1) PUNTI DI ACCUMULAZIONE
Definizione 1
x R x
A R
Sia e . Si dice che è un punto di accumulazione per l’insieme A
0 0
I ( x ) x x
quando in ogni intorno di cadono infiniti punti di A diversi da .
0 0 0
L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A si chiama derivato di A e si
denota col simbolo D(A).
Esempi:
D( [1,2] ) = [1,2]; D( ]1,2[ ) = [1,2]; D(N) = D(Z) = ; D( [1,2[ U ]2,3 ] ) = [1,3].
Da questi esempi si deduce che un punto di accumulazione per A non è sempre
appartenente ad A.
x D ( A
) x A
( )
0 0
Inoltre i punti di accumulazione sono numeri reali. E’ comodo, pertanto, estendere la
definizione anche ai punti .
Definizione 2
A R
Sia . Si dice che è un punto di accumulazione per A quando in ogni intorno
I( ) di cadono infiniti punti di A.
Osservazione
E’ evidente che
( è di acc. per A) (A non è limitato superiormente)
Analogamente per .
Una volta data questa definizione i punti di D(A) si chiamano punti di accumulazione
al finito, punti di accumulazione all’infinito.
Esempi:
(semplici dagli appunti a pag. 2)
2) LA NOZIONE DI LIMITE
Definizione 1
f : A R R f f
x D ( A
) x
Sia e . Si dice che è il limite di in o anche che
l R
0 0
x
f
x x
converge ad in o anche che tende a al tendere di a e si scrive:
l l
0 0 1
lim f ( x ) l
x x 0
f
Quando verifica la seguente proprietà:
| f ( x ) l |
0 | x x |
(#) e
0 0 : x A 0
Osservazione
Analogamente a quanto visto per le successioni, essendo:
| x x | x x , x I ( x , )
0 0 0 0
| ( f ( x ) l | f ( x ) l , l J (
l , )
La definizione di limite espressa dalla proprietà (#) è equivalente a:
J (
l , ) I ( x , ) : x A I ( x , ) { x } f ( x ) J (
l , )
0 0 0
Osservazione 1
Dalle definizioni di limite si deduce che all’esistenza del limite l concorrono soltanto
I ( x , ) x
i valori assoluti di f in punti contenuti in un opportuno intorno di e diversi
0 0
x
da .
0 x
Analogamente il limite l di f in è un numero che può esistere anche quando non
0
x x x D ( A
)
esiste il valore f( ) di f in (ciò è possibile perché il punto non è tenuto
0 0 0
ad appartenere ad A). Inoltre all’esistenza del limite l concorrono soltanto i valori di
x x
f che sono contenuti in un intervallo I( ) di (carattere locale della definizione di
0 0
limite).
Definizione 2
f : A R R x D ( A
) x
Sia e . Si dice che è il limite di f in o anche che f in
0 0
x x
diverge positivamente o anche che f tende a per x che tende a e si scrive
0 0
lim f ( x )
x x 0
Quando f verifica la seguente proprietà:
M f ( x ) M
0 | x x |
(#) e .
0 0 : x A 0
Osservazione 2
Assunto che:
f ( x ) M f ( x ) M , J ( ) 2
La proprietà (#) che fornisce la definizione di limite nel caso considerato, è
equivalente alla seguente:
J
( ) I ( x , ) : x A I ( x , ) { x } f ( x ) J ( )
0 0 0
Definizione 3
A R
Sia f(x) una funzione reale definita in un insieme non limitato superiormente
sicché è punto di accumulazione per A.
x
Si dice che il numero è il limite di f(x) per o anche che f(x) converge
l R
x
ad l per e si scrive
lim f ( x ) l
x
Quando f verifica la seguente proprietà
x | f ( x ) l |
(#) e
0 0 : x A
Analogamente a quanto visto per le predente definizioni di limite, tale proprietà è
equivalente alla seguente che restituisce gli intorni delle disuguaglianze
I
J (
l , ) ( ) : x A I ( ) f ( x ) J (
l , )
Osservazione 4
Si noti che, in particolare, la precedente definizione di limite (#) restituisce la
( a )
definizione di limite per le successioni nel caso delle convergenti.
n
Osservazione 5
In maniera del tutto analoga, lasciamo allo studente che si definiscano i simboli di
limite:
lim f ( x ) l lim f ( x ) lim f ( x )
; ; .
x x x
Determiniamo qualche considerazione sulla definizione di limite per le funzioni
osservando che, analogamente a quanto detto per le successioni, le varie definizioni
di limite si possono riassumere tutte nell’unica:
Definizione generale di limite
f : A R R x R
Sia , un punto di accumulazione per A (al finito o anche
0
J (l ) I ( x )
all’infinito). Denotiamo col simbolo un intorno qualsiasi di e con un
l R 0
x
intorno qualsiasi di .
0
Vale la seguente equivalenza: 3
lim f ( x ) l J (l ) I ( x ) : x A I ( x ) { x } f ( x ) J (
l )
0 0 0
x x 0
Inoltre, analogamente a quanto fatto per le successioni si dice che una funzione f è
x x
regolare nel punto quando è dotata di limite in , si dice che f è non regolare in
0 0
x x
quando non è dotata di limite in .
0 0
Esempi:
(semplici sulla verifica di un limite da pag. 5 a pag. 8)
4) LIMITE SINISTRO E LIMITE DESTRO
Per studiare la regolarità di una funzione in un punto è molto utile nella pratica la
nozione di limite sinistro e limite destro.
Definizione
f : A R R x D ( A
)
Sia e . Si chiamano limite sinistro e limite destro di f i limiti:
0
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )
x x x x
con ; con .
0 0
x x x x
x x x x
0 0
0 0 x x
In altri termini il limite sinistro è il limite di f in ottenuto facendo tendere x a da
0 0
destra.
E’ evidente che:
lim f ( x ) l lim f ( x ) lim f ( x ) l
x x x x x x
0 0 0
Congruentemente:
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )
x x x x
x x 0 0
0
Esempi:
(Semplici esempi di limite destro e sinistro pag. 9 e 10)
5) IL TEOREMA PONTE
Proposizione (sui punti di accumulazione di un insieme)
( x )
x R A R
Se è punto di accumulazione per un insieme esiste una successione di
n
0 x x
punti di A distinti da che ha per limite il punto .
0 0 4
Dim.
1 1
x R x , x n N x
Se , l’intervallo è un intorno di .
0 0 0 0
n n
x
Essendo di accumulazione per A in tale intervallo cadono infiniti punti di
n N
0
x x
A diversi da . Per ogni indicheremo allora con uno qualsiasi di tali punti
n N
0 n ( x )
scelto a piacere. In tal modo resta individuata una successione di punti di A
n
x
diversi da tali che
0 1 1
x x x
0 0 0
n n
x
La quale converge a per il teorema dei carabinieri.
0
x
Analogamente si ragiona se .
0
Definizione
( x ) x x R
Ogni successione di punti di A distinti da e avente per limite il punto
n 0 0 x
(di accumulazione per
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