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Analisi matematica I - i punti di accumulazione Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi matematica I per l'esame del professor Giuga. Gli argomenti trattati sono i seguenti: i punti di accumulazione, ed in particolare il teorema ponte, la nozione di limite, il limite sinistro ed il limite destro.

Esame di Analisi matematica I docente Prof. S. Giuga

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ESTRATTO DOCUMENTO

1) PUNTI DI ACCUMULAZIONE

Definizione 1 

 x R x

A R

Sia e . Si dice che è un punto di accumulazione per l’insieme A

0 0

I ( x ) x x

quando in ogni intorno di cadono infiniti punti di A diversi da .

0 0 0

L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A si chiama derivato di A e si

denota col simbolo D(A).

Esempi: 

D( [1,2] ) = [1,2]; D( ]1,2[ ) = [1,2]; D(N) = D(Z) = ; D( [1,2[ U ]2,3 ] ) = [1,3].

Da questi esempi si deduce che un punto di accumulazione per A non è sempre

appartenente ad A.

  

x D ( A

) x A

( )

0 0

Inoltre i punti di accumulazione sono numeri reali. E’ comodo, pertanto, estendere la

 

definizione anche ai punti .

Definizione 2

  

A R

Sia . Si dice che è un punto di accumulazione per A quando in ogni intorno

   

I( ) di cadono infiniti punti di A.

Osservazione

E’ evidente che 

 

( è di acc. per A) (A non è limitato superiormente)

 

Analogamente per .

Una volta data questa definizione i punti di D(A) si chiamano punti di accumulazione

 

al finito, punti di accumulazione all’infinito.

Esempi:

(semplici dagli appunti a pag. 2)

2) LA NOZIONE DI LIMITE

Definizione 1

   

f : A R R f f

x D ( A

) x

Sia e . Si dice che è il limite di in o anche che

l R

0 0

x

f

x x

converge ad in o anche che tende a al tendere di a e si scrive:

l l

0 0 1

lim f ( x ) l

x x 0

f

Quando verifica la seguente proprietà: 

 

   

     | f ( x ) l |

0 | x x |

(#) e

0 0 : x A 0

Osservazione

Analogamente a quanto visto per le successioni, essendo:

 

   

      

| x x | x x , x I ( x , )

0 0 0 0

 

   

      

| ( f ( x ) l | f ( x ) l , l J (

l , )

La definizione di limite espressa dalla proprietà (#) è equivalente a:

   

     

J (

l , ) I ( x , ) : x A I ( x , ) { x } f ( x ) J (

l , )

0 0 0

Osservazione 1

Dalle definizioni di limite si deduce che all’esistenza del limite l concorrono soltanto

I ( x , ) x

i valori assoluti di f in punti contenuti in un opportuno intorno di e diversi

0 0

x

da .

0 x

Analogamente il limite l di f in è un numero che può esistere anche quando non

0 

x x x D ( A

)

esiste il valore f( ) di f in (ciò è possibile perché il punto non è tenuto

0 0 0

ad appartenere ad A). Inoltre all’esistenza del limite l concorrono soltanto i valori di

x x

f che sono contenuti in un intervallo I( ) di (carattere locale della definizione di

0 0

limite).

Definizione 2

    

f : A R R x D ( A

) x

Sia e . Si dice che è il limite di f in o anche che f in

0 0

 

x x

diverge positivamente o anche che f tende a per x che tende a e si scrive

0 0

 

lim f ( x )

x x 0

Quando f verifica la seguente proprietà:  

  

M     f ( x ) M

0 | x x |

(#) e .

0 0 : x A 0

Osservazione 2

Assunto che:  

     

f ( x ) M f ( x ) M , J ( ) 2

La proprietà (#) che fornisce la definizione di limite nel caso considerato, è

equivalente alla seguente:  

J       

( ) I ( x , ) : x A I ( x , ) { x } f ( x ) J ( )

0 0 0

Definizione 3 

A R

Sia f(x) una funzione reale definita in un insieme non limitato superiormente

 

sicché è punto di accumulazione per A.  

 x

Si dice che il numero è il limite di f(x) per o anche che f(x) converge

l R

 

x

ad l per e si scrive 

lim f ( x ) l

 

x

Quando f verifica la seguente proprietà  

   

     x | f ( x ) l |

(#) e

0 0 : x A

Analogamente a quanto visto per le predente definizioni di limite, tale proprietà è

equivalente alla seguente che restituisce gli intorni delle disuguaglianze

 

 I     

J (

l , ) ( ) : x A I ( ) f ( x ) J (

l , )

Osservazione 4

Si noti che, in particolare, la precedente definizione di limite (#) restituisce la

( a )

definizione di limite per le successioni nel caso delle convergenti.

n

Osservazione 5

In maniera del tutto analoga, lasciamo allo studente che si definiscano i simboli di

limite:     

lim f ( x ) l lim f ( x ) lim f ( x )

; ; .

     

x x x

Determiniamo qualche considerazione sulla definizione di limite per le funzioni

osservando che, analogamente a quanto detto per le successioni, le varie definizioni

di limite si possono riassumere tutte nell’unica:

Definizione generale di limite

  

f : A R R x R

Sia , un punto di accumulazione per A (al finito o anche

0 

J (l ) I ( x )

all’infinito). Denotiamo col simbolo un intorno qualsiasi di e con un

l R 0

x

intorno qualsiasi di .

0

Vale la seguente equivalenza: 3

 

   

        

 

lim f ( x ) l J (l ) I ( x ) : x A I ( x ) { x } f ( x ) J (

l )

 

  0 0 0

  

x x 0

Inoltre, analogamente a quanto fatto per le successioni si dice che una funzione f è

x x

regolare nel punto quando è dotata di limite in , si dice che f è non regolare in

0 0

x x

quando non è dotata di limite in .

0 0

Esempi:

(semplici sulla verifica di un limite da pag. 5 a pag. 8)

4) LIMITE SINISTRO E LIMITE DESTRO

Per studiare la regolarità di una funzione in un punto è molto utile nella pratica la

nozione di limite sinistro e limite destro.

Definizione

  

f : A R R x D ( A

)

Sia e . Si chiamano limite sinistro e limite destro di f i limiti:

0

 

 

lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )

x x x x

con ; con .

 

 

 

0 0

x x x x

x x x x

0 0

0 0 x x

In altri termini il limite sinistro è il limite di f in ottenuto facendo tendere x a da

0 0

destra.

E’ evidente che:  

 

   

   

lim f ( x ) l lim f ( x ) lim f ( x ) l

   

 

  

x x x x x x

0 0 0

Congruentemente:    

  

 

 

lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )

 

 

   

 x x x x

x x 0 0

0

Esempi:

(Semplici esempi di limite destro e sinistro pag. 9 e 10)

5) IL TEOREMA PONTE

Proposizione (sui punti di accumulazione di un insieme)

  ( x )

x R A R

Se è punto di accumulazione per un insieme esiste una successione di

n

0 x x

punti di A distinti da che ha per limite il punto .

0 0 4

Dim.  

1 1

    

x R x , x n N x

Se , l’intervallo è un intorno di .

 

0 0 0 0

 

n n  

x

Essendo di accumulazione per A in tale intervallo cadono infiniti punti di

n N

0 

x x

A diversi da . Per ogni indicheremo allora con uno qualsiasi di tali punti

n N

0 n ( x )

scelto a piacere. In tal modo resta individuata una successione di punti di A

n

x

diversi da tali che

0 1 1

   

x x x

0 0 0

n n

x

La quale converge a per il teorema dei carabinieri.

0  

x

Analogamente si ragiona se .

0

Definizione 

( x ) x x R

Ogni successione di punti di A distinti da e avente per limite il punto

n 0 0 x

(di accumulazione per A) si chiama una successione di punti di A approssimante .

0

Osservazione x

Si noti che, come si deduce dalla dimostrazione della proposizione precedente, se 0

( x )

è un punto di accumulazione per l’insieme A allora esistono infinite successioni n

x

di punti di A approssimanti .

0

Premesso ciò, consideriamo una funzione f(x) definita nell’insieme A e un punto

x R di accumulazione per A.

0 ( x ) x

E’ evidente che, per ogni successione di punti di A approssimante è lecito

n 0

  

f ( x ) x A { x }

considerare la successione dei valori di f in punti di e cioè la legge:

n n 0

 

n N f ( x ).

n

Relativamente a tali successioni sussiste il seguente importante teorema del quale

omettiamo la dimostrazione per brevità.

Teorema ponte (sul limite delle funzioni)

 

x R

Siano f(x) una funzione definita in A, un punto di accumulazione per A, .

l R

0

Vale la seguente equivalenza

 

  

 

 

  lim f ( x ) l per ogni succ. di punti di A approssimante

lim f ( x ) l ( x ) x

 

  n 0

  

n

x x 0

Osservazione 5

Si noti subito che l’equivalenza contenuta nel teorema ponte può essere usate per

x

definire il limite di una funzione: l è limite della funzione f(x) in se e solo se per

0

( x ) x

ogni successione di punti dell’insieme di definizione di f approssimante risulta

n 0

 

f ( x )

essere l il limite della successione .

n

E’ questo il motivo per cui il teorema ponte è molto importante. Un altro motivo per

cui il teorema ponte è molto importante è che consente di estendere tutte le proprietà

notevoli dei limiti delle funzioni collegandole (cioè facendo ponte) con le analoghe

proprietà delle successioni. Ad esempio, utilizzando il teorema ponte dimostriamo la

seguente proprietà del limite.

Teorema di unicità del limite 

x R

Ogni funzione f(x) che sia regolare in un punto di accumulazione per il suo

0 x

insieme di definizione non può tendere a due limiti diversi al tendere di x a .

0

Dim. 

x l l

Supponiamo per assurdo che f ammetta in due limiti diversi .

0 1 2

 

x x

Detta una successione di punti di A approssimante il punto di accumulazione ,

n 0

per il teorema ponte valgono le implicazioni

  

lim f ( x ) l lim f ( x ) l

1 n 1

x x n

0   

lim f ( x ) l lim f ( x ) l

2 n 2

x x n

0

 

f ( x )

Ma allora la successione amette due limiti diversi e ciò è impossibile perché

n

in contrasto col teorema di unicità del limite per le successioni. Il teorema è così

dimostrato.

Osservazione 1

Naturalmente le proprietà notevoli del limite delle funzioni si possono anche

dimostrare direttamente ricorrendo alla definizione di limite delle funzioni senza

sfruttare il teorema ponte e i risultati analoghi stabiliti per le successioni.

Termineremo queste considerazioni sul limite delle funzioni aggiungendo il teorema

sulle operazioni lecite con i limiti.

Teorema 

 x R

Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in un insieme e un punto di

A R 0

accumulazione per A.

Valgono le seguenti implicazioni 6

  

 

1

) lim f ( x ) g ( x ) a b

 

  

x x

    

  0

lim f ( x ) a R , lim g ( x ) b R  

  

 

  2

) lim f ( x ) g ( x ) ab

x x x x

0 0  

x x 0

  

f ( x ) 0

, x x

Inoltre se allora vale che

0  

  f ( x ) a

 

     

 

lim f ( x ) a R , lim g ( x ) b R lim

 

 

  

 

g ( x ) b

x x x x x x

0 0 0

Queste implicazioni sono valide purché a+b, ab, e abbiano significato in e cioè

a / b R

      

0 / 0

,

non abbiano la forma indeterminata della somma, del prodotto,

0 /

del rapporto oppure il simbolo l/0.

6) CONTINUITA’ E DISCONTINUITA’ DELLE FUNZIONI

Definizione 1

   

f : A R R x A D ( A

) x

Sia e . Si dice che f è continua in quando risulta

0 0

lim f ( x ) f ( x )

0

x x 0

Si dice che f è continua nell’insieme A quando è continua in ogni punto di A.

Esempio 1

(v. pag. 14)

In sintesi ricordando che il limite di una somma e di un prodotto è la somma o il

prodotto dei limiti si ha che la somma e il prodotto di funzioni continue sono funzioni

continue.

Esempio 2

(v. pag. 14 e 15) 

f ( x ) x

E’ evidente che la funzione identica e le funzioni costanti sono funzioni

continue in R. Congruentemente sono continue le funzioni:

    

n 3 2

n N ;

con .

f ( x ) x f ( x ) 3 x 2 x 3 x 7

Anche il rapporto di funzioni è una funzione continua ma, come al solito, occorre fare

attenzione ai punti dove il denominatore si annulla.

 

f ( x ) sin x g ( x ) cos x

Ad esempio il rapporto fra le funzioni e equivale alla

frazione f ( x ) sin x

  tan x

g ( x ) cos x 7


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Giuga Salvatore.

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