Riassunto esame Analisi Matematica 2, le equazioni differenziali, prof. Zamboni

Equazioni differenziali

Sia A=[a,b]ⁿ⁺¹ (_t=A=_R) chiamiamo equazione differenziale ordinaria di ordine m>2 il problema della ricerca di γ:(a,b)=>ℝ, con le seguenti proprietà:

1. derivante in (a,b)
2. (x, γ(x), γ'(x), …, γ^(m-1)(x)) ≤ A, ∀x ∈ (a,b)
3. F(x, γ(x), γ'(x), …, γ^(m)(x)) = 0, ∀x ∈ (a,b)

N.B: Le soluzioni di una equazioni diff sono sempre infinite in intervalli!!

Il risultato dell'eq diff è F(x₁, y₁, …, y_n)=0. Se è possibile esplicitare la derivata di ordine m-esimo la si chiama in forma normale, e cioè,

_{(^{? ym=f(x, y, y', …, y(m-1)) f: A=Rm+1, il vuol dire trovare γ: (a,b)=>ℝ, m volte derivante,} (x y(x), γ'(x), …, γ^(m-1)(x)≤A t.c. g (x, γ(x), …,γ^(m-1)(x))= [a,b])})

Esempio:

x y y' y² y₄ = 0 ⇒ in forma normale γ' = -^y₂y/2 × quindi definiamo

con x &neq; 0 ⇒ f(x,y)=^{x₂ - y}/x² definita in R²{0,y₁}

Poiché le soluzioni di un'eq diff sono definite in intervalli dobbiamo comunque cambiare R¹ ∈ nell'intervallo ]a_oj,∞[ ¬∈ [∞ in a_oj o altogetherR

Ma non nell'unione dei due intervalli! Quindi l'eq non ci danno fuori a eq diff!

Definizione

Sistema di equazioni diff. del primo ordine in m funzioni

incognite in forma normale:

Dato _{A ⌈} ^B _m ⁿ, f : A ^m

non a vettore di, il problema di determinare

y : (a,b) ^m t.c.

1. y derivabile 1 volta in (a,b) ( e **qui** tutti le sue componenti )
2. T.c. C (v,y(x)) = (x,y₁ (x) , ---, y_m (x) ) **E** A e y'(x) = f (x,y(x)) ^c𝔇

∈ A : la susseguente relazione, riscritta in forma matriciale,

-- m eq. in m funzioni incognite !

Il sistema si indica con y' = f(x,y_m-1)

Prov. adesso il ⊕ e equivalente a ≠

In waltre di ⊕ e: visualiziamo che x * y(a,b) ⊕ ^A radianon di ⊤

elabor . . .

se x (a; b)--> IR* / radianon di ⊤ y (x) / raadiaone di ∼

Osservazioni: l’ipotesi di continuità è essenziale per l’esistenza dell’ipotesi di Lips F è essenziale per l’unicità.

Esempio di non continuità

Consideriamo il problema di Cauchy:

Pu esterne approssimare gl’esterni sò soluzioni es: ∃ y_n[a,b]

in (a,o) e [o,b]. Le soluzioni vere in (a,b) lo sono anche in un nuovo intervallo in (a,o[ ≤ )

c.e. y’=-(X) hanno la forma derivata e in un intervallo quindi più ampio & differenza per una costante

Siamo ragionamenti per y(X) = ±1 ottengo y (X) = X + C₂ in a,o[

Verifico solo se C₁=C₂=0. Anche

y(x) =

1. 0 X=0
2. X ]o,b[
3. 0 ,o,[

ma questa è la funzione non continua e quindi è possibile da lovely non uniformamente, derivare!

Quando la soluzione ammette una forma unica, tutte le soluzioni sono di 3 tipi:

1. negativa
2. positiva
3. nulla

Per risoluzione il problema cerco solo, forme soluzioni positive usando:

y(0) = 4 la positiva avra' il tipo:

y(x) = x + c₁ , x = c₁

c pozzo le sue derne sono contenuto nel dominio [ -∞; a ] ∈ ℝ

Calcolo y(0) = = 4 = > C₁ = 1 = > questa l’unica funzione chi soddisfa

univoca

le condizioni iniziali c y(x) = y_x-1 , in: [ -∞; a] ∈ ℝ

T e non univocita

iniziano su forma:

Anche una qua farsi consentire calcolare floor L feichi i' ?

Teorema della dipendenza

Sia S = (a;b) x ℝ (dominuc titolo attendita, x in (a;b), y in ℝ)

F : S -> ℝ x_o ∈ (a;b), y_o ∈ (ℝ), riapparemo:

1. F continue in S
2. √| (a [b]) < (a-b) th L > 0 lim nelle i → o [a;b] f(x,y) - f(x,y₂) ≤ L + y₂| ∀(x,y)₃ (x,y)₂ ∈ [a;x] B x ℝ

Tiene il problema di conore Carole:

• y = f(x,y)
• y(x_o+y_o

se ammetterne soluzioni floor in (a;b)

Se una soluzione di 1^a categoria è un punto di 2^a categoria che elude una dir 10 categorie, essa è una pseudoramica dei punti di 3^d.Le foglie al 2^o avvio isole fuori prolugare → riviste soya so.A visione una 3^d avvisana da 10 categorie.Se foglie di 2^o non enva globle, e seil limite per una degl omrro dell'intervallo o oligrafia finito,la funzione nebo comune la teno volare anmut la soluzione di 1^acategoria sont ponibil fra il prolugamento.Se vra in vefie nomine ai punti con, non extent solvsem al 3^ocategoria.Esempio:Y¹ = |Y|−Y in R²\{0,0}Ci sono x solution in (a,b)\{0,0}1^a categoria:|Y|−Y = 0 ↔ Y ≥ 0 , cioè ∃ Y(x) ≠ y_o ∀Y_o∈[0:+∝[,isoeflonci dice x ∈ ]−∝;0,0[ , ]0:+∝2^a categoria:y: (a;b) ⊆^R²/^≠Ry¹(x) = [|y(x)| − |y(x)] / x = -2y(x) / x → y¹(x) / y(x) = -1 / x →← pace}y(x) < 0

Ma non c'è ripetizione della x, quindi devo vedere le f(x) delle y.

In R non c'è b_p perciò y₂ non b_p della definizione.

\( \dfrac{y_1^2}{y_2} \leq \dfrac{y_2^2}{y_1} \rightarrow \dfrac{y_2^2 - y_1^2}{|y_1 - y_2|} \leq L \)

\(\Rightarrow |y_1 - y_2| \leq 1\) se omotro fuochi \( f_1 + f_2 \) non limitati.

Quindi non posso coprire il Teorema della dinamica e devo rendermi il “funzionare forte” tutto nell'ambito del fuoco.

Quindi \( y_0 \geq 1 \) caso tutte quelle soluzioni che avevo trovato per \( Y(X) \leq 1 \) e non sono fioche. Ti spiego il \( 0 - \infty: c = T \)

Continuo la tria e quando -9 < 0 c'impiega \( a^{2 - a} \) non \(\Rightarrow X_0 \Rightarrow\)

\(\Rightarrow\) Rinnovo in negativo \( c_i \) e trovo la catena \(\Rightarrow c_i = \log \dfrac{y_1^*}{y_2^*}\)

\(\Rightarrow\) uso l'icclerudo fioche \(\Rightarrow\) non ci sono colonne forti!

Per \( y_0 = 1 \) n'inver non fioche

Per \( 0 < y_0 < 1 \), le eventuali soluzioni non fioche, e le Trovo

imponendo il procipio e ricavando c

Per \( y_0 = 0 \) n'soluzioni fioche

Per \( y_0 < \) \( n'non ci sono \Rightarrow\) non sono fioche

Quindi le colonne fioche non ci:

\( y_0 \geq 1 \quad e \quad y_0 = 0 \)

C.S.

per l'ipotesi (2) e che

_df_a ≤ L_a,k

Definizione: sistema lineare (dal eq. diff)

(1) a₁₁(x)y₁ + a₁₂(x)y₂ + … + a_nm(x)y_m + b₁(x)

(2) a₂₁(x)y₁ + a₂₂(x)y₂ + … + a_2m(x)y_m + b₂(x)

…

y_m = a_m1(x)y₁ + e_m(x)/t + … + a_mm(x)y_m + b_m(x)

Così le f_m sono combinazioni lineari!

Se a_ij, b_i; (a,b)<IR continue, il sistema si dice a coeff. cont.

coeff. continui se b_i=0 il sistema si dice

Indichiamo con A(x) = a_ij(x) e B(x) = b_i(x) - vettore

il sistema può essere scritto,

Y' = A(x)Y + B(x)

vettore