13 Curve parametrizzate in R3

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0 t quandopolinomio osuo è niunoogni fattoreb D it Oca CXc CzCygaffe D c ildivido ittutto 0trovo 1Xpel c e 2piano y 8 èDunque planareEsempio 2:È DDA b8 Obarat a Oc o3L2 detiene Rl'ca 0 0 ovveroDrt iby.cz O peli èax o planareo nonEsempio 3: Per dimostrare che cenafoto unaOER riletta o siasenog sinon ey cannavapiano puòtrovare it402 in passantepiano3 allineatiper nonpuriD5 by dimostrarea che0Cz quartopernoe neTE tb n Droso orsua difficilemoltoDe nizione: curve semplici o iniettive volle2 loEsce sianomaiche pernoncurvesono possanoquelleBasta Clea paranchizzazione su siaunamapento componenteR SR iniettivo 8 lo siafune'oneuna affinchéiniettivofitti iniettivo32 È iniettivo iniettivose Juannonte2 aDe nizione: curve regolari da vettorialeUna sicurva paranetrizzata finzioneuna getIERIè di lola stessa f èquandoregolare ilderivabile tutto1 vettoresu c'èIE tangenteIlto to2 1170f fto IlEPosso

normalizzare il rendendolovettore versoreparametro 11fdel di t 11gproprietà nonparametro 8è delin poila regolarità dellaparametro curvaprimisEsempi: suadenuasitiFINÌ IIIµOea daio sfottoè ti402 cilindricaelica 8 è regolare FuteIl IltoIlsevedo efiloanche 11g 0IÌ È.FIdeiiao TER deeivasiiisunttoR8 è regolare aIl IlIl disevedo efilo sanaoanche 11gLunghezza di una curva: El ERdiDati Rbt fecurva airegolarea osniIIEIIIiee.am EEEIaIla cui distanzesegmentipiccoli diattraverso ilsi calcolano teoremarita li bxlm riafyetcan getLtyay dà L'thatdyCdxdi T ottI'fogni frammento ds al altsin Il ott11 jetLG Il ottfilth continuafeniana poichédisiriane finzionicampo essendocantine caninafa Hpxognisonno frammentoinfinitesimo scalareµ spazioIl dtds CHI11ft If applicazionealt allatempo fisicaEsempio: ÈIII IÌp attoso za derivaho 42 2Èr'cosIl 42risanòIla 0f teFudo silo daIl1 fetido

lorl'elica LEInoinInfatti se unadegenerasse peecirconferenza2Oss!: portiamoci in R : ESl diPrendiamo IRbaY NÉ telai lt.ptDI fltta µ iQuesti di noicheb fenianitipisonoa riscritteconosciamo esseregià posiamovettorialicomeemceee ÈDeriva 84111q tYFIAf èI cue faunaesattamente la cheabbiano trovato suoa tempoParametro arco/notevole:modiEsistano curvaturaparametriinfimi ore unaper di tuttiesiste detto belloarco piùun parametro8Prendiamo Cet bdi Rdaanatrizzata f airegolare poiiseoF per1 ne pento ciane sullaconsidero la sediceµ PA2 curvat fattids3 se duvf uµ orcoparametroa IlAbbiamo ottfilthdimostrato di4 chegiàprecedentementeEsempio: 00FÈ forti daIlotto dasei flashase con0le2 0Ìone treIla118 e SLOOre Questo ilès arcoparametroquil'elica incilindricaNotiamo 4che se 0unadegenerasse circongindi radiantidefinizione angoloDe nizione: parametrizzazioni equivalenti Rufa b RDfparametrizzarianiDue

eequivalentisono q7 9 DI D tea equandoinvertibile9 delle1 la selleria parametrizzariamiin modoquestoapparederivabile2 9 q le D cosìD laa Orianil'f Htt3 D70 a parametrisonof equivalentigpie4 941fate Date agOss!: caratteristiche delle parametrizzazioni dallaallora lose bellapavonetizzoriane e eregolareuna l'Higuchid'altra fuit I'Hifatepoiché vettoriali dovevatecuite paranetrizzariani lafenianisono4 linearmentepoiché kg.MNflttsano sono dipendevidirezione daovviamente la dipende l'Chekidenticilese versi0ke 0se versi oppostiOss!: le parametrizzazioni con l’arco o con altri parametri sono equivalenti7 9cm t.c.flh.glsempre altra paranetrizzazionequalunque orcocomeparametrittalianeIntegrali di linea di prima specie: reniPrendiamo Fir R continua aperto RDEetie di paranateizzata aconcava fregolare terapieNotiamo alledunqueFds dtIl filmAllora FIGHI FegatiINstiamoQuello noiche facendointegrare una genuinae oaadvettoriale bunarispetto

sommiamocurva t contributo fraognil'altezzabasela te fittOvviamente deve ba nessere secome facessimosonno cantcontinua comeFlat fatti folti fattifiltI 4continua cantinapretOss!: riconduciamoci ad R2 L Ict deeRri R t AFPer in scelgo eandare fgfdsefbaflfltyllf.lt dtpetti Ilfbaflfhtfd o.gsÈ rettaIo FdsEsempi: doUffa liFIFA 140icasatiseneFdsI cosa ottotF xty.it conriffa jfrofoodarffenodo.in d0rerlrsHYIInEII FufuEI uEFit'seeit.itEcos'EIp jÈ zta.IEds ft x4yIa seei.lt12 cos't 2o TI0te Xe cost t sentIÌ le8 sidi derivodeve essere toastsenteyt 2 12 TÈ Esclittecost ZEast sent 2il consent11pct E 2Teorema: media integrale di linea di prima speciesia Rupura di eparoneetuizzatadaf.EaibJcurva regolareRR RERfsiae convivevacomt.cfgfds flfltoll.ltEAllora 3 to DaDimostrazione: scalare LUIIEDs altIl filmpHflfltolffnflthd caun.meFlint fitti fact fattiHp Laurina felt camminail della inteoremaQuesto pimediarisulta altro manongueralizzato dimostratodi b che

abbianoXofa a f a suo tempoµ PINO notevoleintegraleTeorema: gli integrali di linea non risentono di parametrizzazioni equivalentiOss!: integrali di linea generalizzatiI Col ottUfffadsBaricentro di una curva: R'ininRicorda medi8 orizzontaleun segmentoregolare MeirMiRuDf a µ Mit milineare8 densità 8dLduedi mano Ex dsIsdm.fr tesonA yds82 degTerna intrinseca di una curva:La intrinseca intornotenia il riferimentodi ècurvauna asia biX regolareuna curva I kYeEEEEEF.ieBisceglie anticipiamo significaderivabile itavoltea cantineconCl tillIl todi film fae con li versionidi definire 3fatto al2ortogonaliVogliano adellacue l'andamentoriprendano curva per penapentoL'CHVersore normalizzatoversoretangente HH11g Hppero tL'Ata fbinomiale bVettore normalizzatoversoreil Hd tofitting Hppene tune 1151klinkb 1bVettore tinormale poichéversore e versaciDe nizione: una curva biregolareèUna biregdoie.in8curva quandone pento è Ila1 todominabilef

volte2 nelè biregdore.^unto èquando birgoloseagito Il2 to abinagitoL'Ha to da a118 pentoogniTeorema: curva biregolare è regolareRicordiamo è quandoche cenamia regolareè Ceederivabile volta canti evita1 amabilecon1 vengano didalla def2 118411170 biregoloritàDimostrazione:Una è biregolare quandocurvaderivabileè di dellala 11 seamo proprietàperciòregolarità Il2 HtIl 11 Gessendo cheLt fI faO0 ff nenea O11f sonot pallio Hf IlNf f0 ePiani intrinsechi:E intrinsecan'y danno tua in5 mi ma ogni punto5 temaessi fi t.iesi comecomportanoIII del sistema standarddi riferimentoE ÈÈci in ordinequestoE tib 0dall'origineportano sempre5 Piano1 osaniatore2 23 Piano normaleo 1 ù Piano3 rettificanteEPiano 8 ina findeviatore Edai tevettorigenerato bdalla normale 0egallato parente preIo 5 E Oflt inGet 423f ZAf poichéyet sianoEnzoEH zvettore qualsiasi y5 tfEf x LETo getE t tt fa f fjet xp

eaEI 2GYLt daCaneE xk definizionedel mistoprodottoI'Ltf 2 tfX tti 2yPiano2 in8normale fita 5n