Algebra e geometria lineare - i determinanti di matrici

Determinanti

Ad ogni matrice quadrata N pu.. associare un solo numero, che si chiama determinante della matrice. Se la matrice è di ordine 2x2 det _{(a1 b1)} = a₁b₂ - a₂b₁ Diag Princ - Diag Sec _{(a2 b2)}

ex [A] = _{(2 -1)} calcolone det A = |A| _{(3 4)} [A] = matrice |A|=determinante

-4 - 3 = 5 = det A

Determinanti

Ad ogni matrice quadrato N piò associare (un coto numero) che si chiama determinante della matrice.

Se la matrice è di ordine 2x2

det     [ a₁ b₁ ] = a₁b₂ - a₂b₁ Diag.Princ. - Diag.Secnd    [ a₂ b₂ ]

ex    [A] = [ 2 1 ]     calcolare det A = |A|           [ 3 4 ]      |A| = determinante

          = 4 - 3 = 5 = det A

Se la matrice è di ordine 3, si usa la regola di Sarrus, essa consiste nel ripetere accanto alla matrice in prime due colonne e calcolare allora le tre diagonali di questa meno le tre diagonali dell'altra.

det

( a₁ b₁ c₁ )

( a₂ b₂ c₂ )

( a₃ b₃ c₃ )

=

( a₂ b₂ c₂ a₁ b₁ )

( a₃ b₃ c₃ b₂ )

( a₁ b₁ c₁ c₂ )

a₁b₂c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ - (a₁b₃c₂ + a₃b₂c₁ + a₂b₁c)

vale solo per quelle 3X3

ex

2 3

4 2

1 0

-2 3

2.0.3+4.2.(-2)+1.1.4-(-4)(1)3-2.2.1+2.0.(-2)=-10

ex

metodo a stella

2

2 3

2.4.1 5.4.(-2).4)+3.0.2-3.1.4.(-2)-2.2.5.O.1=

trovare la matrice degli opposti algebra:

_{-2 2 -4 -2}

a_ij = 2

A₁₂ = (-1)³

a₂₃ = 1

A₂₃ = (-A)¹

a₃₃ = 4

A₃₃ = (-A)⁶

Teorema di Laplace

a_ij A_ij

det A = a_ij A_ij + a_ij A_ij

det A = a_ij A_ij + ... + a_ij A_ij

det A = a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ + a₁₃ A₁₃

(_{- 2 +})

considero la prima riga

ex

|A| = 1

Teorema di Laplace I

Se A è una matrice quadrata e r è un'riga che moltiplicando i elementi di unariga per i cofattori algebrici di un'altrariga o colonna si ottiene zero.Autogenerante per le colonne

A a_ij + ... + a_inA_in = 0a_ijA_ij + ... + a_niA_ij = 0

Ex a₂₁A₁₂ + a₂₂A₁₂ + a₂₃A₁₃ = 0

-1 1 1 2 (-2) (-1) 7 ... ... ... ≠ 0

Proprietà dei determinanti che sono utili per il calcolo algetto

Se B è una matrice ottenuta da A scambiando due righe odue colonne B ha det B = det A

• Se A ha due righe o due colonne uguali oppure una rigao colonna unita a sè ha det A = 0
• Se n intere righe di A si somma ad o due addensati i determinantidi A equivale alla somma dei determinanti delle due matriciottenuto da A sostituendo la riga in questione con ciascunodei due addendi.
• Se B è la matrice ottenuta da A moltiplicando una riga ouna colonna per un n, tre: det B = n det A
• Se A è una matrice quadrata det A = det A
• Se A è una matrice quadrata triangolare det A = a_ii ... ...

Ex1 0 03 5 8|A| = 2.2.14

- Definizione di minore di una matrice.

Se A è una matrice m x n. Una sottomatrice di A è una matrice B che deriva selezionando p righe e q colonne di A.

Un minore di ordine p di A ∈ ℜ_mxn determina da una sottomatrice quadrata di A avente p righe e p colonne:

^{2 3} ₅⁴ ₁ (Minore 2x2 | 5 1) | (5 1)

4 1 3 1 (Minore 3x3 | 2 3)

5 2 0 (Minore 1x1 non esiste)

(Posso sempre permutare i numeri dentro le stesse colonne e dello stesso tipo)

Osservazione che l’insieme dei minori è chiuso rispetto non solo fra determinanti, algebra e nulla)

Teorema di Binet (Binet) Siano A = B due matrici quadrate dello stesso ordine. Allora che

det(AB)= det A ⋅ det B

Usando i determinanti si può stabilire se una matrice è invertibile: si può calcolare utilizzando (Regola di Cramer)

Teorema sulle matrici invertibili

- Teorema Invertibile Se A è una matrice quadrata A ∈ ℜ^nxn. Allora a) A è invertibile ⇔ det A ≠ 0

b) Se det A ≠ 0 le matrici inverse di A è

A^-1 = ¹/_{det A} (A_G E^T)

dove le matrici (A_G E sono le matrici aggiunti dei suoi elementi chiamati i cofattori dei suoi complementi riguardo a C, se A è invertibile ⇔ che det (A)^-1 = 1 prodotto di.^{det A} il cofattore

Dimostrazione delle a)^b)

_{supponiamo A invertibile ⇒ A^-1 (A^-1) = J è il codeterminante (dove determinato (Numerise des Binet) che det A ⋅ 1 det A ≠ 0 ⇒ det A ≠ 0 ⇒ det (A^-1)⋅ ¹/det A ho provato}