Algebra lineare (formulario)

ALGEBRA LINEARE

SPAZIO VETTORIALE

• commutativa x + y = y + x
• associativa x + (y + z) = (x + y) + z
• elemento neutro x + 0 = x
• opposto x + (-x) = 0
• (λ + μ)x = λx + μx
• λ(x + y) = λx + λy
• (λμ)x = λ(μx)
• 1x = x

FORMULA DI GRASSMANN

dim(U + W) = dim U + dim W - dim (U ∩ W)

FUNZIONI LINEARI

• r(λx + μy) = λr(x) + μr(y)
• Im r = W → r suriettiva
• dim(Ker r) + dim(Im r) = dim V

TEOREMA DI ROUCHE-CAPELLI

• sist. com. soluzioni => rg(A|b) = rg(A)
• Se n&mgt;lm&mgt;infinitesoluzioni

omomorfismo: funzione lineareisomorfismo: funzione biiettiva (invertibile) ↔ m = nendomorfismo: V → V

Matrice: m × m (m righe, n colonne)

Im r = n° colonne LI

cambio base

1. dominnoi: calcoloimmagini e intrascrivo nella matrice
2. codominio: essimoadv vecchi e poicalcolole immagini

ALGEBRA LINEARE

SPAZIO VETTORIALE (proprietà)

• (x+y) -> x+y
• (λ,x) -> λ·x

1. commutativa x+y=y+x
2. associativa x+(y+z)=(x+y)+z
3. elemento neutro x+θ=x
4. opposto θ
5. (λ+μ)x = λx+μx
6. μ(λx) = (λμ)x
7. 1x = x
8. λ(x+y) = λx+λy

FORMULA DI GRASSMANN

dim(U+W) = dim U + dim W - dim (U∩W)

FUNZIONI LINEARI

• f(u+v) = f(u) + f(v)
• f(λu) = λf(u)

Ked ⟶ f(u)=0 relazione tra vettori dominio

Im ⟶ f = {w} ⟶ relazione tra vettori del codominio

dim(Ker) + dim(Im) = dim V

TEOREMA DI ROUCHE = CAPELLI

Sostit.zioni -> rg (A|b) = rg (A)

Se m = rn soluzione unica

Se x<m infinite soluzioni

omomorfismo: funzione lineare

isomorfismo: funzione biiettiva (invertibile) ⟺ m=m

endomorfismo: U -> V

Matrice m x n (m righe, n colonne)

U = (x

Im(φ) = # colonne L.I

cambio base

1. dominio: calcolo immagini e inserisco nella matrice
2. codominio: esprimo i nuovi vettori base in vettori vecchi e poi calcolo le immagini

Determinanti

A = ^{a b} _{c d}

det A = ad - bc

A invertibile ⇔ det A ≠ 0

permutazioni di m oggetti → m!

sgn (σ) =

• +1 pari
• -1 dispari

det A =

• ∑ sgn (σ) A_1σ(1) A_2σ(2) ... A_mσ(m)

Regola di Sarrus

_{a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33}

det A = det (A^t)

Teorema di Binet

det (A · B) = det A · det B

Formula di Laplace

det A =

• ∑^m_s=1 (-1)^s A_ij det (A_ij)

A^-1 = ¹ _{det A}

A^* =

• (a^*_ij)^t * (-1)^i+j det (A_ij)^t

Autovettori e Autovalori

A u = λ u → A u = λ v

autovalore

det (A - λI)² = 0

polinomio caratteristico (le soluzioni sono gli autovalori)

trovo gli autovalori

molteplicità geometrica ≤ molteplicità algebrica

g_i → inversa a λ_i

g_p → inversa a φ

g_e → inversa

g o f = id

p o f = id

B = A ο A ο I

Forme canoniche di Jordan

Matrici 2 x 2

( _{λ 1 0 λ})

dim Ker (A - λ) ≥ 2

Matrici 3 x 3

p(x) (x - λ₁)(x - λ₂)²(x - λ₃)(x - λ₂)

( _{λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3})

Ker = 2

Ker = 3

Matrici singolari det = 0

Matrici nilpotenti elevate danno la matrice nulla

matrice caratteristica

formule di cambiamento

matrice cambiamento

prodotti scalari

cos

ττ ττ bilineare

ττ ττ simmetrica

ττ ττ ττ non degenere

teorema di Cauchy-Schwarz:

ττ ττ ττ

ττ ττ ττ

ττ ττ ττ

τττ ττ τττ

τττ τττ τττ ττ

ττ ττ ττ τtτ (τττ τττ)

ττ ττ ττ

ττ ττ ττ τττ τττ

ττ τττ ττττ τ

ττ τττ ττ

dimensione

τττ ττ τττ τττ

dimensione ττ ττ τττ τ

procedimento di Gram-Schmidt:

base τ, e1 e2