Algebra Lineare - Geometria Analitica a colori, Teoria ed Esercizi svolti

1) Matrici e Determinanti

Gli m×n numeri disposti nel seguente modo se sono numeri su ℝ, costruiscono una matrice in ℝ

M x N = n° righe x n° colonne

(3 4 1)(5 -2 6)

è una matrice 2×3 2 righe x 3 colonne

I numeri sono detti elementi della matrice

Q_ij è un elemento con

• i = 1, 2, 3... m (righe)
• j = 1, 2, 3... n (colonne)

i, j sono detti indici. i si riferisce alla riga, j alla colonna. Ad esempio Q₄₅ è nella 4 riga, 5 colonna.

Le matrici si possono indicare anche con A, B Se con A indico la matrice, indico con

A_i = (Qi₁, Qi₂, ... Qi_m) la i-esima riga della matrice

e con

A^J = (Q_1J Q_2J Q_NJ) la j-esima colonna

Una matrice può essere anche indicata così:

A = (A¹, A², ..., A^N) tutte le colonne

o

A = ( A¹ A² A^M ) tutte le righe

Matrici e Determinanti

• Gli m·n numeri disposti nel seguente modo se sono numeri su R, costruiscono una matrice in R

M × m = n righe × m colonne

( q11 q12 ... q1n ) ( q21 q22 ... q2n ) ( qm1 qmn )

Esempio:

( 3 4 1 ) ( 5 -2 6 )

è una matrice 2×3 2 righe × 3 colonne

I numeri sono detti elementi della matrice Q_ij è un elemento con _i=1,2,3... m (righe) J=1,2,3... m (colonne)

I_e,j sono detti indici, i si riferisce alla riga, j alla colonnaad esempio Q₄₅ è nella 4 riga, 5 colonna.

Le matrici si possono indicare anche con A, BSe con A indico la matrice, indico con

A_ij = (qi1, qi2...qin) la i-esima riga della matrice

E con A^T = ( q1J ) ( q2J ) ( qNJ ) La j-esima colonna

Una matrice può essere anche indicata così:

1. A = (A¹, A²,...,A^N) tutte le colonne
2. or A = ( A¹₁ A²₂ A^M ) or tutte le righe

Se m=m è detta matrice quadrata di ordine m

e gli elementi Q₁₁, Q₂₂, Q₃₃, Q_mm sono elementi diagonali che formano la diagonale della matrice

Esempio

• A = ^{(2 4 -1)} (6 3 2) (1 Q Q)

Q₁₁ = 2

Q₂₂ = 3

Q₃₃ = 5

Quando una matrice quadrata ha Q_ij = 0 con i≠j è detta matrice diagonale ➔ cioè se tutti gli elementi che non appartengono alla matrice sono nulli

• A = ^{(1 0 0)} (0 2 0) (0 0 -1)

è una matrice diagonale

• B = ^{(0 3 6)} (4 0 0)

non è una matrice diagonale

Due matrici sono uguali se Q_ij ∈ A = b_ij ∈ B per ogni i e j

• A = ^{(2 0)} (3 1)

• B = ^{(2 0)} (3 1)

sono così!

Una matrice è nulla se tutti i suoi elementi sono nulli

• A = ^{(0 0 0)} (0 0 0) (0 … 0)

Data una matrice A, chiamiamo trasposta di A la matrice A^t che ha come colonne le righe di A, ordinatamente.

Esempio

• A = ^{(4 6 2)}