Vettori nel piano e vettori applicati

FISICA GENERALE T

METODO SCIENTIFICO

FISICA: studio della NATURA e dei fenomeni naturali.

• metodo scientifico usato per studiare la natura
• introdotto da Galileo Galilei nel 1600

Si basa in 4 fasi di indagine:

1. OSSERVAZIONE ACRITICA (senza giudizi personali)
2. RIDUZIONE delle INFORMAZIONI
3. FORMULAZIONE di UNA LEGGE tramite una previsione
4. VERIFICA SPERIMENTALE della LEGGE
   • se ok

LEGGE CONVALIDATA

• LEGGE CONVALIDATA: relazione tra quantità misurata in un certo ambito e stata provata sperimentalmente
• TEORIA: insieme di leggi convalidate in un certo ambito
• PRINCIPI di una teoria: poche leggi relazionate che costituiscono la base di una teoria

MODELLO

• Modello di descrizione della realtà fisica
• non descrive completamente la realtà ma coglie l'essenza di ciò che mi interessa in quel momento
• Modelli usati in meccanica
  • punto materiale
  • corpo rigido
  • campo elettrico
  • filo inestensibile

“Un modello è un’astrazione della realtà” (A. Einstein)

GRANDEZZE FISICHE

• GRANDEZZA FISICA: proprietà o caratteristica di un oggetto che può essere misurata.
• Grandezze principali: 7 in tutto, in meccanica solo tre:
  • lunghezza
  • tempo
  • massa
• Derivata → es. volume

MISURA

Processo di determinazione di una grandezza fisica.

• Metodo con il quale si attribuisce un numero alla grandezza.
• Tutte le misure devono essere riproducibili nel tempo e nello spazio.
• MISURARE = confrontare una grandezza con uno standard misura campione di quella grandezza.

Misura =  {_{}} {^[L]} 

{_{}} = numero

[L] = unità di misura

INCERTEZZE

• Ogni misura ha una certa precisione o incertezza.
• Esempio: 10 misure della stessa grandezza possono dare 10 valori numerici diversi.

Media di N misure:

 l̅ = ¹/_N ∑ _i=1^N l_i 

Incertezza della misura:

 E = ^{√1/(N-1) ∑_i=1N(l_i - l̅)2} 

(E = errore quadratico medio o scarto quadratico medio)

Incertezza della media:

 ε = E/√N 

ε_R = ε/l̅ → incertezza relativa

Migliore misura:

 l = l̅ ± ε 

l̅ - ε < l < l̅ + ε nel 68% dei casi

MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE

λ numero reale

λ _→a _vettore

λ _→a = vettore di direzione pari ad _→a modulo |λ| |_→a| verso concorde con _→a per λ>0 opposto ad _→a per λ<0

gode delle proprietà commutative, associative e distributive: λ, μ ϵ ℝ λ (_→a + _→b) = λ_→a + λ_→b μ (λ_→a) = (μλ)_→a (λ + μ) _→a = λ_→a + μ_→a

se λ = 0, λ_→a = _→0 λ = -1, λ_→a = -_→a

λ = 1/|_→a|, |λ_→a| = 1 → ^→a/|_→a| = _→a è un versore di verso uguale a quello di _→a

PRODOTTO SCALARE

_→a ⋅ _→b = |_→a| |_→b| cosθ → scalare

CASI NOTEVOLI:

• vettori paralleli θ = 0 → cosθ = 1 _→a ⋅ _→b = |_→a| |_→b| > 0
• vettori in versi opposti θ = π (180°) → cosθ = -1 _→a ⋅ _→b = -|_→a| |_→b| < 0
• vettori ortogonali θ = π/2 → cosθ = 0 _→a ⋅ _→b = 0

la componente _↔a = versore, modulo =1 _→a_↔a = |_→a| |_↔a| cosθ = |_→a| cosθ → (le componenti di _→a lungo _↔a)

uso le prodotto scalare per capire l'angolo tra due vett., cosθ = (a_→ ⋅ b_→) / (|a_→| |b_→|)

a ∙ b × c = V (doppio prodotto misto)

a × b ∙ c = [...]

= b × c ∙ a

= c × a ∙ b

a × b ∙ c = det

^{Ax Ay Az}

^{Bx By Bz}

^{Cx Cy Cz}

TRASLAZIONE del SISTEMA di RIFERIMENTO

V_1x = (x₂ - x₁) i

V_1y = (y₂ - y₁) j

V⃗ = V_1x + V_1y

N² = V_1x² + V_1y² ≠ V_x² + V_y² = N²

(x² - x¹) i → V_x

- traslando il sistema di riferimento le componenti Vx e Vy numericamente NON CAMBIANO!

Coppia di vettori applicati

Coppia: due vettori opposti applicati in punti diversi

stessa direzione, stesso modulo, verso opposto

M_o = (P_A - O) Λ F + (P₂ - O) Λ (-F) = (P_A - O - P₂ + O) Λ F = (P_A - P₂) Λ F

M_o = (P_A - P₂) Λ F vettore

non è un braccio!

(P_A - P₂) . sen Θ

Modulo di M_o |M_o| = |(P_A - P₂)| . |F| . |sen Θ| = b . F

Un vettore F applicato in un punto P è equivalente allo stesso vettore F applicato in un punto qualunque Q, più una coppia di momento M_Q = (P - Q) Λ F

Un insieme di coppie di vettori di momento risultante M_R è equivalente ad un'unica coppia di momento b . F vers(M), con b = |M|

momento risultante

Riduzione di un sistema di vettori

Un insieme di vettori applicati si può sempre ridurre a un sistema costituito da un vettore e una coppia

Prodotto Vettoriale

c'è un vettore

• modulo ⇒ |d| = |a x b| = a b |sin θ|
• direzione ⇒ ┴ al piano di a e b
• verso ⇒ regola della mano dx

NB: a x b ≠ b x a

(a x b) x c ≠ a x (b x c)

Proprietà anticommutativa

a x b = -b x a

distributiva sulla somma (a + b) x c = a x c + b x c

θ = 0° ⇒ a x b = ø

θ = 90° pari a θ = ø ° sin ø = ø

Doppio Prodotto Misto

(a x b) . c = (b x c) . a = (c x a) . b

permutazione ciclica

a x b = ø ⇔ i vettori sono complanari

Sistemi di Riferimento

• Spazio Unidimensionale: a = ai₁
ogni vettore può essere espresso come una scalare moltiplicato al il vettore dell'asse
• Spazio Bidimensionale: a = a_x i + a_y j
a = a_x i + a_y j

a_x . ø = i

a_y . ø = j

Dimostrazione
• Spazio Tridimensionale: a = a_x i + a_y j + a_z k

a = a_x i + a_y j + a_z k

Regola pratica

i x j = k

j x k = i

k x i = j

i x i = j x j = k x k = 0

k x k = ø

i x j = k

j x j = ø

i x i = ø