7 Derivate

Derivata destra e sinistra

Presa la funzione f definita su un intervallo [a, b], la derivata destra di f in x è:

f'(x⁺) = lim_{h → 0⁺} (f(x + h) - f(x)) / h

La derivata sinistra di f in x è:

f'(x^-) = lim_{h → 0^-} (f(x + h) - f(x)) / h

Osservazione: se f è derivabile in x, allora f'(x⁺) = f'(x^-) = f'(x)

Derivabilità delle funzioni elementari:

Se f è una funzione costante, allora f'(x) = 0

Se f(x) = c * g(x), dove c è una costante e g(x) è derivabile in x, allora f'(x) = c * g'(x)

Se f(x) = g(x) + h(x), dove g(x) e h(x) sono derivabili in x, allora f'(x) = g'(x) + h'(x)

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Xilinxfu fededunque OÈ EfogliaX aff Dxln .pke dunque oému fluxI'G 1I'G età 1lux Clnaitanafa 1 al'tauxGf casa sentiCOS Lµ IÌDimostraciane coi 1sulII toniefaux cashcosCastel G sentefax f xGsentita Coenfu f x1arcsen.fi ffcxi jaarcaici I'Gfix I&039;GarteFG 41Operazioni con le derivate: bRi INb afsiamo e gai if tXf µ µg g gifI'GDimostraci due 1kl'ftAttune 84faing pHlui XG G di Leibnizf Proprietàg µfigfg offDimostra ciane fkth.gl D fuga4818 ftp.tI 8 8 tqq.in gggg peggiole soa pieneggapprossimabileEf faDimostrazione 4ti 148notie'f ftp.fg gcxtfe.eu1 Ili oa µf peneapprossimabileµ ggfigg gaDimostrariane ftp.fgf Èfff f gProprietà delle derivate: bderivabile in cioccaè ese b Cidf a IR è derivabile in yoffeoDcg inAllora derivabile toccaIN bf ais egDimosiniane gcflxoll.IQ feoficogiga gcfcxDg lineline FG feoX Xio toxo sx o gcflx.tl8440 1401k gcfcxDlingua g FG feoFG

feoquo8141line 8 pg figg gf e Yiyoyo yy

Teorema: derivate di funzioni inverse

Sia una funzione invertibile localmente fruibile in un certo intervallo C.cain con derivabile in un punto Xo. Se la sua inversa è inderivabile in Xo, allora è la funzione è una fittotale cue giglio.

Dimostrazione: aIprendiamo limite incrementale rispetto il del rapporto foldIHIline trovocosì meyo7y yo figo che feoxpuò sappiamo yoICHtiline linepremio f yo staff flatXy yo incisa scambio quando feniana guna e compongo limitii desono fenianicue entrambi coversappiano gtilt fico II ÈIÈline uny.ae faloMa fieldda ipotesi Xo dunque dpOss!: le tangenti ai gra ci della funzione e della sua inversa

Prendiamo lui XoXoy yo x yoytontolone è di si lainfattinota che simonia simmetriche stesse tangenti sono all'assetongue y HoL'Ho fmecome menee1Abbiamo I infattidetto che edyo flyLYoxòf f néyo xò Yo simmetricix yYoMinxf XoOss!: dimostrare le derivate notevolifa luxPresi èfai e1 Eti già p

eOss!: ricavare le derivate di funzioni inverse

Prendiamo CNSelex aromigg e 11 11 efai costarcene sentarseux1 1g

Prendiamo 44 è sconosciutae ti si

Nonostante sinon conoscerea facilmentepose cicalcolare puramentepuò MCI 11 e e 1I E1 eèèn n e lea

Massimi e minimi:

R inteca bbf xoai ha txt b 784assolutof quando faamassimounha minimo Villa fleabf avocato fquando eun placateha massimo relativo intornounf tuquandobE tale HEU Edi a che faxofaxXo minimo Iliade intornorelativo tuf na na quandoedi Vtaleca b xeuf.fiXo faxoche 7

Essi esserepossonoisolatistretti strettadiseguaglianzaincontinui latosensola loro etiologia è figocianosi osiapensi estremi localiestremarmi

Teorema di Fermat: in laderivabile Dcontinuasiasia fenianaunab ef a dibCaSe E è allora èestremante iof in puntox nestazionario di 0ff ovvero

Dimostrazione 7 talesia txtUxlocale che uf X Ef Xomaxio me fu7incrementaleil colori 0asemenepuòrapporto xfa faxo Htioline E oX XoXf O f E 0E0

Fila 4: Ète 8401 tipoline 7X Xo OXò Gf oDuqueOss!: non sempre f'(x)=0 significa massimo o minimo, se il punto stazionario è Xo=0 ne pento. I 70 possono essere float o interi, a ore I 0xò maninaese fogelò. Se minimoff xò=xò o oeOss!: I punti di non derivabilità possono essere massimi o minimi, nonostante siano pensi non fenianastoriamovi mie essere seCanneepossano sonoMaxderivabilità dipuri. Nonostante ciò, il Teorema di Rolle afferma che in un intervallo [a,b] se f(a)=f(b) allora esiste c compreso tra a e b tale che f'(c)=0. Dimostrazione MenFG te seWeisman Felinazu μcantina bf sola fa Mtmsey. Il Teorema di Lagrange afferma che in un intervallo [a,b] se f è continua e derivabile allora esiste c compreso tra a e b tale che f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a). Dimostrariane ala flatfca x a9Bfb AB bBcb FG afcaggA IL'bgia ay xbb aa Il Ha'gF Ea FG1Nb fca afa b a è continuacena polinomiotap tapper 7lb L'aFGF a b Re 0f Ox 0b agiafinfigDuque b abanalmente cantinadice che ma

genialepresaLagrange lauexohdc.medefinita due es esistefra apaesi tangenteAcbnelda alla secantecena è fraparallelaiopentoTeorema: Monotonia di funzioni (derivate) Dinsia incantinab derivabilefila auna fune'aree etxtè Aib70crescente f1 f è b2 G VACCAfdevastante EOf txt3 è 0 Dstrettamente acrescentef pè laI'G txtdemente Dstrettamente cof4Oss!: per dimostrare <=> bisogna dimostrare in un verso e nell'altro11 crescenteHp èf txt DGftu 70 aDini Ela bXo Hp70Il fi1 70 O tipasXo E 0I Hp840 O2 Xxx 7 O tipadiil teoremaPee delpendenza segnoFC7 l1 line X XoOXoX1 ff e2 line oXoxò I'G 7041701.2 tFI tix feee uffcrescente comeafu sx2il teorema didirmi Lagrangeper flnFUe la tale7 E pD cheaX20 XIfinfigo far70 dunquedimostrocionirestantile analoghesonoOss!: quando f'(x)=0 possiamo anche avere un esso a tangente orizzontaleTeorema: caratterizzazione delle funzioni con derivata nullaRiina derivabile costantesia f D eaa

genzianeHae DaOf contanteDunque gx Hat0le bfDimostrariane FG aa70 Hatfigcrescente Da thef Cap0ecoO bdecreecene fiOss!: bisogna stare attenti che la funzione sia continua nell'intervalloArnaut Ritaarcionefu fx 1eGf O1eEf 1 la costanzafenianapuniifb eRimatutto 2suift sonon distintiintervalli fai fi 100Teorema delle funzioni con uguale derivata prima:R derivativisiano I'GD g'Gf a congACERAllora tale gustoflycheDirei FG filaf F g'Ggg xx txtF'Che 0Essendo bfHp axg ERF FGOFG gentefuic gliFCAOss!: operatori di derivazioneCoca derivatabC diD D l'operatorea echefultiane trasformamaf Df suap nellauna fgeniale iniettivoD èdeiiafluviale feniana pero noncantina cantinae Lich ftp.t.glsicfugasTeorema di invertibilità locale: derivabile taleIN