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ANALISI MATEMATICA 4

COMPLEMENTI SUL PROBLEMA DI CAUCHY

y' = f(x, y) y(x0) = y0 f : Ω ⊂ R2 → R

ESERCIZIO

  • y' = 3√y(y0) = 0

f(x, y) = 3√y ∀(x, y) ∈ R2

Aggiungo che f(x) = 0 è una soluzionequindi ha almeno una soluzione che è identica nulla

Si possono vedere due casi distinti: il primo approccia solamente una soluzione nulla, (ma basta una passa in un verso diverso, potrebbe perché in una maniera soddisfatta)

NOTE PER ESISTENZA E UNICITÀ DELLE SOLUZIONI

E fondamentalmente presentiamo una determino ali i x* = AH(t)z3

x(.; z3) = x

→ u(t) = x(t0; z3) z3, per unicità

TEOREMA DI LIOUVILLE

Siano χ1...k soluzioni di

x = A(t)x e Ω X la matrice wronskiano ad esse asociate, apriori

Wt) : = det X(t)

W.T: → R

soddisfi equazione differenzial dis [11] (tr AH(t))t

li z[5, ,,,,, t0] per ogni ita [2,.] fossa

[1, to] [t0, tr c^(s)] ds

W(t) = W(t0) e eulid

OSSERVAZIONE

Wt[...[] f(t"

Come osservato in procedimodi

DINH bisogna provare che: W = [tr AH(t)} W

Racursome W X coadiuso[t . X = AH tXX 5 ogni ["

SISTEMI AUTONOMI

A matrice n x n

costante

x(t) = etAx0, x ∈ Rm

Nuovi obiettivi

Calcolo dell'esponenziale di una matrice

Ripasso

A matrice n x m

ex = ∑∞k=0 xk / k!

eA = ∑∞k=0 Ak / k!

A3 = A · A2

A2 A3 ··· A(k)

A0 = Idn A1 A2

Perché la serie converge?

In analisi abbiamo imparato che una serie converge se e solo se gli elementi tendono a 0, ma il criterio non è efficace.

k → ∞ ck

limm→+∞ (c0 + ... + cm)

Esempio

X = spazio normato → spazio vettoriale con norma

X = Vn*m spazio vettoriale

norma su X definita operatore

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Publisher
Chiara 1995
A.A. 2016-2017
142 pagine
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SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Chiara 1995 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 4 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di Torino o del prof Garello Gianluca.