Vettori liberi e applicati

Fisica Matematica

Vettori Liberi

Consideriamo una coppia A B (ordinata).

Si intende per segmento orientato A e B l'ente analitico che ha la direzione della retta che congiunge i punti A e B, il verso che da A porta a B e il modulo coincide con la distanza geometrica dei due punti. A è detto origine, il punto B è detto estremo libero.

• Relazione di Equivalenza

Due segmenti orientati si dicono equivalenti se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso.

• Classe di Equivalenza

Si intende per classe di equivalenza l'insieme degli infiniti segmenti orientati equivalenti tra di loro.

OSS: Poiché ogni segmento orientato può appartenere ad una ed una sola classe di equivalenza, le classi di equivalenza rappresentano una partizione tra i segmenti orientati.

• Vettore Libero

Si intende per vettore libero l'insieme di infiniti segmenti orientati (stesso modulo, stessa direzione, stesso verso) equivalenti tra di loro.

* Costituiscono uno spazio vettoriale.

Notazione Di Grass-Man

Tramite la notazione di Grass-Man è possibile lavorare agevolmente con i vettori liberi: più precisamente volendo rappresentare il vettore libero μ₂ si può considerare un segmento rappresentativo del vettore e a partire da un punto arbitrario dello spazio O si riporta in modulo direzione e verso il segmento rappresentativo. Resta individuato univocamente un punto P e si scriverà μ₂ = P-O.

• Due vettori liberi si dicono paralleli: quando hanno la stessa direzione.
• 3 o più vettori si definiscono complanari quando riportati i segmenti rappresentativi di tali vettori da uno stesso punto, tali vettori risultano appartenenti allo stesso piano.

N.B.: due vettori sono sempre complanari. Tre vettori, due paralleli: allora i tre vettori sono complanari.

Prodotto Vettoriale

• Terna Levogira (_u, _v, _w)

Considerate tre vettori (_u, _v, _w) non complanari; la terna ordinata (_u, _v, _w) si dice levogira se ad un osservatore, posto con i piedi nell'origine comune ai tre vettori e la testa rivolta nel verso positivo del 3^o vettore appare antioraria la rotazione che deve compiere il primo vettore per sovrapporsi al secondo formando un angolo minore di π.

• Prodotto Vettoriale

Consideriamo (_u, _v), si intende per prodotto vettoriale due vettori _u x _v il vettore libero che ha come modulo |_u x _v| = |_u| |_v| sen(_u ∧ _v) la direzione è quella ortogonale al piano individuato da _u e _v e il verso é tale che la terna (_u, _v, _u x _v) è una terna levogira.

NB: |_u x _v| = Area del parallelogrammo avente per lati _u e _v

_u x _v = − _v x _u

L'equazione V_S × a = b ammette infinite soluzioni purché

valga la condizione di compatibilità [a, b = 0]. Queste infinite

soluzioni sono espresse con:

V_S = ¹/_a² a × b + μ a

μ ∈ ℝ

"Un'ipotesi per la determinazione dell'asse centrale"

Cambiamento Di Base E Legge Di Variazione Dei Riferimenti

Serve per mettere in relazione due osservatori che osservano un fenomeno

stesso

Leggi di variazione delle componenti di una base

Consideriamo una base B ortonormale

B = { e₁, e₂ }, e_i ,i = 1,2

B' = { e'₁, e'₂ }, e'_j ,j = 1,2

Voglio scrivere gli elementi della base B' in funzione

degli elementi della base B

e'₁ = (cos d) e₁ + (sen d) e₂

e'₂ = (-sen d) e₁ + (cos d) e₂

A = ( ^{A₁₁ A₁₂} ) = (cos d sen d)

( _{A21 A22} ) -sen d cos d

( ^e'₁ ) = (cos d sen d) ( ^e₁ )

( ^e'₂ ) (-sen d cos d) ( ^e₂ )

→ Legge di variazione

→ Matriciale

Proprietà

1. Il momento polare non varia al variare del punto di applicazione lungo la retta di applicazione stessa

   (P, _v) _T M_T = _v x (T - P)

   Dim

   M_T = _v x (T - P) = _v x [(T - P') - (P' - P)] = _v x (T - P') + _v x (P' - P) =

   = _v x (T - P')

2. Il momento polare non varia al variare della scelta del polo T nella retta parallela alla retta di applicazione e passante per T retta.

   M_T = M_T'

   Dim

   M_T = _v x (T - P)

   M_T' = _v x (T' - P)

   M_T - M_T' = _v x [(T - P) - (T' - P)] ↔

   ↔ M_T - M_T' = _v x [T - P - T' + P] = _v x (T - T') = 0

La coppia nel risolversi deve ruotare in senso antiorario rispetto al momento stesso

N.B. La coppia è caratterizzata solo dal proprio momento dato che la risultante

(R = V₁ + (-V₂)) = 0

OSS1) Costruiamo una coppia il cui momento sia nullo.

Affinché una coppia abbia momento nullo il braccio deve essere nullo e quindi i due vettori devono appartenere alla stessa retta di applicazione.

OSS2) Assegnato un momento esistono infinite coppie che hanno come momento il momento assegnato

|M| = |V| b

Momento Assiale

Consideriamo un vettore applicato V e una retta r verso ê.

Scegliamo un punto T sulla retta r, consideriamo il momento polare rispetto al polo T:

M_T = V × (T - P).

Si definisce momento assiale lo scalare individuato dalla proiezione del momento polare del vettore rispetto ad un arbitrario punto della retta, sulla retta stessa.

M_r = M_T • ê = V × (T - P) • ê

Prodotto misto

ASSE CENTRALE

Consideriamo un sistema di vettore applicati a _R ≠ 0 definiamo asse centrale il luogo dei punti rispetto ai quali il momento polare risultante o è nullo oppure è parallelo ad _R.

Indichiamo con A un punto di questo luogo geometrico M_A è uguale a 0 oppure è parallelo ad _R

∑ = { P_K , V_K } M_A = | =0 | oppure | = λ_R

Portiamo dalla legge di variazione del momento al variare del polo M_T = M_A + R × (A - T) × R => (A - T) × R = M_T - M_A (1)

υ₃ × a = b

La risoluzione di questa equazione prende la condizione di compatibilità (a . b = 0) quindi R : (M_T - M_A) = 0 R . M_T - R . M_A = 0 => _υ - λ_R² = 0 => λ = _υ/_B²

I momenti relativi ai punti di questo luogo geometrico è uguale M_A = _ι3RR²

Poiché l’espressione (1) l’ho riconosciuta come un’equazione vettoriale del tipo 2, ora risolvo con la formula se conosco le tre equazioni