Vettori e proprietà

VERSORI E COMPONENTI

Si definisce versore di un vettore generale, il vettore Moltiplicato per 1 sul suo

modulo o per meglio dire il vettore diviso il suo modulo

Il versore ha sempre

modulo 1. Si tratta di

Il versore permette di frecce di lunghezza 1

scrivere un vettore in un

determinato sistema di

riferimento

Consideriamo nuovamente il sistema di riferimento levogiro

Proiezioni di b,

sul piano x,y VETTORI COMPONENTI DI b

Passare dai componenti alle componenti di un vettore, ossia i versori degli assi:

Il vettore bx avrà un

suo versore che è il

versore dell’asse x

Qualsiasi vettore può essere decomposto nei 3 assi cartesiani o nelle sue

componenti. Inoltre le terne di numeri bx,by,bz rappresentano uno spazio

vettoriale, si possono dunque sommare.

Esempio

Esempio con prodotto

VERSORE DEL VETTORE a CONSIDERANDO LE COMPONENTI:

Somma di a con vettore -a Vettore nullo che ha le

componenti nulle

DIFFERENZA DI VETTORI

Cos’è un vettore

Consideriamo le componenti: Radice quadrata della somma dei quadrati dei componenti

PRODOTTO SCALARE

Il prodotto scalare è un numero che appartiene ad R

Il prodotto scalare è dato dal prodotto dei

moduli per il coseno dell’angolo che si

forma tra a e b

Se considero le proiezioni di a su b o viceversa, il prodotto sarà dato da:

Con le dovute formule inverse, se conosco i moduli dei vettori si può trovare

l’angolo tra essi racchiuso. Viceversa se ho l’angolo posso calcolare i moduli dei

vettori.

PRODOTTO SCALARE DI COMPONENTI

Si considera prima il prodotto scalare dei versori degli assi

Le componenti possono

così essere calcolate

tramite il prodotto

scalare con le formule

inverse

I vettori ortogonali ( perpendicolari) hanno prodotto scalare nullo.

Prodotto scalare

con se stesso

Prodotto scalare in componenti

Il prodotto scalare in componenti è il prodotto delle

componenti dello stesso ordine

Esempio

Unità di misura Da queste derivano tutte le

altre unità di misura

PRODOTTO VETTORIALE

Si definisce prodotto vettoriale di due vettori a e b, un terzo vettore c che ha

direzione ortogonale (perpendicolare) al piano di a e b e modulo pari al prodotto

dei moduli per il seno dell'angolo compreso. Il prodotto vettoriale si indica con

a x b (o con a ^ b), si legge "a vettore b" e vale:

Il prodotto vettoriale è dunque un vettore che ha

modulo, direzione e verso

I tre vettori a, b e e formano una terna destrogira, con il modulo di c che

rappresenta l'area del parallelogramma i cui lati sono formati dai vettori a e b

Se i vettori sono paralleli il

prodotto è nullo, poichè il seno è 0

Area parallelogramma

Il verso è determinato dalla regola della mano destra, per cui considero i vettori a

e b come il mio pollice e il mio indice, il verso sarà dato dal medio

Se consideriamo invece la regola della

rotazione, faccio ruotare il pollice sull’indice,

dunque l’asse x sull’asse y, in senso antiorario.

La direzione del prodotto vettoriale sarà quella

dell’asse z e il verso sarà dato dal pollice che ha

Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa perché l' inversione

dei vettori dà come risultato l' inversione del loro prodotto vettoriale. Per cui vale

la regola:

Inoltre non gode nemmeno della proprietà associativa

Ciò perche il prodotto vettoriale è

legato alla rotazione nello spazio

Un esempio tipico di prodotto vettoriale si ha nel calcolo del momento m di una

forza f applicata nel punto P, rispetto a un punto O.

Prodotto vettoriale in componenti

Il verso è dato dalla rotazione

delle componenti, per esempio

Regola della matrice

Definizione di matrice '

Dati due numeri naturali m e n, si definisce matrice una tabella costituita da

m n numeri reali o complessi (elementi), disposti su m righe e n colonne e

racchiusi fra parentesi quadre o tonde come indicato nella formula. Gli

elementi della matrice generalmente si indicano con una stessa lettera munita

di due indici, il primo indica la riga e il secondo la colonna:

Matrice a 3 incognite Mi aiutano ad

Diagonale principale individuare le

Diagonale secondaria sottomatrici

Ricorda Cramer:

Regola anti simmetria:

la variabile al centro

moltiplica per il segno - Determinante

base

Regola della matrice per i vettori

Il prodotto vettoriale si può esprimere come determinante

Regola di Sarrus

Si può ricorrere anche all’utilizzo della regola di Sarrus

Matrice 2 x 2 con la ripetizione di due colonne

Diagonale principale

Diagonale secondaria