Analisi matematica I - i punti di accumulazione

1) Punti di accumulazione

Definizione 1

 x R xA RSia e . Si dice che è un punto di accumulazione per l’insieme A₀ 0I ( x ) x xquando in ogni intorno di cadono infiniti punti di A diversi da ._{0 0 0}

L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A si chiama derivato di A e si denota col simbolo D(A).

Esempi: D( [1,2] ) = [1,2]; D( ]1,2[ ) = [1,2]; D(N) = D(Z) = ; D( [1,2[ U ]2,3 ] ) = [1,3].

Da questi esempi si deduce che un punto di accumulazione per A non è sempre appartenente ad A.

  x D ( A) x A( )_{0 0}

Inoltre i punti di accumulazione sono numeri reali. E’ comodo, pertanto, estendere la  definizione anche ai punti .

Definizione 2

  A RSia . Si dice che è un punto di accumulazione per A quando in ogni intorno    I( ) di cadono infiniti punti di A.

Osservazione

E’ evidente che  ( è di acc. per A) (A non è limitato superiormente) 

Analogamente per .

Una volta data questa definizione i punti di D(A) si chiamano punti di accumulazione  al finito, punti di accumulazione all’infinito.

Esempi: (semplici dagli appunti a pag. 2)

2) La nozione di limite

Definizione 1

   f : A R R f fx D ( A) xSia e . Si dice che è il limite di in o anche che l R_{0 0}xfx xconverge ad in o anche che tende a al tendere di a e si scrive: l l_{0 0} 1lim f ( x ) lx x ₀

fQuando verifica la seguente proprietà:          | f ( x ) l |0 | x x |(#) e_{0 0} : x A 0

Osservazione

Analogamente a quanto visto per le successioni, essendo:           | x x | x x , x I ( x , )_{0 0 0 0}          | ( f ( x ) l | f ( x ) l , l J (l , )

La definizione di limite espressa dalla proprietà (#) è equivalente a:         J (l , ) I ( x , ) : x A I ( x , ) { x } f ( x ) J (l , )_{0 0 0}

Osservazione 1

Dalle definizioni di limite si deduce che all’esistenza del limite l concorrono soltanto I ( x , ) xi valori assoluti di f in punti contenuti in un opportuno intorno di e diversi_{0 0}xda .₀ x

Analogamente il limite l di f in è un numero che può esistere anche quando non₀ x x x D ( A)esiste il valore f( ) di f in (ciò è possibile perché il punto non è tenuto_{0 0 0}ad appartenere ad A). Inoltre all’esistenza del limite l concorrono soltanto i valori di x xf che sono contenuti in un intervallo I( ) di (carattere locale della definizione di_{0 0}limite).

Definizione 2

    f : A R R x D ( A) xSia e . Si dice che è il limite di f in o anche che f in_{0 0} x xdiverge positivamente o anche che f tende a per x che tende a e si scrive_{0 0} lim f ( x )x x ₀

Quando f verifica la seguente proprietà:    M     f ( x ) M₀ | x x |(#) e ._{0 0} : x A 0

Osservazione 2

Assunto che:       f ( x ) M f ( x ) M , J ( ) 2

La proprietà (#) che fornisce la definizione di limite nel caso considerato, è equivalente alla seguente:  J       ( ) I ( x , ) : x A I ( x , ) { x } f ( x ) J ( )_{0 0 0}

Definizione 3

A RSia f(x) una funzione reale definita in un insieme non limitato superiormente  sicché è punto di accumulazione per A.   xSi dice che il numero è il limite di f(x) per o anche che f(x) converge l R xad l per e si scrive lim f ( x ) l x

Quando f verifica la seguente proprietà          x | f ( x ) l |(#) e0 0 : x A

Analogamente a quanto visto per le predente definizioni di limite, tale proprietà è equivalente alla seguente che restituisce gli intorni delle disuguaglianze   I     J (l , ) ( ) : x A I ( ) f ( x ) J (l , )

Osservazione 4

Si noti che, in particolare, la precedente definizione di limite (#) restituisce la ( a )definizione di limite per le successioni nel caso delle convergenti.n

Osservazione 5

In maniera del tutto analoga, lasciamo allo studente che si definiscano i simboli di limite:     lim f ( x ) l lim f ( x ) lim f ( x ); ; .     x x x

Determiniamo qualche considerazione sulla definizione di limite per le funzioni osservando che, analogamente a quanto detto per le successioni, le varie definizioni di limite si possono riassumere tutte nell’unica:

Definizione generale di limite

  f : A R R x RSia , un punto di accumulazione per A (al finito o anche₀ J (l ) I ( x )all’infinito). Denotiamo col simbolo un intorno qualsiasi di e con un l R 0xintorno qualsiasi di .₀

Vale la seguente equivalenza: 3             lim f ( x ) l J (l ) I ( x ) : x A I ( x ) { x } f ( x ) J (l )   0 0 0  x x ₀

Inoltre, analogamente a quanto fatto per le successioni si dice che una funzione f è x xregolare nel punto quando è dotata di limite in , si dice che f è non regolare in_{0 0}x xquando non è dotata di limite in ._{0 0}

Esempi: (semplici sulla verifica di un limite da pag. 5 a pag. 8)

4) Limite sinistro e limite destro

Per studiare la regolarità di una funzione in un punto è molto utile nella pratica la nozione di limite sinistro e limite destro.

Definizione

  f : A R R x D ( A)Sia e . Si chiamano limite sinistro e limite destro di f i limiti:₀  lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )x x x xcon ; con .   _{0 0}x x x xx x x x_{0 00 0} x x

In altri termini il limite sinistro è il limite di f in ottenuto facendo tendere x a da_{0 0}destra.

E’ evidente che:         lim f ( x ) l lim f ( x ) lim f ( x ) l      x x x x x x_{0 0 0}

Congruentemente:        lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )      x x x xx x _{0 00}

Esempi: (Semplici esempi di limite destro e sinistro pag. 9 e 10)

5) Il teorema ponte

Proposizione (sui punti di accumulazione di un insieme)

  ( x )x R A RSe è punto di accumulazione per un insieme esiste una successione di n₀ x xpunti di A distinti da che ha per limite il punto ._{0 0} 4

Dim.

 1 1    x R x , x n N xSe , l’intervallo è un intorno di . _{0 0 0 0} n n  x

Essendo di accumulazione per A in tale intervallo cadono infiniti punti di n N₀ x xA diversi da . Per ogni indicheremo allora con uno qualsiasi di tali punti n N₀ n ( x )scelto a piacere. In tal modo resta individuata una successione di punti di A nxdiversi da tali che₀ 1 1   x x x_{0 0 0}n n

La quale converge a per il teorema dei carabinieri.₀  x

Analogamente si ragiona se .₀

Definizione

( x ) x x ROgni successione di punti di A distinti da e avente per limite il punto n_{0 0} x(di accumulazione per