2 di 2 Fisica A Colori - Fisica Meccanica - Cinematica ed Elettromagnetismo, Teoria per Esercizi

Calcolo vettoriale

Scalare

Scalare = operazione con i numeri

Vettore

Vettore = oggetti rappresentati da 3 numeri: modulo, direzione, verso

Rappresentazioni del vettore

• Grafica
• Cartesiana

Rappresentazione grafica

Modulo = lunghezza della freccetta

Direzione = diretti della freccetta della retta

Verso = diretti della freccia

Versori

Un vettore di modulo unitario (uno) nella retta a.C.M. Versore che indaga in sul proprio asse

Calcolo vettoriale

Scalari = operazioni con i numeri

Vettori = oggetti rappresentati da 3 numeri: modulo, direzione, verso

Rappresentazione grafica dettagliata

Sono rappresentati come dei segmenti orientati con la testa (P) e la coda (O)

OP = P-O

Modulo = lunghezza della freccetta |V| = N

Direzione = definita dalla direzione della retta su quella normale due P=O

Verso = definita dalla freccia

Dettagli sui versori

Un vettore di modulo unitario (cioè 1) inizia corretto a C.M.I.

Versore b = b / |b|

b = |b| x versore

b_xi = x_j = y_k = z

Versori che vigevano 1 in proprio ore

v = relatività intrux(b)_{i j k}

Modulo |3j| = 3 |m|

Direzione stessa di v

Verso dipende dal segno della scatena

Metodo del parallelogramma

• \[\overrightarrow{a} = \overrightarrow{c-b}\]
• \[\overrightarrow{b} = \overrightarrow{c-a}\]
• \[\overrightarrow{a+b} = \overrightarrow{-(-a)}\]
• \[(b-a) + (c-b) = (c-a)\]

Rappresentazione cartesiana

\[v = v_x \overrightarrow{i} + v_y \overrightarrow{j} + v_z \overrightarrow{k}\]

Sono versori

v_x, componenti del v_y vettore

v_z versore delle assi

Per ottenere il vettore occorre moltiplicare i prodotti dei 3 componenti del vettore per i versori delle rispettive assi

Rappresentazione intrinseca

\[\overrightarrow{v} = \left\| v \right\| \overrightarrow{u}\]

Versore del vettore che vale 1

Somma per componenti

\[(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = (a_x + b_x) \overrightarrow{i} + (a_y + b_y) \overrightarrow{j} + (a_z + b_z) \overrightarrow{k}\]

Prodotto fra vettori

Prodotto scalare

Prodotto di 2 vettori che ha come risultato uno scalare (un numero).

a ⋅ b = ab cosθ

a ⋅ b = |a||b| cosθ

Prodotto scalare max se θ = 0

Prodotto scalare min se θ = 180° (risultato negativo)

Prodotto scalare è commutativo

Cos θ nullo se θ = 90° (quindi vettori ⊥)

Le componenti cartesiane (3D) hanno prodotto:

• i ⋅ i = 1
• j ⋅ j = 1
• k ⋅ k = 1
• i ⋅ j = 0
• j ⋅ k = 0
• i ⋅ k = 0

Prodotto scalare del vettore per se stesso: a · a = a²

Quindi: |a|² ⇒ a ⋅ a

Prodotto scalare in componenti

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

|a|² = a₁² + a₂² + a₃²

Prodotto vettoriale

Prodotti che come risultato è un vettore, quindi deve trovare modulo, direzione, verso.

a × b = -b × a

Modulo

|a × b| = |a||b| sin θ

Il vettoriale non è commutativo

Per vettoriale di 2 vettori è nullo (θ = 0°)

Direzione

Direzione è ⊥ al piano individuato da a e b nel mentre conter z

Verso

Usare minor ogni ora

Espresso in componenti

× = 0 × = × = × = ( ⃗ × ⃗ ) = (−)̂ + (−)̂ + (−)̂ = = | ̂ ̂ ̂ |   | |   | |) ⃗ = 3̂ + 4̂ ⃗ = 7̂ + 2̂ ⃗ × ⃗ = −24̂ + 0 + 28̂ − 8̂

Vettore applicato

È un vettore che non può essere spostato dal suo punto di applicazione come ad esempio le forze ecc.

Per trovare il momento di un vettore applicato devo definire prima un punto O, così da definire il momento del vettore rispetto ad O. Il vettore costruito con punto sul codale e la codata sul centro di rotazione:

M_O = ( ... )