Analisi dei dati

Introduzione alla statistica non parametrica

I metodi di statistica classica o di statistica parametrica richiedono che siano sempre verificati e soddisfatti alcuni assunti che riguardano la popolazione d'origine, dalla quale si presume che i dati campionari siano stati estratti. Nel caso in cui anche uno solo dei presupposti non sia rispettato, qualunque risultato statistico può essere messo in dubbio.

Gli assunti sono di 3 tipi diversi che fanno riferimento:

1. Indipendenza dei gruppi campionari
• I campioni sottoposti ai differenti trattamenti dovrebbero essere generati per estrazione casuale da una popolazione, nella quale ogni soggetto ha la stessa probabilità di essere incluso in un gruppo qualsiasi. In questo modo, i fattori aleatori o non controllati, quelli che nel test t di Student formano l'errore standard e che nell'analisi della varianza formeranno la varianza d'errore o residuo, dovrebbero risultare

1. Omoschedasticità (uguaglianza delle varianze nelle due popolazioni)
   • se i vari gruppi analizzati, sono formati per estrazione casuale dalla medesima popolazione questi dovrebbero avere varianze eguali.
   • Se questo non viene rispettato e i dati provengono da popolazioni con distribuzione non normale, i modelli parametrici non possono essere applicati.
   • Quando la distribuzione di base è nota, ma non necessariamente normale, si possono calcolare probabilità esatte es. distribuzione binomiale o metodo esatto di Fisher, basato sulla distribuzione ipergeometrica.

provengano dalla medesima popolazione o da popolazioni differenti, ma per fare questo, si deve partire dal presupposto che, immaginando che queste differiscano solo per la loro tendenza centrale. La variabilità del fenomeno deve essere tenuta costante. Se questo non viene rispettato e i dati provengono da popolazioni con distribuzione non normale i modelli parametrici e il test t non possono essere utilizzati per fare inferenza sulla tendenza centrale di quel fenomeno. Questo perché il teorema dell'imite centrale ci dice, indipendentemente da quella che è la forma della variabile nella popolazione, quando lavoro con le medie, lavoro con delle distribuzioni che si approssimano alla distribuzione normale.

3. La normalità della distribuzione

Da essa deriva la relazione tra popolazione dei dati e medie dei campioni, secondo il teorema del limite centrale:

• se da una popolazione con media μ e varianza σ^2, i cui dati abbiano una forma di distribuzione non normale,

• Negli ultimi anni, l'importanza della statistica non parametrica è fortemente aumentata.
• Sovente nella ricerca sperimentale è possibile disporre solo di pochi dati, che sono insufficienti per dimostrare la normalità della distribuzione; in particolare quando il fenomeno studiato è nuovo e non è possibile citare dati di altre esperienze.
• In questi casi si consiglia di ricorrere alle tecniche non parametriche quando gli assunti teorici relativi alle condizioni di validità della distribuzione normale non sono dimostrati. Queste non richiedono l'assunto di una certa distribuzione di dati, essendo più grossolane rispetto a quelli parametrici, richiedono meno assunzioni per poter essere attivate.

più sovente la seconda tipologia di casistica, in quanto è molto più verosimile lavorare con dati quantitativi ma che non rispettano l’assunto di normalità, piuttosto che lavorare con dati che nascono come dati ordinali.

Se i dati sono quantitativi e non posso presupporre una certa distribuzione, e voglio lavorare su questi dati facendo inferenza, dovrò ridurre il livello di scala delle mie variabili. Quindi a partire dalla variabile che ha una sua unità di misura e un suo valore quantitativo, si declassa di scala la mia variabile facendola passare da scala di intervalli o rapporti ad una scala ordinale. Questo passaggio "verso dietro" sulla teoria dei livelli di scala può essere sempre fatto, ma non il contrario. Se io raccolgo dei dati come un ordinamento non potrò trasformarli su scala a intervalli, ma se ho una scala a intervalli la posso trasformare su scala ordinale.

I test non parametrici:

• Molti metodi

Le statistiche non parametriche si basano solo sull'ordine di grandezza dei dati. La semplice graduatoria dei valori, trascurando i valori stessi.

In tal modo la statistica non parametrica opera rilasciando il vincolo relativo alla distribuzione dei dati, ma al tempo stesso rinunciando ad ottenere da essa ogni possibile informazione.

Per la maggior parte, questi metodi sono fondati sulle statistiche di rango o d'ordine; non utilizzano la media, ma la mediana come misura della tendenza centrale; vengono applicati indifferentemente sia alle variabili casuali discrete che a quelle continue.

Quando le scale sono qualitative o ordinali e i campioni non sono di grandi dimensioni, non esistono alternative accettabili all'uso di test non parametrici.

Vantaggi dei test non parametrici:

• Richiedono meno assunti di partenza sulle caratteristiche della popolazione dalla quale il campione è stato estratto e non richiedono l'assunzione di normalità.
• Permettono di

calcolare un valore esatto di probabilità per il test e di intervalli di confidenza senza richiedere la normalità della distribuzione.

- Si basano su calcoli più elementari, sono meno sensibili ai valori anomali e quindi più estesamente applicabili;

- le nuove tecniche, quali il jackknife e il bootstrap permettono di analizzare situazioni molto complesse, dove i metodi parametrici non sono in grado di derivare una distribuzione delle probabilità;

- La diffusione dei computer rende il loro uso più semplice ed esteso

Svantaggi dei test non parametrici:

Per scale d'intervalli o di rapporti, quando gli assunti richiesti dai metodi classici sono rispettate, sfruttano in modo meno completo l'informazione contenuta nei dati; quindi:

 Per campioni di grandi dimensioni i metodi non parametrici, soprattutto se fondati sul calcolo combinatorio, a volte richiedono metodologie più lunghe, manualmente impossibili, che pretendono l'uso del

test nonparametrici per ottenere la stessa informazione. Questo discorso vale se la popolazione si distribuisce normalmente, altrimenti useremo test non parametrici.

Se l'assunto di normalità delle popolazioni non è violato:

• L'ampiezza del campione per i test parametrici (Np) è MINORE dell'ampiezza dei test non parametrici (Nnp) a parità di potenza, quindi, si ha che Np < Nnp.
• Il rapporto tra queste due numerosità è detto efficienza relativa del test non parametrico. L'efficienza viene misurata in termini di numerosità delle osservazioni ed è data dal rapporto tra il numero di osservazioni richieste dal test di tipo parametrico, sul numero di osservazioni richieste dal test di tipo non parametrico.
• Ad esempio, per una certa differenza tra le medie di due popolazioni, fissato α=0,05 e 1- β=0,80, un test per dati ordinali (non parametrico) richiede un numero di casi Nnp=80, mentre la