13 Curve parametrizzate in R3

Funzioni vettoriali (o ricurve)

atXoX btnelloData retta Yorqualsiasi yspazioma 2 CEzoPossiamo Terretta sia rettasiadefinire una tettain base al bne parametrosegmento segmentoRicordiamo suina vettorialer equazionecomepuòche essereF tèIo direzione bvettore a cÈra traslazionevettore Go zoYo la rettapossiamo dunque chedefinire comefumiamomavettoridiedi unoa piùoesattamenteFottafa lanel retta ècome piano xyfenianauna

Oss!: l’importanza del parametroape ilb vettoriale coloreassociaa wagnerianaf vettoredi edun inparametrolespazio veniamocurvespazio paranatrizzateordinarioparametrico n

Funzioni vettoriali in R

Funzioni vettoriali in R: sitiI IERIf cometi 7 R CHfaifate fattifftf effedipendenza datsolaecompletascalare vettore

Proprietà

Proprietà: Notiamo vettorialila sidelleme proprietà fenianipero scar canosulle sono altro checomponenti cue non geniaccilanoi nateconosciamolacome cui proprietà sonoesemplici RData viTERI sonof proprietadef e

• Definizioni: limiti di funzioni vettoriali oTheodifettiI liftHtt o
• Teorema: il limite del vettore è il vettore del limiteteline ICHt.to
• Teorema: funzioni vettoriali continueda R haRin chesialle feniani seAnalogamente Allora lafetiIII feto cantinafinzione e hadi siQuindi alle linfreoffltogetponendo componenti titoKENcome 1,2 3 n vettori

Derivabilità

Derivabilità: 1derivabile EIin to ER7è fittofinito e1 quando calleQuindi scalarecampanelli scalareposiamolofatti factoline frittot.tot sto fittofittosi tocheanche fdire filtropuo derivasi ogni componente

Oss!: la linearità! Xvettoriali scolari MER2Prese due feniani efltflf.lt fattifft 4ft agingµgADlg.ltgltt gatti g

Teorema: derivabilità di funzioni vettoriali composte con funzioni in R

Teorema: derivabilità di funzioni vettoriali composte con funzioni in Rvettoriale EIderivabileSIRI in toprese ffluvialeunaed 4 inderivabile totaleIle 4Kuna feniana can4 SI 9ltD 9ltD4 4lHfH9k ftp ff fnfd9lHff IH 9ltDifd9ltti9 fl4lHftp fnl9ltDfqg apiDerivando filatiM'AIl'ftp.CHH.YTHfilqltlognicomponentel lascalaretuofEssendo camoglielloposso jeeztrasformando9 9h191h1 ficcatif esattamentef quellaaIH9hinvoltata 9 l'CHCHdi prima ma fDuque

Teorema: derivabilità del prodotto scalare fra due funzioni vettoriali

Teorema: derivabilità del prodotto scalare fra due funzioni vettoriali: vettoriali R devivabilisiano due tuttof t.c.ggfinzioni sugallora daf declinabilesia è9GtI faidefinita get

Dimostrazione: fatti fattifltt lf.lt fattiH gattiget gattig gattisentitafltt.ge va componenti441 perH q.lt fatti gatti fattif quel f.netgattiI fritti dideriva gnlhifrlhg.nl lafreight x regolaLeibnizè fitti gnlhtfifrlhg.netDivido le sanatorienuovi fitti fltt.glTrovo getssudori fltprodotti getfitti fltt.glfittaflt getDunque milei

Teorema: la perpendicolarità fra la funzione vettoriale e la sua derivata

Teorema: la perpendicolarità fra la funzione vettoriale e la sua derivatasiti derivabilesia tale ATEI11fattiI mef cariAllora Ltfell f

Dimostrazione: cost costIl ftp.fltIl e11pct11pct fit H CHfLt Ofit ffit f eil èscalareloroI niunofittifa prodottopoiché

Esempio: 42inData pianouna xygenuianeyn KERIlRicordiamo2cosa flanchetpH ph fu2seno 1123 avremo unay sfera2 fittifaNotiamo la frapeependicolorità evettore alla cenatangente panametrizzata

Teorema: derivabilità del prodotto vettoriale R

Teorema: derivabilità del prodotto vettoriale R'devivabilivettorialisiano due tuttof t.c.ggfinzioni sugallora daf declinabilesia èI definita flange

Dimostrazione: fitta9ft giltfittagete 1i iki ij È Ifgliifitti fittithigh peti tfitti fattigatti gattig.CH e gattgiftKi foltifatti film filatftp.gkt fatti efilm fatti fgilt gilt giltT ggiltgiu gilt fifth GIÀaiDato cantiche scorciatoiasono unaesisteesageratiprendiamo9 atti del latticed'Hi bltk.chahah altibenediNotiamo ai Èpomidoroqualcosa 9 baffiattiMa del b'GCE bltk.ltd'Hialtianche 9EPosso derivare colonneanchema perrigheperdiLa 94 saràderivata fltkg.lttin _TI III fi GIÀiaIIgatti aAi gatti qstg t.tligienici t.Hfifiefieg.itEiji fifitelfiha t.ie fiifi

Teorema: derivabilità del prodotto misto R

Teorema: derivabilità del prodotto misto Rsvettoriali delinabili tuttoSiano le tre feniani t.c.f.g.li Isuf g 4hallora derivabileR hada figli è9 I definita get

Dimostrazione: dimostrariamisi la 2ditratta solamente primacombinare fatte9ft gltt.net gHxhlHfa efHse prendiamo i filmfeti fattifila pt derivabileng ègg dive 2IHqui giltgattig 9h derivabilepas dimgg t4 CH 4 CH CHUf

Curve parametriche

Curve parametriche: Ltffatti8 pi ttchiamiamo tiin Ila concurva parametrica fattiYupiIf feniana fparametrica e fitChifaf fi fu ilè dellaIn curva paravetrizzatafl'immagine sostegno

Proprietà delle curve parametriche

Proprietà: fachiusa8 b fbedI flatse TtI JETRsint se epiana

Teorema: curva planare

Teorema: curva planare Una è laesiste contengapianacurva se in chepianott D canonicanella formaOaxtby.czÈr fatti ofitta dflab eLt2 13trovando nullat trovo Trendeche anche