Affidabilità e sicurezza - Riassunto di tutto il programma per la prova orale

Richiami di statistica

Istogramma

L'istogramma serve a rappresentare dati sperimentali. Divido il valore osservato in tanti bin, cioè prendo una variabile aleatoria continua x e la rappresento in funzione della frequenza con cui si manifesta. Avrò quindi K classi, n_i numero di elementi in ogni classe. Sull’asse x pongo il valore osservato e sull’asse y la frequenza. La frequenza relativa sarà uguale a f_i = n_i / N mentre la densità sarà δ_i = f_i / Δ dove Δ è la dimensione del bin.

Funzione densità di probabilità

Anche nota come PDF, non è una vera e propria probabilità ed è una probabilità infinitesima. Consiste nel far tendere il Delta a zero. Probabilità che una variabile aleatoria cada in un determinato intervallo, anche piccolissimo, del tipo [x,x+dx].

Funzione di probabilità cumulata

Anche nota come CDF, rappresenta la probabilità che un valore sia inferiore a una variabile x, opposta della affidabilità.

Indicatori di tendenza

• Varianza: quanto ci discostiamo in media dal valore atteso, definita in funzione del valore atteso.
• Deviazione standard: indica sempre la varianza ma è più comoda perché ci dà un valore più fisico, ad esempio ci dà i metri e non i metri quadrati.
• Media: sommatoria di tutti i valori dei campioni diviso il numero di campioni.
• Moda: valore più alto delle probabilità, cioè valore che si presenta con maggiore frequenza.
• Mediana: valore centrale tra i dati numerici.

Affidabilità

La funzione affidabilità R rappresenta la probabilità che non si verifichi una rottura fino al valore x della variabile X.

Tasso di guasto

Numero di pezzi rotti in un tempo tra quelli ancora funzionanti al tempo t: N_failure(t)/N_sani(t). La curva a vasca da bagno mostra come varia il tasso di guasto col passare del tempo.

• 1° possibilità: tasso di guasto decrescente, nel caso di tanti componenti all'inizio i componenti più deboli tendono a rompersi subito e quindi all'inizio elevato tasso di guasto. Successivamente diminuisce.
• 2° possibilità: componenti tutti uguali allora rotture avvengono in maniera casuale allora tasso di guasto costante.
• 3° possibilità: usura, inizialmente tasso di guasto basso che col tempo cresce a causa di usura.

Nella realtà, queste 3 tipologie sono presenti insieme e si ottiene un tasso di guasto con forma a vasca da bagno, divisa in 3 zone:

• 1- Mortalità infantile, con tasso decrescente e derivata negativa.
• 2- Vita utile, dove si collocano danni casuali, tasso di guasto costante e derivata nulla.
• 3- Usura, tasso di guasto crescente con derivata positiva.

MTTF e MTBF

• MTTF: tempo medio fino al guasto cioè vita media del componente senza guasti.
• MTBF: tempo medio di riparazione.

Disponibilità

Se A → 0 il componente sta sempre in riparazione.

Distribuzioni statistiche

Diagrammi delle distribuzioni CDF, PDF e h(t).

Eventi estremi

Servono a studiare il valore maggiore o minore di una variabile casuale come ad esempio la minima resistenza del materiale. Distribuzione dei massimi: data una variabile aleatoria X che segue una distribuzione madre e dati n campioni, la distribuzione dei massimi è la distribuzione della variabile X_n (della distribuzione madre) che rappresenta le x_n estratte ad ogni serie. P(X_n < x).

Distribuzione dei minimi: P(X_n > x) cioè tutte le variabili devono essere maggiori della X della distribuzione madre.

Stima dei parametri

Significatività statistica: probabilità di commettere un errore rigettando l'ipotesi nulla H₀. Cioè probabilità di fare un errore affermando che la mia misura è significativa. In altre parole, definisce quanto rischio voglio assumermi. La valuto sempre su dei valori estremi. Più la significatività è bassa più mi prendo un margine di sicurezza.

• Ipotesi nulla H₀: due insiemi di dati provengono dalla stessa distribuzione statistica.
• p-value: probabilità di ottenere un risultato uguale o più estremo di quello osservato supponendo che sia vera l'ipotesi nulla. Inverso di Alpha. Fissa un valore osservato e ne valuto la significatività statistica.

Dati sperimentali di guasto

Durante una prova sperimentale di guasto si possono avere componenti rotti o componenti in cui la prova viene interrotta; in questo secondo caso si ha una censura.

Funzione cumulata empirica: dato un insieme di n campioni è possibile stimare una cumulata empirica q_i utilizzando la statistica d'ordine, si ha una distribuzione cumulata senza fare nessuna ipotesi e cioè si ottiene empiricamente. Nel caso di dati censurati il calcolo della probabilità empirica deve essere corretto.

Intervallo di confidenza

Rappresenta un intervallo del valore stimato quindi la probabilità che esso si trovi all'interno dell'intervallo.

Composizione di variabili aleatorie

Covarianza: la covarianza di due variabili aleatorie è un numero che fornisce una misura di quanto le due variabili varino assieme, cioè della loro dipendenza. Se il coefficiente di correlazione è 0 non c'è correlazione, se è 1 la retta ha pendenza positiva e c’è correlazione, se -1 la retta ha pendenza negativa.

Metodo Montecarlo

È una tecnica che permette di stimare la probabilità di un evento anche nel caso dipenda da molte variabili con distribuzioni differenti e legate da relazioni complesse. Innanzitutto, si definisce il problema e le variabili, le distribuzioni e si generano dei valori delle variabili. Successivamente si effettua una valutazione deterministica delle variabili.