Algebra Lineare - Geometria Analitica a colori, Teoria ed Esercizi svolti

Matrici e Determinanti

Gli m.n numeri disposti nel seguente modo se sono numeri su R, costruiscono una matrice in R

m × n = n.righe × n.colonne

Esempio

(3 4 1)(5 -2 6)è una matrice 2 × 32 righe × 3 colonne

I numeri sono detti elementi della matriceQ_ij è un elemento con i=1,2,3... m (righe), j=1,2,3... n (colonne)

I Q_ij sono detti indici, i si riferisce alla riga, j alla colonna

Ad esempio Q₄₅ è nella 4 riga, 5 colonna.

Le matrici si possono indicare anche con A, BSe con A indico la matrice, indico con

A_i. = (Q_i1, Q_i2, ..., Q_in)la i-esima riga della matrice

e con

A^j = &cblock;_{Q1j, Q2j, ..., Qnj}&cblock;la j-esima colonna

Una matrice può essere anche indicata così:

A = (A¹, A², ..., A^N)oppureA = (A₁^T, A₂^T, ..., A_M^T)

tutte le colonne oppure tutte le righe

Se m=m è detta matrice quadrata di ordine m

e gli elementi q₁₁, q₂₂, q₃₃, q_nn sono elementi diagonali

che formano la diagonale della matrice

Esempio

q₁₁ = 2

q₂₂ = 3

q₃₃ = 5

Matrice quadrata

3x3

Elementi della diagonale

Quando una matrice quadrata ha q_ij = 0 con i ≠ j è detta matrice diagonale

cioè se tutti gli elementi che non appartengono alla matrice sono nulli

è una matrice diagonale

non è una matrice diagonale

DUE MATRICI SONO UGUALI SE q_ij ∈ A = b_ij ∈ B per ogni i e j

SONO COSÌ!

Una matrice è NULLA se tutti i suoi elementi sono nulli

Data una matrice A, chiamiamo trasposta di A la matrice A^t

che ha come colonne le righe di A, ordinatamente.

Esempio

Si ha

Esempio

A = _{(1 -3 0)  (2 5 1)}

B = _{(-2 -1)  (4 0)  (3 2)}

AB = _{(-14 -1)  (19 2)}

BA = _{(-4 1 -1)  (4 -12 0)  (7 1 2)}

Quindi generalmente AB ≠ BA

La moltiplicazione tra matrici non ha proprietà commutativa

Ci sono però proprietà analoghe:

1. (AB)C = A(BC) Associativa
2. A(B+C) = AB + AC Distributiva a destra
3. (B+C)A = BA + CA Distributiva a sinistra
4. AO = O O=Matrice Nulla
5. A(kB) = k(AB) ^∀k∈R

Matrice Unità

Sia A = _{(4 3)  (5 2)} e I = _{(1 0)   (0 1)}

AI = _{(4 3)(1 0)  (5 2)(0 1)} = _{(4 3)   (5 2)} = A

AI = IA = A

I è la matrice unità, è una matrice quadrata di ordine m, con 1 su tutta la diagonale e si comporta come il n^o 1 nella moltiplicazione tra numeri

I = _{1 0 0 ... 0  0 1 0 ... 0  .........       0 0 0 .1}

4) Sia A = (A¹, A², Aⁱ, ..., Aⁿ) e sia k ∈ ℝ

Allora det(A¹, A², ..., kAⁱ, ..., Aⁿ) = k det(A)

Ossia se io moltiplico una colonna di A con un numero reale k, il determinante di quella matrice è uguale al determinante di A moltiplicato per k

Esempio

A = (^{5 1}) det(A) = 5 - 3 = 2 k = 6

          (^{3 -1})

(A¹, 6A²) = ( ^{5 6} ) det (^{5 6}) = -30 -18 = -48 6 det(A)

             (^{3 -6})       (^{3 -6})

5) Se A è una matrice diagonale di ordine n, allora

det(A) = Q₁₁·Q₂₂·Q₃₃·...·Q_nn det(^{3 0 0}) = 3·1·2 = 6

                                      (^{0 1 0})

E sege che il det(I) = 1 (_{0 0 2})

6) Scambiando due colonne di una matrice A, il determinante cambia segno.

Esempio

det(A¹, A²) = -det(A², A¹)

A = ( ^{6 4} ) det ( ^{6 4} ) 16 det ( ^{4 8} ) -16

          ( ^{2 3})                ( ^{2 3})

7) Sia A = (A¹, A², Aⁱ, ..., Aⁿ) e sia B = (^b₁) una qualunque colonna

                ( _bn)

∀ i 0