \)

Il sistema si indica con \(\gamma ' = f(x, \gamma)\)

Livens vettori

Proviamo adesso che (1) = equivalente a (2)

\( \begin{cases} y_1= y_2 \\ y_2 = y_3 \\ \vdots \\ y_{m-1} = y_m \\ y_n = f(x,y_2, \ldots, y_{n-1}) \end{cases} \)

Dim che (1) = (2), \(\forall \, x \, \gamma '(a,b) \to \mathbb{R}\) il sistema di (1) allora il vettore \(\left( y_1, y_2, y_{m-1}, \ldots, y_{m-1} \right)\) è soluzione di (2) e viceversa se \( \gamma : (a,b) \to \mathbb{R}^n \) è soluzione di (2) \(\Rightarrow \gamma (x) \) è soluzione di (1) \( \gamma_1(x) \) è soluzione di (1)

Dim: Supponiamo che Y è soluzione di (4) cioè gi(a,b)=0 ha m~derivate e A (y₁, y₁^', ..., y_m^(m-1)) rappresenta il dominio della f y"^(m) = f(x)(x₁, ..., y_m^(m-1))(3) Verifico che A è soluzione di (D) sostituite nelle relazioni delle[j]. La prima componente di A è y₁ e le derivate delle m seguenti componenti di A (scrivi y₁! La prima condizione del sistema è verificata. Ripeto lo schema precedentemente fino ad includere n= m-simo componenti che ottenuto derivate m-esime componenti dividendolo per potenza B) ottengo f (y - ..., y_m) - presento il sistema è verificato. Se il n-tuple risolto il sistema e cioè [v₀(x₁, y_m(n))