Analisi I - Risoluzione problema di Cauchy

RISOLUZIONE PROBLEMA DI CAUCHY

y ' 2y x 1

=  −

y 0

0 = 2 t

y ' 2y

1. Trovo la soluzione dell'omogenea che so essere

= A e

k t

y ' ky

( e la soluzione è )

= A e 2 t y

2. Adesso trovo la soluzione finale, che deve essere del tipo A e y x con una

   f

f

y ' 2y x 1

funzione ( da trovare ) che soddisfi .

=  − α e β

α x β

Scelgo di rappresentare la mia funzione con e mi trovo



α 2 αx β x 1 y αx β y' α

( perché e la sua derivata è )

=     − =  =

1

α

2α 1 x 2β 1 α 0 2α 1 0

quindi =−

    − − =  =  2

1

β

2β 1 α =

=   4

1 1

y x x

Posso dire allora che è la soluzione e l'espressione generale dell'equazione

  =− 

f 2 4

1 1

2 t

y A e t

di partenza è .

t= − 

2 4 1 1

A 0 A

y 0

Sapendo che mi posso trovare A  = =−

0 =  

4 4

1 1 1

2 x

y x e x

Posso quindi affermare che è la soluzione del problema .

  =− − 

4 2 4

Infatti posso verificarlo così:

1 1 1 1 1 1

2 x 2 x

y 0 y' e 2 e

e

0 = −  = =− ∗ − =− −

4 4 4 2 2 2

y ' 2y x 1

e sostituendo l'equazione della soluzione del problema con devo trovare lo

=  −

stesso risultato trovato sopra : 1 1 1

2 x

y ' 2y x 1 2 e x x

=  − = ∗ [ − −  ]  −1 =

4 2 4

1 1 1 1

2 x 2 x

e x x 1 e che infatti risulta essere lo stesso

=− −   − =− −

2 2 2 2