Algebra e geometria lineare - gli insiemi

Ins.

N sono rappresentate per ciascuna parte, per tale insieme (N: {2,1,3})

che quando l'insieme è finito, allora metodo non insieme

NB caratteristica A: {elemento per il quale possibile la proprietà P} ex

N: {2,3,x+3, x in numero intero primo}

Diagramma di EULERO - VENN

OPERAZIONI TRA INSIEMI

1)Unione

A ∪ B : = {x | x in A oppure x in B}

x in A => x in A ∩ B

x in B => x in A ∪ B

2)Intersezione

A ∩ B : = {x | x in A e x in B}

3)Differenza

B \ A : = {x | x in B e x non in A}

4)Prodotto cartesiano

A × B = {(x, y) | x in A e y in B} tutte le possibili coppie ordinate.

Concetto di funzione fra due insiemi A e B

Detti due insiemi A e B, si dice FUNZIONE da A in B una legge che

assicuri a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B

Texti: G.P. Xi, lezione di Geometria, ... S. Simpleton artisti (trofa)

https://www....ut

Insiemi

A ó B fa representare pa oclazione(practico) por teti unione. (N:

Númerica

A ... e ...

1) Diagrammi di Eulero-Venn

Operazioni tra insiemi

Unione: A ∪ B = {[x|x ∈ A x ∈ B]}₁

x ∈ A ∪ B

P B ∩ A = [x|x ∈ B ∪ A]

2) Intersezione: A ∩ B = _{{x|x ∈ D (x ∈ B)}}

3) Differenza

B \ A = {x/x ∈ B x ∉ A}

4) Prodotto cartesiano:

A × B = {(a, b)|a ∈ A e b ∈ B}

Tutte le possibile copie ordinate.

Positivo da funzine she due functioni. A (functional union) B

Dati no ...

Funzione di produtt

f: A → B

deputato tale AC un valore in B

Diamo funzione di f tale funzione con una funzione cui univocamente ...

(f) F da A a B

OPERAZIONE BINARIA INTERNA ...

S: operare alla struttura... considerare di...

Φ A × A → A

operazioni somma

ex

N ...

operazioni ...

N interiore

(3,5) → c = -2 ∉ N

In questo sono l'operazioni di introduzione... interna

Proprietà di cui può... un'operazione ...

• ASSOCIATIVA ∀a, b ∈ ..., ...
• COMUNITATIVA a × b = b × a
• ELEMENTO UNITÀ (NEUTRO)...

... unico....

∀a, ∃ a^-1 ....

se a ≠ e, ∃ b ∈ G... allora a × a^-1 = e

(N,·)

(Il numero di elementi)

0,1,2,...

Strutture algebriche: gruppi, anelli, campi

Un insieme G con una struttura operazione * (G,*) è un gruppo se valgono le seguenti proprietà:

• Associative: esistono elementi inversi soluzione [Insieme finito se esistono elementi inversi] è una condizione necessaria e sufficiente se esistono di G un sottinsieme che è un anello o gruppo.

(Q,+) = gruppo

• Ass: (a-b)+c = a+(b+c)
• Elem: Esiste un solo elemento inverso
• Assoc: a^-1 -> esistono inversi
  • 1:k

(Q,·) non è un gruppo

Anello o (B,·,+)

• Indica se un oggetto associato che prove le proprietà solite

(Q,+,·) = anello

• (Q,+) è gruppo additivo (commutativo)
• Vale le proprietà note: esistenza di moltiplicatorio
• Vale: struttura se intercorre.
• a,b,c ∈ Q, a·(b+c) = a·b+a·c, (a+b)·c = a·c+ b·c

Nel caso dell'anello

se, vice inversa?

CAMPO (K,+,.) in altri polinomi che ha ogni element

diverso da zero INVERTIBILE es. (Z_1, +, .) non é campo ((Q,1,) sí

Q ha ogni elemento invertibile ⇒ é campo

{ ∣ ℑ = 0}

{ℑ, , ̅}

(ℤ, +, .) ⇒ ( ̅ℤ, ) Campo abeliano

∀ diverso da zero appartiene a l'inverso non é campo

ℕ (non é campo) 0,1,2,3,

ℤ vediam come ó campo (, .) +ℤ

Q razionari é campo (,., )

ℝ (razionati interazati) Realu é campo

é campo +

Quando si dice K campo che vale pe R

OPERAZIONE ESTERNA di un insieme V su un campo K

f : K x V → V a ∈ K, v ∈ V = a . v ∈ V

Pato un gruppo (,?) ⊆ diciono che (, ?)

mediu se stessa OROGRAZIO Che G ̌⇒ SOTTOILLA e SOTOCAMP.

– ex

a ∈ K ∈ a

border border

– esistir

DEF: SOTTOGRUPPO – Data un proga(G, ∾)raguto ad u questione si ℭ

⊆ G dincio S sottoirou se (S, ?) é un proup

Numen dupion … il men: cayerli, minom a ollitorgari al tounu

in ammonelho unis' in defagdión x-+1 elwma

βe ridiziar in ℝ welle are shulvar.

ex x² + a = 0 Un X

x² = a

x = ±√ a in ℝ x̅ √̅ = non hai solucluveri R

x² = x - a

cueff enuin soale coo c - ̅̅q ∈

X = {- √,C - √̅ (√̅) to x-5

2 raicion con il Twionm cand